Гомология и гомотопия

T^q = {(t₀, …,t_q) R^q+1|t₀ ≥ 0, ∑ t_i =1}

Пусть X – произвольное топологическое пространство. Под q-мерным сингулярным симплексом пространства X понимается просто непрерывное отображение стандартного q-мерного симплекса Т^q в X. Под q-мерной (сингулярной) цепью пространства X понимается конечная линейная комбинация сингулярных симплексов пространства X с целыми коэффициентами; запись: ∑ k_if_i, f_i: Т^q → X. Множество q-мерных сингулярных цепей пространства X обозначается через С_q (Х). Сложение цепей как линейных комбинаций делает С_q (Х) группой. Говоря иначе, С_q (Х) — свободная абелева группа, порожденная множеством всех q-мерных сингулярных симплексов пространства X.

Теперь мы определим граничный  гомоморфизм =_q: С_q (Х) → С_q-1(Х). Так как группа C_q(X) свободна, то достаточно определить на сингулярных симплексах. Для сингулярного симплекса f мы полагаем f = ∑(-1)ⁱГ_if, где Г_if — сужение отображения f на i-ю грань T_i^q-1 = {(t₀,...,t_q)T^q|t_i = 0} стандартного симплекса Т^q. (Грань Т_i^q-1 отождествляется с Т^q-1: точке (t₀,... ,0, t_i+1,... …, t_q) Т_i^q-1 отвечает точка (t₀,..., t_i-1,t_i+1, ... , t_q) T^q-1.)

Теорема. Композиция

C_q+1(X) C_q(X) C_q-1(X) тривиальна; другими словами, Im _q+1 Кеr _q.

Основное определение. Факторгруппа

H_q(X)=Кеr _q/ Im _q+1называется q-й (q-мерной) гомологической группой (группой гомологии) пространства X. (Уточнение: это определение имеет силу при q ≥ 1; полагают также Н₀(Х) = С₀(Х)/ Im₁ и Н_q (Х) = 0 при q < 0.)

Употребляют обозначения: Кеr_q = Z_q(X), Im _q+1 = В_q (Х); таким образом, Н_q(Х) = Z_q(X)/B_q(X). Цепи из Z_q(X), B_q(X) называют, соответственно, циклами и границами; циклы, разность которых есть граница, называют гомологичными; таким образом, элементы группы гомологий — это классы гомологичных циклов, иногда их называют гомологическими классами.

Если группа Н_q(Х) конечно порождена, то ее ранг (т.е. число слагаемых Z в каноническом разложении Н_q(Х) = Z . . . Z Z_k1 ... Z_ks) называется q-м числом Бетти пространства X.

Цепные комплексы, отображения и гомотопии. Цепным комплексом (или просто комплексом) называется последовательность

… →C_q → C_q-1 →… → C₁ → C₀ → Z абелевых групп, в которой _{q q+1}= 0, ₁=0 и – эпиморфизм.

(Это определение вариабельно. Часто в понятие комплекса не включается в качестве обязательного элемента эпиморфизм ; при наличии этого эпиморфизма комплекс называется пополненным или аугментированным, а само е называется аугментацией. Иногда комплексами называют бесконечные в обе стороны последовательности

… → C_q → C_q-1 → …,

но при этом, как правило, ограничиваются рассмотрением "положительных" комплексов, у которых С_q = 0 при q < 0, - т.е., по существу, комплексов в смысле нашего определения.)

Группа H_q= Ker _q/Im _1+t называется q-й (q-мерной) гомологической группой комплекса (q ≥ 1); 0-мерная гомологическая группа определяется как C₀ / Im ₁.

Группа Н₀ = Ker /Im ₁ называется приведенной 0-мерной гомологической группой. Пополним последовательность

… → C_q(X )→ C_q-1 (X) → … → C₀(X)

групп цепей топологического  пространства X гомоморфизмом

: C₀(X) → Z, (∑k_if_i) = ∑k_i.

Получается "сингулярный" цепной комплекс, гомологические группы которого совпадают с гомологическими группами пространства X. Приведенные нульмерные гомологии пространства X обозначаются символом Н₀(Х); пишут также H_q (X) при q.

Пусть теперь даны два цепных комплекса С^ʹ = {Cʹ_q, ʹ_q, '} и С" = { Cʹʹ_q, ʹʹ_q, "}. (Цепное) отображение комплекса Сʹ в комплекс С" есть, по определению, семейство гомоморфизмов φ _q: Cʹ_q → Cʹʹ_q таких, что диаграмма

 

коммутативна. Ясно, что цепное отображение индуцирует отображение  гомологий 

(Ker ʹ_q→Ker ʹʹ_q, Im ʹ_q+1→Im ʹʹ_q+1, Ker ʹ_q/Im ʹ_q+1→Ker ʹʹ_q/Im ʹʹ_q+1).

Пусть X, Y – два топологических пространства и g: X → Y — непрерывное отображение. Естественно возникают гомоморфизмы g_# = g_#q: С_q(X) → C_q(Y) : сингулярный симплекс f: Т^q → Х переходит в сингулярный симплекс g f: T^q → Y. Очевидно, {g_#q} — цепное отображение комплекса {C_q (X),_q} в комплекс {C_q(Y), _q}; для возникающих отображений в гомологиях употребляется обозначение g_*=g_*q: H_q(X) → H_q(Y).

Очевидная теорема. (a) Ecли g: X → Y, h: Y → Z – непрерывные отображения, то (h g)_* = h_* g_*; (b) если i: X → X – тождественное отображение, то i_* – также тождественное отображение: (id_X)_* = id_Hq(X).

Пусть снова С^ʹ и С" – цепные комплексы, и пусть φ = {φ_q: C^ʹ_q → Cʹʹ_q}, ψ={ψ_q: Cʹ_q → Cʹʹ_q } – два цепных отображения. Цепная гомотопия, связывающая φ с ψ, — это, по определению, совокупность гомоморфизмов D_q: Cʹ_q→Cʹʹ_q+1, таких, что при каждом q

D_q-1ʹ_q+ ʹʹ_q+1 D_q = ψ_q - φ_q

(считается, что D_-1 = 0). Если такая гомотопия существует, отображения φ и ψ называют гомотопными (φ ~ ψ).

Теорема. Гомотопные отображения индуцируют одинаковые отображения в гомологиях.

Действительно, если а Cʹ_q – цикл (ʹ_qα= 0), то ψ_qα - φ _qα = D_q-1 + ʹ_qα +ʹʹ_q+1D_qα = ʹʹ_q+1D_qα Im  ʹʹ_q+1.

Теперь мы установим связь  между цепными гомотопиями и  обыкновенными го- мотопиями. Если g, h: X Y – гомотопные отображения, то цепные отображения, индуцированные отображениями g и h, гомотопны в смысле последнего определения. В самом деле, пусть Н: XI → Y — гомотопия, связывающая g с h. Тогда для любого сингулярного симплекса f:T^q → Х определено отображение H (f I): Т^qI → Y. Цилиндр T^qI канонически разбивается на симплексы Тʹ_i (i =0, …, q); для q = 1, 2 такое разбиение показано на рис. 5, в общем случае оно определяется формулой

Т_i^ʹ={(t₀,…, t_q,τ)Т^qI | t₀ + … + t_i-1 ≤ τ ≤ t₀ + … + t_i} .

Поэтому отображение Н (f I) определяет q + 1 сингулярных симплексов размерности q + 1. Их сумму с надлежащими знаками мы принимаем за D_q(f). Проверка показывает, что отображения

D_q: C_q(X) → C_q+1(Y), D_q (∑ k_i f_i) = ∑ k_i D_q (f_i),

составляют цепную гомотопию, связывающую наши цепные отображения (рис. 6).

Теорема. Если g ~ h_, то g_* = h_*.

Следствие. У гомотопически эквивалентных пространств гомологии одинаковы. Более того, гомотопическая эквивалентность индуцирует гомологический изоморфизм.

Простейшие вычисления. Группы сингулярных цепей необъятны и производить с их помощью вычисления неудобно. Поэтому для вычисления гомологий используются косвенные методы. Впрочем, небольшие вычисления, которые мы сейчас все же проведем, даром не пропадут: они понадобятся, в частности, для обоснования упомянутых косвенных методов.

 

 

А. Гомологии точки. Обозначим через pt одноточечное пространство. При любом q имеется единственный сингулярный симплекс f_q: T^q → pt. Таким образом, C_q (pt) =Z при всех q ≥ 0. Далее, f_q = ∑ (-l)ⁱ Г_i f_q = [∑ (-1)ⁱ] f_q-1, следовательно, наш комплекс имеет вид

     id           0          id        0      =id

… → Z → Z →Z →Z → Z

и H₀ (pt) = Z, H_q(pt) = 0 при q > 0 (если q нечетно, то Ker _q = Im _{q + 1} = Z, а если q четно, то Ker _q = Im _q+1 = 0). Добавим, что H₀ (pt) = 0 (так что H_q (pt) = 0 при всех q).

Пространство, имеющее такие  же гомологии как точка, называется ацикличным.

Следствие (гомотопической инвариантности гомологий). Всякое стягиваемое пространство ациклично.

(Обратное неверно. Любители функции sin могут порадоваться контрпримеру

на рис. 7; но бывают и более интересные примеры — скажем, проколотая "сфера Пуанкаре".)

В. Нульмерные гомологии. Если пространство X связно, то Н₀(Х) = Z. Действительно, нульмерные сингулярные симплексы — это, в сущности, точки, а одномерные сингулярные симплексы — это пути, причем граница пути — то конец минус начало. Отсюда следует, что всякая нульмерная цепь ∑ k_i f_i (которая всегда является циклом) гомологична цепи (∑ k_i) f₀ — произвольно фиксированный нульмерный сингулярный симплекс. Из этого видно, что достаточным условием гомологичности ∑ k_i f_i ~ ∑ kʹ_j fʹ_j является равенство ∑ k_i = ∑ kʹ_j; очевидно, это условие является и необходимым, поскольку у границы сумма коэффициентов равна 0. Наше утверждение доказано.

Рис. 7

 

Эквивалентные формулировки (X связно!): Im ₁ = Ker ; Н₀ (Х) = 0. В общем случае H₀ (X) есть свободная абелева группа, порожденная множеством компонент (линейной связности) пространства Х_, т.е. множеством ₀ (X); кроме того, всегда Н₀(Х) Н₀(Х) Z.

Предыдущий переход от связного случая к общему имеет следующее обобщение: если {X_α} — множество компонент пространства X, то при любом q

H_q(X) =   H_q(X_α).

Относительные гомологии. Пусть А — подмножество топологического пространства X (иначе говоря, (X, А) – топологическая пара). Тогда C_q (A) C_q (X) и _q (С_q (А)) C_q-1 (A). Факторгруппа C_q (X, A) = C_q (X) / C_q (A) называется группой относительных (сингулярных) цепей пространства X по модулю А; это — свободная абелева группа, множество образующих которой можно отождествить с множеством сингулярных симплексов f: Т^q → X, таких, что f (T^q) А. Операторы _q: C_q (X) → C_q-1 (X) индуцируют операторы

  _q: C_q (X,A) → C_q-1(X,A),

и возникает комплекс

... → C₂ (X,A) → C₁ (X,A) → C₀ (X,A)

Соответствующие гомологические группы обозначаются символом Н_q (Х, А). Их можно определить более геометрически как факторгруппы групп относительных циклов по группам относительных границ: относительные циклы — это цепи пространства X, границы которых лежат в А, относительный цикл является относительной границей, если он делается настоящей границей после прибавления некоторой цепи, лежащей в А.

Упражнения. Вычислить Н₀(Х, А) в случае, когда X и А связны и в общем случае.

Для всякого непустого  пространства X имеют место естественные изоморфизмы H_q (X) H_q (X, х₀), где x₀ – произвольная точка в X.

Граница относительного цикла  является абсолютным (т.е. обыкновенным) циклом пространства А; сопоставление α_qα определяет (при каждом q) отображение

_*: H_q(X, A) → H_q-1(A)

(проверка корректности определения: если α — β есть относительная граница, то _qα — _qβ есть абсолютная граница в А). Отображение _* включается в точную гомологическую последовательность пары

… → H_q (A) → H_q (X) → H_q  (X, A) → H_q-1 (A) → …,

аналогичную гомотопической последовательности пары. В этой последовательности гомоморфизмы i_*: H_q (A) → H_q (X) индуцируются включением i: А → Х, а гомоморфизмы j_*: H_q (X) → H_q (X, A) индуцируются проекциями C_q (X) → C_q (X)/C_q (A) = C_q (X, A).

Упражнение. Построить гомологическую последовательность тройки

...→ H_q (A, B) → H_q (X, B) → H_q (X, A) → H_q-1 (A, B) → …

и доказать ее свойства, аналогичные  свойствам гомологической последовательности пары (включая точность).

Точность гомологической последовательности пары (и тройки) имеет стандартный набор следствий, среди которых гомотопическая инвариантность относительных гомологий: если отображение f: (X, A) → (Y, В) обладает тем свойством, что индуцируемые отображения X → Y, А → В являются гомотопическими эквивалентностями, то f: H_q (X, А) → H_q (Y, В) есть изоморфизм при любом q.

2.2 Гомологии и гомотопии

Связь между гомологическими  и гомотопическими группами топологического  пространства видна уже из предварительного описания гомологий, данного нами в  начале этой главы: сфероиды — это тоже циклы, гомотопные сфероиды — это гомологичные циклы и, следовательно, гомотопические группы канонически отображаются в гомологические.

Гомологии и слабые гомотопические эквивалентности.

Лемма. Пусть X – топологическое пространство и α Н_q (Х). Тогда существуют клеточное пространство Y, класс гомологий β H_q(Y) и непрерывное отображение f: Y→ X, такие, что f_*(β)=α.

Доказательство. Пусть ∑ k_if_i, f_i: T^q → X_i — сингулярный цикл,

                                                                                                                                                                                                                          представляющий класс α. Рассмотрим сумму N копий стандартного симплекса: Т =