Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы: "Четырехугольники")

О бращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1–12 вытекает из того, что АВСД — параллелограмм, следовательно, каждое из них является необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом. Легко убедиться, что из каждого из условий 1–12 не следует, что АВСД — параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо ВС || АД).

Таким образом, каждое из условий 1–12, взятое в отдельности, признаком  параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые  из комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два  дает признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует, что фигура АВСД — равнобочная  трапеция, а не параллелограмм.

Естественно встает вопрос, сколько же всего признаков у  параллелограмма? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные  комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример, опровергающий  её (контрпример). Ясно, что эта работа на уроке проделана быть не может. Она может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о планировании работы, о  разделении труда при решении  этой проблемы, об организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных  итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при  организации любой трудовой деятельности.

Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков  прямоугольника и ромба. Но этой работе должно предшествовать уточнение определений  прямоугольника и ромба. Действительно, достаточно потребовать, чтобы у  параллелограмма был один прямой угол, т. к. из условия (АВСД — параллелограмм; ÐА=900) следует, что ÐВ=90⁰, ÐС=90⁰, ÐД=90⁰. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться известными свойствами углов параллелограмма.

Аналогично, легко доказать теорему (АВСД — параллелограмм, АВ=ВСÞАВ=ВС=СД=АД), из которой следует, что ромбом называется параллелограмм, у которого две смежные стороны равны.

Можно не менять привычные  учащимся избыточные определения, но обязательно  подчеркнуть тот факт, что, чтобы  убедиться, что рассматриваемый  параллелограмм будет ромбом, достаточно проверить равенство двух смежных  сторон, а чтобы убедиться, что  он будет прямоугольником, достаточно доказать, что один из его углов  прямой.

После этого отмечаем особые свойства диагоналей прямоугольника и ромба и опять ставим вопрос, будут ли эти условия не только необходимыми, но и достаточными, т. е. являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур. Как это проверить? Учащиеся должны сообразить, что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы, обратные к теоремам, выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба.

Запишем одну из этих теорем.

Дано: АВСД - прямоугольник. Доказать: АС=ВД.

Обратное к этой теореме  утверждение записывается так:

Дано: в четырёхугольнике АВСД АС=ВД .

Доказать: АВСД — прямоугольник.

Легко убедиться, что это  утверждение несправедливо. Приведите  примеры, подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить, что диагонали  равны у равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник  с равными диагоналями. Таким  образом, мы убеждаемся, что равенство  диагоналей не выделяет прямоугольник  из класса четырехугольников (среди  четырёхугольников с равными  диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).

Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения  утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может  быть разбито на две части.

Дано: 1) АВСД — параллелограмм.

2)ÐА=900.

Доказать: АС = ВД.

Если теперь поменять местами  заключение и вторую часть условия, то мы получим утверждение:

Дано: АВСД — параллелограмм

АС=ВД.

Д  
оказать: ÐА=900.

Это утверждение легко  доказать. Докажите самостоятельно.

Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив  внимание, что ÐА + ÐД = 1800 (АВСД — параллелограмм ). Что осталось теперь доказать? (ÐА=ÐД).

А налогичную работу проводим с установлением признаков ромба, основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о свойствах диагоналей ромба.

Дано: АВСД — ромб.

Д оказать: 1) ВД | АС;

2) ÐВАС =ÐСАД.

Для этой теоремы можно  составить две обратные:

Теорема 1 Теорема 2

Д ано: ВД | АС Дано: ÐВАС = ÐСАД

Доказать: АВСД — ромб. Доказать: АВСД — ромб.

Л егко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя бы по одному "контрпримеру";

 

Интересен вопрос. А как  можно видоизменить первый чертеж чтобы  его можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогдаÐAВД=ÐДВС.

Используя второй способ образования  обратных теорем, с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника.

Имеем:

Прямая теорема: Дано:

АВСД –параллелограмм, АВ = ВС.

Д оказать: ВД | АС

Обратная теорема:

Д ано: АВСД –параллелограмм, ВД | АС.

Доказать: АВ=ВС

Вспоминая уточненное определение  ромба, даем такую формулировку обратной теоремы: "Если в параллелограмме  диагонали взаимоперпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб".

Схема аналитического рассуждения  при отыскании доказательства этой теоремы.

А ВСД – ромб

 

АВСД – параллелограмм АВ=ВС

 

АВО =D DСВО ÐАОВ = ÐСОВ

Ý ВД | АС

АО = ОС ВО – общая ÐАОВ = ÐСОВ

Ý

А ВСД – параллелограмм ВД | АС

Аналогично формулируем  второй признак ромба: "Если в  параллелограмме диагональ делит  угол пополам, то этот параллелограмм — ромб". Аналитическое рассуждение  проводится аналогично.

Схематическая запись доказательства

АВСД — параллелограмм ÞАД II ВС Þ (Ð1 = Ð3, Ð1 = Ð2) Þ

2 =ÐÞ Ð3 Þ (АВ=BС, АВСД - параллелограмм) Þ АВСД — ромб.

Обобщая полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на тот факт, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из множества  всех четырехугольников, но выделяет его  из множества параллелограммов, и  предложить им самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!) для  ромба.

Для поверки того, владеют  ли учащиеся признаками параллелограмма, ставим перед ними следующую проблему:

Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба, основанные на свойствах их диагоналей, чтобы  они выделяли прямоугольник и  ромб из множества всех четырехугольников? Подсказка, если ученики не справляются: условие АВСД — параллелограмм, каким требованием относительно его диагоналей можно заменить.

Получаем признаки:

1. Если в четырехугольнике  диагонали равны и точкой их  пересечения делятся пополам,  то этот четырехугольник —  параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике  диагонали взаимноперпендикулярны  и делятся точкой пересеченияпополам, то этот четырехугольник —  параллелограмм.

3. Признак формулируем  аналогично.

Переходя к выяснению  признаков квадрата, подчеркиваем, что квадрат является как частным  случаем прямоугольника, так и  ромба и следовательно обладает всеми свойствами прямоугольника и  всеми свойствами ромба. Ставится проблема: выделить комбинации свойств диагоналей, которые выделяли квадрат из множества  прямоугольников, из множества ромбов, их множества параллелограммов, из множества четырехугольников.

Если ученики осмыслили  рассмотренный материал о признаках  прямоугольника и ромба, то они легко  ответят на поставленные вопросы  и сформулируют следующие признаки квадрата:

Квадратом является:

Прямоугольник с взаимно–перпендикулярными  диагоналями,

Прямоугольник, у которого диагональ делит угол пополам.

Ромб с равными диагоналями.

Параллелограмм, у которого диагонали равны и взаимно–перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали рваны и делят угол пополам.

Четырехугольник, у которого диагонали равны, взаимно–перпендикулярны  и в точке пересечения делятся  пополам.

После этого можно перейти  к решению задач, требующих применения изученных признаков.

Для приведения в систему  материала по теме "Параллелограмм и его виды» очень хороша задача: «Определить вид четырехугольника, который получится, если последовательно  соединить отрезками прямых середины сторон произвольного четырехугольника».

После доказательства того факта, что полученный четырехугольник  будет параллелограммом, ставится вопрос: «Каким должен быть исходный четырехугольник, чтобы полученный оказался прямоугольником, ромбом, квадратом?».

2. Н ачертим произвольный четырехугольник.
3. Н

В

айдём середины сторон и изобразим схематично на чертеже равенство отрезков.

4. Соединим последовательно полученные точки E, F, M, N.

Вопрос: какой четырехугольник  получился?

У разных учащихся ответ будет  различным: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Учитель обращает внимание на то, что прямоугольник, ромб, квадрат  — частные виды параллелограмма, поэтому всем придется доказывать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МД, ДN=NА.

Доказать: EFMN — параллелограмм.

Проводится анализ:

Вопрос: Для того, чтобы  доказать, что EFMN — параллелограмм, что достаточно доказать?

Ответ; параллельность прямых EF и MN, а также ЕN и MF.

Вопрос: Как можно доказать? (или, если не отвечают: Используя какой  признак параллельности прямых можно  это доказать?).

Ответ: Первый признак параллельности прямых т.к. в других признаках участвуют  углы, а в условии задачи об углах  ничего не сказано.

Вопрос: В первом признаке параллельности прямых говорятся о  трех прямых. Где взять третью прямую?

Ответ: Соединить точки  А и С. Получим два треугольника — АВС и АДС.

Вопрос: Какое соотношение  известно в этих треугольниках? Или: Чем являются ЕF и MN в DАВС иDАДС?

Ответ; ЕF является средней  линией DАВС, ибо АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линиейDАДС, т.к. СМ = МД и ДN = NА.

Вопрос: Какой признак  средней линии мы знаем?

Ответ: Средняя линия параллельна  основанию.

Вопрос: Какой вывод можно  сделать о ЕF и MN?

Ответ: ЕF || АС и МN || АС. Значит, по первому признаку параллельности прямых следует, что ЕF || MN.

Аналогично доказывается, что ЕN || FM.

Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти  другое решение, более рациональное и короткое.

Вопрос: Как еще можно  доказать, что четырехугольник EFMN —  параллелограмм?

Или: Каким признаком параллелограмма  можно воспользоваться, чтобы доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?

Ответ: Воспользоваться признаком  параллелограмма, который заключается  в том, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно  параллельны и равны, то этот четырехугольник  — параллелограмм. Значит надо доказать, что EF || MN и EF = MN.

Вопрос: Параллельность прямых EF и MN доказывается так, как это было сделано выше. Как доказать равенство  ЕF и МN? или: Какое свойство средней  линии мы знаем?

Ответ: Так как ЕF — средняя  линия DАВС, то ЕF равна половине основания АС; MN средняя линия АДС и М равна половине основания АС. Значит ЕF = MN.

Это решение является более рациональным и коротким.

Теперь надо записать решение  задачи. Для этого уже используется синтез.

А Е = ЕВ ЕF || AC

B F = FC EF = 1/2 AC EF || MN Þ EFMN – парал–

С М = МД MN || AC EF = MN лелограмм

ДN = NA MN = 1/2 AC

В классе всегда есть ученики, которые быстро найдут решение этой задачи. Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным  учащимся можно дать дополнительные задания:

Какой вид должен иметь  исходный четырехугольник, чтобы полученный был

а) прямоугольником?

б) ромбом?

в) квадратом?

В этом случае целесообразно  подойти к распределению дифференцированно: наиболее сильным предложить вариант  в), средним — вариант б), остальным  — а).

Предлагая учащимся задачи с  избыточной и неполной информацией, мы воспитываем в них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.