Математические методы моделирования

 

6) Если функция  сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке то

Доказательство:

По «теореме о среднем» имеем  , где .

А так как  для всех , то и . Поэтому , т.е.

 

7)Модуль определенного  интеграла не превосходит интеграла  от модуля подынтегральной функции: 

Доказательство:

Применяя свойство 4) к  очевидным неравенствам

 получаем:

Отсюда следует, что

 

8) Производная определенного  интеграла по переменному верхнему  пределу равна подынтегральной  функции, в которой переменная  интегрирования заменена этим пределом, т.е.

Доказательство. По формуле  Ньютона-Лейбница имеем:  

Следовательно,

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

 

 

Формула Ньютона—Лейбница

Опираясь  на свойства интеграла с переменным верхним пределом, мы получим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами И.Ньютона и Г.В.Лейбница

Теорема 1: Пусть функция у =f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и F(x) — любая первообразная для f(x) на [а, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [а, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Нахождение  определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на 
первом шаге, используя технику нахождения неопределенного 
интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором — применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

F(x) =F(b)-F(a). (8)

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона—Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции F(х), например, имеющую наиболее простой вид при C=0.

 Пример 1.    Вычислить: a) б)

Решение. А) Произвольная первообразная для функции

 имеет вид . Для нахождения интеграла по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0 (см. замечание выше). Тогда

 

 

б) Первообразную подынтегральной  функции найдем, используя формулу (24.11). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем

►

При нахождении интеграла из примера1.  б) было использовано свойство приращения первообразной где а — некоторое число.

Заметим, что введенное ранее определение (2) и его следствие (3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

Таким   образом,   и   при   применении   формулы   Ньютона- 
Лейбница несущественно,   какой  из  пределов  интегрирования 
больше: верхний или нижний.

              2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием 
формулы Ньютона—Лейбница не нужно жестко разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

    Теорема 2: Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке [ , ], а= и функция f(x} непрерывна в каждой точке х вида где .

Тогда справедливо следующее равенство

                                               (10)

Формула (10) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Доказательство: Пусть - первообразная для на отрезке

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Так как (F( то является первообразной для функции , поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Достаточно  лишь найти новые пределы интегрирования и по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и На практике, выполняя замену переоей, часто начинают с того, что указывают выражение новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается:

 

 Пример 2. Вычислить

Решение:        Положим Тогда

  и

Пересчитаем новые пределы  интегрирования :

            Если то если то Следовательно,  

Рассмотрим  теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 3: Пусть функции и имеем непрерывные производные на отрезке . Тогда

                                              (11)

где

Формула (11) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Доказательство:

Поскольку то функция uv является первообразной для функции .

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница и (2) получаем:

что равносильно (11), поскольку по определению дифференциала и

 

 Пример 3. Вычислить

Решение. Пусть Тогда и

Применяя (11), получаем

Для нахождения последнего интеграла, введем новую  переменную Тогда

Новые пределы  интегрирования:

если  , то

если  то следовательно,

Интеграл  можно было найти другим способом; тогда

         Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция  непрерывна на отрезке , симметричном относительно точки . Докажем, что

                                                        если четная функция,

                              

                                                        если нечетная функция.

 

Разобьем  отрезок интегрирования на части и Тогда по свойству аддитивности

                                            (13)

В первом интеграле сделаем  подстановку  Тогда

 

(согласно  свойству: «определенный интеграл  не зависит от обозначения  переменной интегрирования»). Возвращаясь  к равенству (13) получим

         (14)

Если функция f(x) четная то если функция нечетная то f(-x)+f(x)=0.

Следовательно, равенство (27.14) принимает вид (12).

Благодаря доказанной формуле  можно, например, сразу, не производя  вычислений, сказать, что

 

 то 

 

 

 

 

 

 

3. Геометрические приложения определённого интеграла.

 

Вычисление площадей плоских фигур.

 

Вспомним геометрический смысл определённого интеграла.

Определённый интеграл от неотрицательной  непрерывной функции f(x) на [а;b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а;b], ограниченной сверху графиком функции y = f(x), т.е.

                                            (1)

Рассмотрим несколько случаев.

3. Пусть функция y = f(x) неотрицательна и непрерывна на [а;b]. Тогда, согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, применяем формулу

        

Пример 1.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями            

    y = 2Cos2x,       y = 0, x = - ,       x = .

Решение.       Выполним эскиз (рис.28.1)

  

                                  y

                                                           Надо вычислить площадь     

3. заштрихованной фигуры.

                                    

                                     1

  

                                     0                                                           x

   -                  -      -         -                                                                    

 

 

                                     рис.1

 

В этом случае сразу применяем формулу (1), т.к. y = 2Cos2x неотрицательна  на [ - ; ], т.е. график этой функции на заданном отрезке расположен выше оси Ох. А также заданы пределы интегрирования, т.е.

а = х₁ = - ;        b = x₂ = .

  _{= =}   =   = + (ед²).

Пример 2.       Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 2x – x²      и      y = 0.

Решение . Выполним эскиз (рис.2)

В данном случае не заданы пределы  интегрирования а и b, поэтому их нужно вычислить.

                          

        Y                                                     В данном случае не заданы пределы

                                                                интегрирования а и b, поэтому их нужно

                                                                вычислить.

          1

         0            1              2            х

 

                        рис.2

 

Решим уравнение и найдём абсциссы точек пересечения двух кривых 

y = 2x – x²      и      y = 0:

2х – х² = 0;        х(2-х) = 0;        х₁ = 0;        х₂ = 2,  следовательно а = 0, в = 2.

S = = = = (ед².)

2) Пусть функция  неположительна и непрерывна на (см.рис.3). Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью S криволинейной трапеции «над кривой» на и интегралом .

                                                                     Y

                                                                               a                      b

                                                                                                                            x

3. S

 

                                                                                         

                                                                                   Рис. 3

Отражая кривую симметрично относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением . Эта функция уже неотрицательна на из соображений симметрии равна площади S (см.рис.4). Тогда

      у                                                 

                                          

                                                                       

                    a             S      b                       

       0                          S                              х