Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Февраля 2013 в 16:15, реферат
Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство .
1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2
1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2
1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3
1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4
1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6
2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7
2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7
2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9
2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям а определенном интеграле………………………………………………………...11
3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14
3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14
3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21
3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24
4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26
5. Примеры и решение задач……………………………………………………31
5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле
Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31
5.2 Замена переменной в определенном интеграле………………………….35
5.3 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле………….38
6. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...41
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают
Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда 0 , несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см.рис.2).
Пример 4. Вычислить
Решение: При функция терпит бесконечный разрыв;
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
Пример 5. Сходится ли интеграл
Решение: Функция имеет на единственный разрыв в точке . Рассмотрим функцию . Интеграл
Расходится. И так как
то интеграл также расходится.
5. Примеры и решение задач
Задача 1
Вычислить
Решение:
Задача 2
Вычислить
Решение
Задача 3
Вычислить
Решение
Задача 4
Доказать тождество:
Решение. Преобразуем левую часть:
Преобразуем правую часть:
2=2, значит, тождество доказано.
Задача 5
Вычислить
Решение
Задача 6
Вычислить
Решение
Задача 7
Вычислить
Решение
Задача 8
Вычислить
Решение
Задача 9
Вычислить
Решение
Задача 10
Вычислить
Решение
согласно формулы понижения степени =
Т.к. на интервале
, а не , то раскроем модуль так:
Задача 11
Вычислить
Решение
Задача 12
Вычислить
Решение
Этот интеграл можно также вычислить с помощью замены переменной (см. задачу 17)
Задача 13
Вычислить
Решение
Задача 14
Вычислить
Решение
Применяя формулы (24.3)и(24.10), получим
Задача 15
Вычислить
Решение
Т.к. ,
Применяем формулу (16)
)
5.2 Замена переменной в определенном интеграле.
Задача 16.
Вычислить
Пусть , т.к. интеграл вида находят с помощью подстановки
x=asint
Тогда dx=costdt.
Пересчитаем пределы интегрирования:
Если x=0, то sint=0, t=0;
Если x=1, то sint=1,
Тогда
Применяем формулу понижения степени, получим:
=
Этот интеграл можно вычислить интегрированием по частям (задаче 29)
Задача 17
Вычислить
Решение. Пусть , тогда имеем:
, т.к. пересчитали пределы интегрирования:
Если x=0, то
Если x=3, то
Задача 18.
Вычислить
Решение
Положим , тогда
,
Найдем новые пределы интегрирования:
Если , то
Если , то
Поэтому
(т.к.
Задача 19.
Вычислить
Решение. Пусть , тогда , и
Найдем новые приделы интегрирования:
Если х=0, то
Если х=5, то
Задача 20.
Вычислить
Решение. Т.к. интеграл вида находятся с помощью подстановки то положение , тогда
Найдем новые пределы интегрирования:
Если , то
Если , то
Тогда
Задача 21
Вычислить
Решение. Пусть ,
Тогда
Если то
Если , то
Применяя формулу понижения степени, получим:
Задача 22.
Вычислить
Решение. Пусть t=2x+ ,
Найдем новые пределы интегрирования:
Если то
Если то
Тогда имеем:
Задача 23.
Вычислить
Решение. Пусть тогда
а (т.к. пересчитаем пределы интегрирования:
Если то
Если то
Тогда имеем:
5.3 Метод интегрирования по частям
в определенном интеграле:
Задача 24.
Вычислить
Решение. Обозначим , а , тогда
Задача 25.
Вычислить
Решение. Положим
тогда
Поэтому
Задача 26.
Вычислить
Решение. Положим
тогда и
Задача 27.
Вычислить
Решение. Положим
Задача 28.
Вычислить
Решение. Положим
тогда
Задача 29.
Вычислить
Решение. Пусть
тогда
Последний интеграл совпадает с исходным, поэтому имеем равенство:
отсюда
Задача 30.
Вычислить
Решение. Положим ,
,
6. Геометрические приложения определённого интеграла.
а) Применение формулы (1)
, где на .
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох, прямыми и параболой
-3 -1 2 3 х
Решение: Выполняем рисунок (рис. 1). Надо вычислить площадь заштрихованной фигуры.
Оба предела интегрирования заданы, поэтому:
Задача 2. Разложить площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.2).
Рис.2.
Решение: для выполнения рисунка вспомним формулу для вычисления вершины параболы: В данном случае
Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
рис.3
Решение: График функции смещён вниз на единицы (рис.3)
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.4)
Решение: Представим функцию в виде , тогда
Задача .5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.5.)
Решение: Так как дан только нижний предел интегрирования , а верхний предел вычислим как абсциссу точки пересечения двух линий , решим уравнение . Следовательно,
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.6)
y
0 1
Решение: Так как не «берётся» в элементарных функциях, то используем проецирование фигуры на ось ординат и будем интегрировать по переменной у . Перепишем уравнение в виде , тогда
б) Применение формулы (2)
где на .
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями :
, , (Рис.7)
у
3
0
6 y = - 2x
Решение: Так как искомая фигура расположена в нижней полуплоскости (ниже оси Ох), то применяем формулу (2). Найдём нижний предел интегрирования, решив уравнение.
, , т.е.
Задачам 8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком (рис.8)
у
1
0
-1
Решение:
Задача 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.9)
Решение:
в) Применение формулы (3)
, если на
Задача 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: