Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Февраля 2013 в 16:15, реферат
Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство .
1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2
1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2
1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3
1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4
1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6
2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7
2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7
2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9
2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям а определенном интеграле………………………………………………………...11
3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14
3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14
3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21
3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24
4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26
5. Примеры и решение задач……………………………………………………31
5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле
Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31
5.2 Замена переменной в определенном интеграле………………………….35
5.3 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле………….38
6. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...41
Рис.4
Таким образом, если функция неположительна на , то площадь S над кривой на отличается знаком от определённого интеграла .
Пример 3. Найти площадь у = -х2, у = х – 2, у = 0.
Решение. Из чертежа (рис.5) видно, что у у = х – 2
искомая площадь S может рассматриваться
как площадь над кривой ОАВ на отрезке 0 1 2 х
[0;2]. Однако указанная кривая (ломанная)
не задаётся одним уравнением. Поэтому -1 А
для нахождения S = SOAB разобьём криволи-
нейный треугольник ОАВ на части, проеци- у = -х2
руя точку А (точку пересечения) на ось
абсцисс.Тогда S = SOAC + SABC
(см.рис.5).
Абсциссы точек О, А, В задают пределы интегрирования. Но эти абсциссы необходимо вычислить, решая уравнения (т.к. чертёж может быть неточным):
а) y = – x2 и у = 0; – х2 = 0, х = 0 ;
б) y = х – 2 и у = 0; х – 2 = 0, х = 2;
в) у = –х2 и у = х – 2; -х2 = х – 2, х2 + х – 2 = 0
Абсциссу х = –2 не берём т.к. она не входит в отрезок [0;2].
Итак: ; ;
Окончательно
3) Пусть на отрезке
задана
непрерывная функция
общего вида. Предположим
так
же, что исходный отрезок
S1
c
d S3
можно разбить точками
на конеч- 0 а
S2
b x ое число интервалов
так, что на
каждом из них функция
будет знакопостоянна или равна 0
рис.6
(т.е. 0 или 0 ).
Выясним, какая в данном случае существует связь между определённым интегралом и площадями получившихся криволинейных трапеций. Рассмотрим, например, случай функции, изображённой на рис.6. Площадь заштрихованной фигуры S = S1 + S2 + S3, т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определённых интегралов.
На основании формул (1) и (2), получим:
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = 4x – x2 , y = 0, x = 0, x = 5.
Решение. А) Выполним эскиз (рис.7)
б) Найдём абсциссу точки
у
4
3
2
S1
1
0
1 2 3 4 S2 5
x
рис.7
Таким образом:
S = S1 + S2.
Найдём S1:
Найдём S2 :
Итак .
4) приведём формулу, применение
которой часто упрощает
Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле
у
А
В
0
A
B
0 A1
x
А1
В1
0 а
b x
а)
Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке .
А) 0 (см.рис.8. а).
откуда следует формула(3)
б) (см.рис.8. б)
= 0
= 0
откуда следует (3)
в) , 0, 0 (см.рис.8 в).
откуда следует(28.3).
г) Общий случай (см.рис.8 г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок на отдельные отрезки , , .
Пример 5.
Найти площадь фигуры,
Ограниченной линиями у = х2
– 2, у = х
(рис. 9.)
Решение. Найдём пределы интегрирования
т.е. найдём абсциссы
точек пересечения
параболы у = х2 – 2 и прямой у = х, решив
уравнение: х2 – 2 = х, х2 – х – 2 = 0
х1 = - 1 , х2 = 2
Так как на отрезке [ -1 ; 2] х х2 – 2 ( т.е. график функции у = ч расположен выше графика функции у = х2 – 2), то применяем формулу (3).
Полагая = , = . Абсциссы точек А и В пересечения наших линий зададут пределы интегрирования:
Замечение. А) Если плоская фигура имеет сложную форму (см.рис.10.), то прямыми, параллельными оси Оу, её следует разбить на части так, чтобы можно было применить уже изученные выше формулы (1)-(3).
У
0 а с
d b
Рис.10.
Б) Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с, у = d, осью Оу и непрерывной кривой х = , то её площадь находится по формуле
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , ,
Решение. Выполним
эскиз. (рис.11)
у
Искомая площадь это
площадь
криволинейного треугольника
Верхний предел интегрирования d
нам задан d = y = 4.
Вычислим нижний предел интегрирования
решив уравнение = 0, у = 0, следова-
тельно с = у =
0.
Применяя формулу (28.4), найдём S
0
5) Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически