Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Февраля 2013 в 16:15, реферат
Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство .
1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2
1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2
1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3
1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4
1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6
2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7
2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7
2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9
2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям а определенном интеграле………………………………………………………...11
3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14
3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14
3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21
3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24
4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26
5. Примеры и решение задач……………………………………………………31
5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле
Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31
5.2 Замена переменной в определенном интеграле………………………….35
5.3 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле………….38
6. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...41
рис.24.
Решение: 1) Найдём уравнение касательной:
или - искомое уравнение касательной.
2) Вычислим пределы интегрирования: - точка касания, , т.к. справа ограничена фигура прямой .
3) Так как на отрезке , а , где , то имеем:
Задача 25. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , касательной к ней в точке , и осями координат.(рис.28.43)
6
0 1 1,5 3 х
Решение: Найдём уравнение касательной.
- искомое уравнение касательной.
2) Пределы интегрирования:
т.к. слева ограничена осью Оу;
т.к. справа – точкой касания.
как точка пересечения касательной с осью Ох.
3) Площадь заштрихованной
фигуры можно найти как
2. Вычисление объёмов тел вращения:
а) вокруг оси абсцисс:
(8)
Задача 26. Вычислить объём шара радиуса R. (рис.26)
- R 0 R x
Решение: Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг оси Ох на отрезке .
в силу симметрии фигуры относительно оси Оу, имеем:
Т.о. объём шара равен
Задача 27. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
В
-2 -1
0 1
2
А
Решение: Выделим на чертеже вращаемую фигуру (см.рис.27), криволинейный треугольник АВС). Заметим, что точно такое же тело вращения получится, если вокруг оси абсцисс вращать криволинейный треугольник ОВС. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: , где - объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейного треугольника ВСD, аналогичного треугольника ВСD, аналогично объём тела, полученного от вращения треугольника ОСD.
Записывая уравнение ограничивающих линий в виде и используя (28.8), получаем.