Методология научных исследований

    В принципе возможно установление четырех  основных схем вз аимодействия (рисунок 3).

        

    Рисунок 3 — Схемы взаимодействия объекта с внешней средой:

    а — одномерно-одномерная; б — одномерно-многомерная; в — многомерно-одномерная; г — многомерно-многомерная

    Одномерно-одномерная схема взаимодействия соответствует  случаю, когда на объект воздействует только один входной фактор Х и  поведение объекта рассматриваются  по одному  выходному показателю (сигналу) Y.

    Одномерно-многомерная  схема — это, когда на объект воздействует один фактор Х, а его поведение  оценивается по нескольким показателям  Y₁, Y₂…Y_n.

    Многомерно-одномерная схема характерна воздействием на объект нескольких факторов Х₁, Х₂…Х_n  и оценкой его поведения по одному показателю Y.

    Многомерно-многомерная  схема характерна воздействием на объект нескольких факторов Х₁, Х₂…Х_n  и оценкой его поведения по нескольким показателям Y₁, Y₂…Y_n.

    В случае статического стационарного  детерминированного объекта, то связь  входного фактора Х с выходным сигналом (показателем) Y описывается постоянным коэффициентом k, Y=kХ.

    Если  же объект является нестандартным, то указанная на схеме (рисунок 3, а) связь описывается нелинейной функцией Y=f(X), в качестве которой обычно используется полиномом:

            (6) 

    В случае схемы (рисунок 3, в), статический стационарный детерминированный объект описывается моделью:

          

    при равнозначности внешних воздействий  Х₁, Х₂…Х_n, а при неравнозначности внешних воздействий — моделью

            

    где a_i — постоянный коэффициент;

    m — число воздействующих факторов. Для статического нестационарного объекта, при той же схеме (рисунок 3, в), часто используется модель в виде степенного полинома

             (7)

    где m₁, m₂, m₃…— число парных и тройных сочетаний факторов (m₂= ; m₃= ).

    При одномерно-многомерной схеме (рисунок 3, б), статистически стационарный и нестационарный объекты описываются аналогично одномерной схеме. При этом определяется отдельно математические модели входного фактора Х с каждым выходным сигналом Y_i.

    Многомерно-многомерное  взаимодействие по схеме (рисунок 3, г), сводится к многомерно-одномерному и математическая модель объекта принимается аналогично изложенной выше, т. е. с каждым входным Х_i и выходным Y.

    Для нестационарного одномерно-одномерного  и одномерно-многомерного взаимодействия модели могут представлять собой  решение дифференциальных уравнений. При этом необходимо рассматривать  производные математического ожидания по переменному фактору X. Например, экспоненциальная зависимость может являться решением следующего дифференциального уравнения

            (8)

    где — максимальное значение математического ожидания.

    Выбор вида модели динамического объекта  сводится к составлению дифференциальных уравнений, но может быть выбрана  модель и в классе алгебраических функций. Однако такой подход является ограниченным, так как возникает  перестройка структур алгебраических функций и коэффициентов. Поэтому  предпочтение отдается математическим моделям в виде дифференциальных уравнений.

      При одномерно-одномерном и одномерно-многомерном взаимодействии детерминированного объекта c внешней средой, структура дифференциального уравнения определяется по виду выходной характеристики объекта Y, например, ступенчатого характера.

    Наиболее  простой выходной характеристикой  объекта является линейная (рисунок  4, а).

      

    Рисунок 4 — Характер выходных характеристик объекта: 

    а — линейно-ступенчатый при  ; б — линейно-ступенчатый при ;

    в — нелинейно-ступенчатый при  ;  г — ступенчато-гармонический при

    Линейное  изменение величины Y описывается решением дифференциального уравнения

             (9)

    где  — коэффициент размерности и пропорциональности;

      — начальное значение выходного сигнала;

      — время.

    Если  (рисунок 4, б), то форма выходной характеристики объекта аналогично рисунку 4, а и дифференциальное уравнение остается неизменным.

    Более сложный вид реакции объекта  на ступенчатое  входное воздействие (рисунок 4, в) может быть описан полным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

            (10)

    где — коэффициент дифференциального уравнения.

    Реакция объекта, соответствующая рисунку  4, г, может быть описана полным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка

            (11)

    Геометрические  или физические  задачи обычно приводят к одному из ниже рассматриваемых  трех видов уравнений:

• дифференциальные уравнения в дифференциалах;
• дифференциальные уравнения в производных;
• простейшие интегральные уравнения с преобразованием их в дифференциальные уравнения.

    Дифференциальные  уравнения в производных

    Для составления дифференциальных уравнений  используется видоизмененный метод  дифференциалов, который называется «метод производных». Сущность метода производных заключается в том, что из условия задачи составляются приближенные соотношения между  скоростями изменения функции Y и аргумента X. Вообще мера скорости применена к разнообразным исследуемым процессам и физическим величинам, что позволяет составлять математические модели в форме дифференциальных уравнений в производных.

    Например, сила электрического тока определяется как предел , где — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время . Или скорость химической реакции определяется как предел , где — изменение количества вещества за время .

    Простейшие  интегральные уравнения

    Интегральное  исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением. Центральными понятиями  интегрального исчисления являются понятия определенного интеграла и неопределенного интеграла функций одной действительной переменной.

    Определенный  интеграл используется для решения  задач об измерении площадей, ограниченных кривыми, длин дуг кривых, площадей поверхностей тел, объемов тел, а  также задач определения координат  центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой и многие другие задачи естествознания и техники.

    Геометрически определенный интеграл представляет собой  сумму площадей S_n, прямоугольников, встроенных в площадь S, ограниченную криволинейной границей. Сумма площадей прямоугольников S_n рассматривается в качестве приближения к полной площади S

        ,                                 (12)

    где — символ суммы (греческая буква «сигма»);

      — некоторая точка отрезка абсциссы.

    Выражение (12) для общей площади тем точнее, чем меньше длина участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S  надо найти  предел  сумм S_n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин стремиться к нулю.

    Отвлекаясь  от геометрического содержания рассматриваемой  задачи, приходим к понятию  определенного  интеграла от функции  , непрерывной на отрезке , в виде предела суммы S_n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается .

    Символ  (удлиненное S — первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, — подынтегральной функцией, числа a и b называются нижним и верхним пределами определенного интеграла.

    Свойства  определенного интеграла:

    — если a=b, то, по определению, полагают

            (13)

    — если пределы перемещаются

            (14)

    — интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

            (15)

    — интеграл с постоянной величиной  k

            (16)

    — численное значение интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования

                                               

.                                        (17)

    Интегралы геометрических фигур имеют вид:

    — длина дуги плоской кривой заданной уравнением

            (18)

    — объем тела, образованного вращением  этой дуги вокруг оси OХ

            (19)

    — площадь поверхности этого тела

           . (20)

    Фактически  вычисление определенных интегралов осуществляется различными способами: в виде предела  интегральной суммы, приближенное вычисление по квадратурным формулам, с помощью  ЭВМ, графические методы и др.

    Неопределенный  интеграл не имеет пределов, т. е. они  неизвестны. Нахождение этого рода интегралов, или интегрирование, есть операция обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции  находят ее производную. При интегрировании, наоборот, находят первообразную (или  примитивную) функцию – такую  функция, производная которой равна  подинтегральной функции. Таким  образом, функция F(x) является первообразной для данной функции если или, что тоже самое, . Данная функция может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми с. Поэтому все первообразные для содержатся в выражении , которое называют определенным интегралом от функции и записывают в виде

           . (21)

    Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами:

             . (22)

    Для упрощения использования неопределенных интегралов имеется таблица основных (табличных) интегралов и правил интегрирования.  
 

    2. Основы физического  моделирования. Метод  размерностей

    Основой физического моделирования являются метод теории размерностей, методы моделирования и подобия. Особенно успешно эти методы применяются  в сочетании с дополнительными  соображениями математического  и физического характера.

    Метод размерностей в физике, метрологии, приборостроении, экологии широко применяется  и является основой этих наук.

    Моделирование можно определить как метод практического  и теоретического опосредованного  оперирования объектом. При  этом исследуется  не сам объект, а модель его замещающая, и по результатам исследования модели дается информация об объекте.

    Метод (анализ) размерностей устанавливает  связь между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, и основан на рассмотрении размерностей этих величин. В основе метода размерностей лежит требование, согласно которому уравнение, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при  любом изменении единиц, входящих в него величин. Это требование совпадает  с требованием равенства размерностей в левой и правой частях уравнения.