Методология научных исследований

    При вычислении выборочного (эмпирического) коэффициента корреляции теоретические  величины заменяются их оценками и  при больших выборках (n > 30) коэффициент корреляции определяется равенством

           . (60)

    При небольших значениях n (n < 30) обычно используется равенство

           . (61)

    Если  строится корреляционная таблица сгруппированных  данных, то выборочный коэффициент  корреляции определяется по формуле

           , (62)

    где n_ху — частота повторяющихся пар Х, Y;

      n — объем выборки (сумма всех частот).

    Для удобства записи в дальнейшем пределы  сумм опускаем.

    Коэффициент корреляции принимает значение  в интервале  . Если  = ±1, то Х и Y линейно зависят друг от друга, т. е. существует между ними функциональная связь, выражаемая уравнением прямой Y = bх + а. Если = 0, то величины Y и Х не зависят друг от друга, связь между ними не носит линейного характера и корреляция отсутствует. При > 0 связь между величинами Х и Y положительная (положительная корреляция), а при < 0 – отрицательная, т. е. с возрастанием одной величины другая величина убывает.

    Обычно  считается, что при  корреляция удовлетворительная для некоторого рода явлений, например, прогнозов при = 0,8…0,9 — хорошая и при > 0,9 — отличная.

    Используя данные примера, дополнительно рассчитав  и , по формуле (61), вычислим значение выборочного коэффициента корреляции

          

    Найденное значение коэффициента корреляции свидетельствует  о тесной линейной корреляционной связи  между величинами Y и Х, т. е. о наличии между этими величинами функциональной связи.

    Для определения меры изменчивости величины Y от поведения величины Х в уравнении линейной регрессии обычно используется коэффициент детерминации R.  Этот коэффициент равен квадрату коэффициента корреляции (R= ). Он всегда положительный. Например, если r = –0,9, то R = (–0,9)²=0,81. Это свидетельствует о том, что в 81 % изменчивости величина Y зависит от величины Х, а 19 % изменчивости Y объясняется другими причинами.

    Рассмотрим  случай определения выборочного  коэффициента корреляции по формуле (62) с использованием сгруппированных данных корреляционной таблицы и отыскания выборочного уравнения прямой линии регрессии. Можно значительно упростить расчет, если перейти от Х и Y к условным величинам U = (X_i – C₁) / h₁ и . В этом случае коэффициент корреляции вычисляется по формуле

           , (63)

    где , — соответственно условные средние арифметические величины;

      , — средние квадратические оценки условных величин U, ;

      — частота значений парных условных величин U, V;

      — общее число наблюдений.

    При расчете r справедливы равенства: ;

    Таблица 3 — Корреляционная таблица сгруппированных данных

Y	Х
	10	20	30	40	50	60
15	5	7	–	–	–	–	12
25	–	20	23	–	–	–	43
35	–	–	30	47	2	–	79
45	–	–	10	11	20	6	47
55	–	–	–	9	7	3	19
	5	27	63	67	29	9	n = 200

     В первой строке таблицы указаны значения величины X (10, 20…60), а в первом столбце — значения Y (15, 25…55). На пересечения строк и столбцов находится частота значений пар величин X, Y, например, 5, 7, 20 и т. д. В последнем столбце записаны  суммы частот строк ( и др.) В последней строке представлены суммы частот столбцов ( и др.). Очевидно, что (в настоящем примере n = 200).

     Условными величинами (вариантами), применительно  к таблице являются:

       ;

       ,

где  С₁, С₂ — ложные нули, в качестве которых приняты соответственно варианты X = 40 и Y = 35;

     h₁, h₂ — шаги, равные соответственно разности между двумя соседними вариантами: n₁=20–10=10 и n₂=25–15=10.

     По  данным таблицы 5.2 составим корреляционную таблицу 5.3 в условных величинах. 
 
 
 

     Таблица 4 — Корреляционная таблица значений условных величин

	U
	–3	–2	–1	0	1	2
–2	5	7	–	–	–	–	12
–1	–	20	23	–	–	–	43
0	–	–	30	47	2	–	79
1	–	–	10	11	20	6	47
2	–	–	–	9	7	3	19
	5	27	63	67	29	9	n=200

    В первом столбце вместо ложного нуля С₂ (варианта 35) запишем 0: над нулем последовательно запишем –1, –2, под нулем запишем 1, 2. В первой строке вместо С₁ (варианта 40) запишем 0: слева от нуля последовательно запишем –1, –2, –3; справа от нуля запишем 1, 2. Все остальные данные перепишем из первоначальной таблицы. Для вычисления искомой суммы составим расчетную таблицу 5.4. в нижеследующей последовательности:

1. В каждой клетке, в которой частота , записываем в правом верхнем углу произведение частоты на варианту U, например,

          5 · (–3) =– 15; 7 ·  (–2) = – 14.

    2. Складываем все частоты, помещенные  в правых верхних углах клеток  одной строки и их сумму  записываем в клетку этой же  строки столбца U, например, U = – 15 + (–14) = –29.

3. Умножаем варианту на U  и полученные значения записываем в последнюю клетку той же строки столбца , например, .
4. Складываем все числа столбца , получаем сумму , которая равна искомой сумме , например, для таблицы 5.4 , следовательно, искомая сумма . Выполнив вычисления по столбцам, произведения записывается в левых нижних углах клеток. Проделав аналогичные процедуры получаем тот же результат, например, имеем , следовательно, .

    Парная  регрессия может быть аппроксимирована уравнениями прямой линии, как рассмотрено  выше, параболы, гиперболы, логарифмической, степенной показательной или  полиномиальной функциями. Если график регрессии Y=f(x) является кривой линией, то корреляцию называют криволинейной. Теория криволинейной корреляции решает те же задачи, что и теория линейной корреляции, т. е. установление формы и тесноты корреляционной связи. Для оценки тесноты нелинейной (криволинейной) корреляции служит корреляционное отношение . Для ограниченных выборок экспериментальных (статистических) данных выборочным корреляционным отношением называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y:

           . (64)

    Здесь:

             (65)

    где n — объем выборки (сумма всех частот);

    n_x — частота значения x; n_y  — частота значения Y;

      — общая средняя признака Y; — условная средняя признака Y;

    Аналогично  определяется выборочное корреляционное отклонение X к Y:

           .

    Суть  криволинейной корреляции поясним  на примере параболической зависимости  второго порядка, широко применяемой  на практике. В этом случае выборочное уравнение регрессии Y от X имеет вид

          Y=AX²+BX+C,

    где  A, B, C — неизвестные уравнения.

    Пользуясь методом наименьших квадратов, как  показано выше, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных  параметров:

            (66)

    Решив данную систему уравнений находят  значения параметров A, B, C, которые подставляются в выборочное уравнение регрессии.

    Множественная корреляция – это есть связь между несколькими признаками (случайными переменными). Эта связь описывается многомерной регрессионной моделью или моделью множественной регрессии

           , (67)

    где Y — теоретическое значение результативного признака;

      — значения факторных признаков;

      — параметры уравнения  (коэффициенты регрессии).

    По  экспериментальным (статистическим) данные находятся выборочные уравнения связи (регрессии). Для этого определяются коэффициенты регрессии методом наименьших квадратов путем решения полученной системы нормальных уравнений, число которых равно числу неизвестных: 

            (68)

    где n — число наблюдений;

    m — число факторов в уравнении регрессии.

    В простейшем случае число признаков  множественной регрессии равно  трем. Обозначим их Z, X, Y. В общем виде выборочное уравнение линейной регрессии имеет вид

           , (69)

    где  A, B — коэффициенты регрессии; С — параметр.

    Удобнее искать уравнение связи вида