Методология научных исследований

    Размерность физической величины — выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица  физической величины при изменении  единиц величин, принятых в данной системе  за основные.

    Метод подобия характеризуется соответствием  величин, участвующих в изучаемых  явлениях, происходящих в оригиналах и в моделях, по степени соответствия параметров модели и оригинала.  Приемы анализа и аппарат решения  задач при этом методе различны, но сам метод одинаково требует  установления критериев подобия.

    Критерии  подобия — масштабы связи параметров модели и натуры в виде безразмерных комбинаций, исходя из установленной  зависимости при анализе задачи исследования объекта, явления или  процесса. Связь масштабов, так же как и связь размерностей, устанавливается  на основании определения величин  или физических законов.

    При решении физических задач для  практического применения метода размерностей рекомендуется нижеследующая последовательность операций.

    1. Проанализировать задачу исследования  эксперимента и выделить фундаментальные  (определяющие) переменные, которые  характеризуют объект, явление или  процесс, определяющие их ход  или состояние. Некоторые авторы  работ фундаментальные переменные  называют «основные переменные».  Полагаем, что наша терминология  исключает совпадение с «основными»  системными величинами и их  единицами.

    Всякий  эксперимент связан со схематизацией  изучаемого явления, с исключением  второстепенных, не имеющих значения для целей данного исследования факторов (параметров).

    2. Установить функциональное соотношение  между исследуемой величиной  и фундаментальными переменными

           , (23)

    где  — исследуемая физическая величина;

      — фундаментальные переменные.

    3. Записать данные соотношения  в виде следующего алгебраического  уравнения 

           ,

    где — некоторая безразмерная постоянная, которая не может быть определена методом размерностей. В когерентной (согласованной) системе единиц физических величин она равняется единице (k=1) и обозначается как коэффициент размерности и пропорциональности.

    4. На основании размерности физических  величин составить алгебраическое  соотношение 

           .

    где  — размерность физических величин (символ краткой записи размерности от англ. dimension);

     — показатели степени фундаментальных  величин.

    Показатели  степени в уравнении размерности  могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными и равными нулю. В  последнем случае величина безразмерная, например к.п.д. Переходя к символической  форме предыдущее выражение записывается в виде

           . (24)

    Уравнение (24) позволяет определить численные значения показателей степеней , которые c точностью до постоянного коэффициента k устанавливают связь между рассматриваемой физической величиной и фундаментальными величинами.

    5. Из выражения (24) составляется система алгебраических уравнений по каждому показателю степени. Число уравнений в системе столько, сколько неизвестных показателей степени. Решение системы уравнений дает значение показателей степени .

    При использовании метода подобия  в  физическом моделировании формула  размерности рассматривается при  этом как условие связи между  масштабами параметров  в двух подобных явлениях. Например, обозначив индексом «н» параметр натуры (П_н), и индексом «м» параметр модели (П_м) масштаб (критерий) подобия можно записать как .

    Международная система единиц физических величин

    Международная система единиц Si (System International), в русской транскрипции СИ является обязательной с 1960 года. Она включает в себя 7 основных физических величин, 2 дополнительные и более 115 (с учетом разновидности 141) производных величин и их единиц. Базой системы являются основные величины и их единицы. Они не зависят друг от друга и от других величин и выбраны произвольно с тем условием, чтобы от них можно было бы образовывать все другие производные величины и их единицы.

    В таблице 1 приведены характеристики основных физических величин и их единиц

    Таблица 1 — Основные величины и единицы  СИ

Величина	Обозначение размерности величины	Наименование  единицы	Обозначение единиц
			русское	международное
Длина		метр	м	m
Масса		килограмм	кг	kg
Время		секунда	с	s
Сила  электрического тока	I	ампер	А	A
Термодинамическая температура		кельвин	К	K
Сила  света		кандела	кд	cd
Количество  вещества		моль	моль	mol

    Дополнительные  величины и единицы СИ включают в  себя плоский и телесный углы, необходимые  для образования единиц, связанных  с угловыми величинами.  Дополнительные единицы не могут быть основными, а так же и производными, так  как они не зависят от размеров основных единиц.

    Единицей  плоского угла является радиан (рад, rad), а телесного угла стерадиан (ср, sr).

    Радиан  – плоский угол между двумя радиусами окружности, дуга между которыми по длине l  равна радиусу R .

    Телесный  угол – угол, вершина которого расположена в центре сферы и, который вырезает на поверхности сферы площадь равную площади квадрата со стороной а, равной радиусу сферы R.

    Телесный  угол определяется косвенным измерением, т. е. путем измерения плоского угла и вычислением по формуле

           . (25)

    В градусном исчислении .

    Производные единицы выводятся из уравнений связи между величинами или из определения единиц, если величины, входящие в определения, выражаются в единицах СИ.

    Международная система единиц физических величин  включает в себя десять групп величин  и их единиц, из них кроме основных и дополнительных восемь производных, начиная от единиц пространства и  времени, и заканчивая единицами  ионизирующих излучений.

    Если  величины являются основными, то формула размерности (24) определяет размерность производной величины относительно основных величин.

    Размерность же основных величин выражается через  обозначения этих величин. Так размерности длины, массы, времени, температуры записываются как dim(l)=L; dim(m)=M; dim( )=T; . С учетом отмеченного формула размерности производной величины Q относительно основных величин имеет вид

           . (26)

    Вычисление  размерностей существенно упрощается, если принять во внимание два следующих  очевидных правила:

1. если , то или ;
2. если , то или .

    Если  величины сами являются производными и имеют относительно основных L, M, T…размерности

           ;

           ;

           ,

    то  размерность величины Q относительно основных величин (26) составит

           . (27)

    Если  единицы [a], [b], [c]… являются основными, то формула производной единицы [q] относительно основных единиц записывается также в виде

            или  . (28)

    Размерность основных единиц обозначается символами, происходящими от их названия. Так  единицами длины, массы, времени… служат метр, килограмм, секунда…, что обозначается [l]=м;[m]= кг; [ ]=с….

    Производные образуются на основании законов, устанавливающих  связь между физическими величинами, или на основании определений  физических величин.

    Соответствующие производные единиц СИ выводятся  из уравнения связи между величинами определяющего уравнения, выражающего  данный физический закон или определение, если другие величины выражаются в  единицах СИ.

    Система СИ имеет следующие основные преимущества.

1. Единицы СИ универсальны и не имеют никакого отношения к свойствам конкретного объекта.
2. Единицы СИ могут быть воспроизведены при современном уровне науки и техники с достаточной степенью точности.
3. Система СИ когерентна (согласована), так как коэффициент пропорциональности в уравнениях производных единиц k=1.

    Построение  физической модели с  использованием  
метода размерностей

    Отмечая важность использования теории размерностей при постановке и анализе научного эксперимента, не следует преувеличивать ее универсальности и область  применения. Поэтому применение теории  размерностей должно иметь  свою меру и не должно быть самоцелью исследования.

    Необходимо  иметь в виду, что наибольшую значимость в научном исследовании представляют экспериментальные результаты в виде физических параметров и зависимостей их влияния на исследуемый объект. Все остальное, в том числе размерности и подобия, играет вспомогательную роль в планировании эксперимента, уменьшении его объема  и компактности представления результатов исследования.

    При всем этом, метод  теории размерности  в ряде случаев является наиболее доступным для построения физической модели по сравнению с другими  теоретическими методами, содержащими  непреодолимые математические трудности, или экспериментальными методами, требующими сложных, объемных и дорогих экспериментов. В этом случае составленная физическая модель исследуемого явления может  дать приемлемое решение задачи с  заданной точностью в обход невозможности, например, проведения натурного эксперимента.

    Пример. Требуется определить силу R (рисунок 3.2), действующую на тело в потоке жидкости. Допустим, что движение потока медленное. Тогда инерционными силами  можно пренебречь, т. е. упростить модель при анализе задачи. Анализируя исследуемый процесс, менее значимые факторы отбрасываем и учитываем только более существенные, т. е. определяем фундаментальные факторы. Такими факторами (параметрами) будут линейный размер тела l, скорость потока  и динамическая вязкость жидкости .

    

    Рисунок 5 — Схема к определению физической модели силы R

    Тогда функциональная зависимость между  исследуемой величиной и фундаментальными переменными имеет вид 

           . (29)

    Далее можем решать задачу по одному из двух направлений, то ли по формуле размерностей величин, то ли по формуле размерности  единиц. Результат все равно будет  одинаков.

1. По формуле размерностей величин.

    Запишем

                                                                                                 (30)

    Выразим  размерности величин:

           ;

           ; ;

           .

    Так как динамическая вязкость выражается в паскаль-секундах, то , ( ), тогда .

    Представляя значения этих величин в размерностях подставим в (30). Получаем

           или . (31)

    Для определения значений показателей  степеней составим для них систему алгебраических уравнений, учитывая однородность физических величин левой и правой частей уравнения (31):

          

    Подставив найденные значения  показателей  степени в (30), получим аналитическую формулу силы действующей на тело в потоке жидкости

           . (32)

    2. По формуле размерностей единиц.

    Запишем согласно (8)

           , (33) 

    где  k=1 поскольку система единиц когерентная.

    Запишем размерности единиц величин входящих в выражение (33):