(1. 3)

 

     Математическая  операция ,позволяющая распознать инциденцию А на С, зная инциденции А на В и В на С, называется композицией maxmin, которая определяется следующей формулой:

                           .          (1.4)

     Приступим к анализу конечного графа. Если существует хотя бы один путь от какой-либо вершины а_i к какой-то вершине с_k   через промежуточную вершину b_j , т.е. тройка (а_i , b_j , с_k), то будет существовать дуга из а_i  в с_k , т.е. пара (а_i , с_k). Таким способом образуется граф справа и соответствующая ему матрица инциденций второго порядка А на С.

      Выведем математическую формулу, которая позволит построить матрицу (1.3) исходя из матриц (1.1) и (1.2). Пусть µ(а_i , b_j) – оценка клетки  (а_i , b_j) в матрице (1.1), равная 0 или 1. Для матрицы (1.2) это будет оценка µ(b_j, с_k).

      Введём  два операторных символа. Пусть  символ  ʌ означает выбор минимального (наименьшего) из двух элементов, а символ v – максимального (наибольшего) из двух элементов.                              

     При этих обозначениях найдём оценки :

клетки  (а_i , с_k)

     µ(а₁ , с₁)= (µ(a₁, b₁) ʌ µ(b₁, c₁)) v(µ(a₁, b₂) ʌ µ(b₂, c₁)) v (µ(a₁, b₃) ʌ       ʌ  µ(b₃, c₁)) v v (µ(a₁, b₄) ʌ µ(b₄, c₁)) v(µ(a₁, b₅) ʌ µ(b₅, c₁)) = (1 ʌ 1) v(0 ʌ 0) v(0 ʌ 1) v(1 ʌ 0) v(0 ʌ 1)= 1 v 0 v 0 v 0 v 0 =1, 

 клетки µ(а₁ , с₂)

      µ(а₁ , с₂)= (µ(a₁, b₁) ʌ µ(b₁, c₂)) v(µ(a₁, b₂) ʌ µ(b₂, c₂)) v (µ(a₁, b₃) ʌ       ʌ µ(b₃, c₂)) v (µ(a₁, b₄) ʌ µ(b₄, c₂)) v(µ(a₁, b₅) ʌ µ(b₅, c₂)) = (1 ʌ 0) v(0 ʌ 0) v(0 ʌ 1) v(1 ʌ 1) v(0 ʌ 0)= 0 v 0 v 0 v 1 v 0 =1 

 и так для всех элементов A, B и С. В общем случае, для всех a_i, b_j и c_k, где i=1,2,3,4; j=1,2,3,4,5; k=1,2,3, получим 

                                                    (1.5)

                                                     

что определяет композицию maxmin для инциденции A на С посредством B, т.е. исходя из инциденций A на B и B на С. Таким образом, формально для применения формулы (1.5) необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй.

     Рассмотрим  на простом примере, какую пользу может принести введение инциденции второго порядка.

      Предположим, что лицо (или лица), которое должно оценивать элементарные инциденции, представило непосредственные инциденции A на C в виде матрицы

                                                           

                                                              (1. 6)

 

                                           

     С другой стороны, используя инциденции A на B и B на C и операцию композиции maxmin, можно получить матрицу (1.3) . Сравнивая (1.3) и (1.6), видим, что элементы в (1.6) оценены по какой-то причине неправильно. Действительно, пары (a₁, c₂) и (a₄, c₃)  имеют значения 0 в (1.6) и 1 в (1.3). Можно сказать, что воздействия (a₁, c₂) и (a₄, c₃)  являются скрытыми. Из рис.1.1 видно, что (a₁, c₂) должно было бы приобрести значение 1 в (1.6), поскольку есть дуги (a₁, b₄) и (b₄, c₂). Также (a₄, c₂) должно было бы иметь значение 1 в (1.6) , поскольку есть дуги (a₄, b₄) и (b₄, c₂).

      Может также случиться, что, наоборот, одна пара будет иметь значение 1 в (1.6) и 0 в (1.3). В этом случае целесообразно вернуться к анализу (1.5) для повторной оценки воздействий.

      На  этом примере видно, что степень  субъективности оценок инциденций можно  проверить, если известно, что они  формируются через промежуточные  объекты.

      Теперь  можно обобщить рассматриваемую  схему и ввести инциденции третьего, четвертого и последующих порядков. Пусть M_AB – матрица инциденций A на B, M_BC –матрица инциденций B на C, M_CD – матрица инциденций C на D и т.д. Композиция maxmin, представленная математической формулой  (1.5), должна повторяться необходимое число раз.

      Для краткости записей обозначим  композицию maxmin символом _.

Тогда (1.5) будет иметь вид  

                            М_AC =М_ABМBC                                                      (1.7) 

     Для инциденции третьего порядка получим  

                              M_AD = M_{AB MBC MCD}.                                               (1.8)

 

     Легко проверяется, что композиция maxmin обладает свойством ассоциативности, т.е.  

                        M_{AB (}M_BC M_CD) = (M_AB M_BC) M_CD ,                          (1.9)      

и поэтому порядок применения этой операции в выражениях типа (1.8) не имеет значения.

     Можно расширить понятие матрицы инциденции, введя в нее понятие нечетких отношений инциденции. В данном случае уже не требуется определять, существует ли непосредственная причинно-следственная связь между объектами, или её нет вовсе, а допускаются различные градации, позволяющие различать силу причинно-следственной связи:

                           

                                  (1.10)

Это значительно  расширяет возможности исследования, так как такая постановка задачи является более гибкой и более  полно отражает реально существующие зависимости.  Кроме того, аппарат  теории нечётких множеств позволяет  использовать лингвистические переменные, работа с которыми является естественной для человека и способствует получению  более качественных экспертных оценок, служащих исходными данными модели. В этом случае матрица инциденций будет представлена нечеткой матрицей.

При необходимости, элементы матрицы инциденции могут  быть представлены и нечеткими числами  различной конфигурации. Например, в Ф-нечеткой матрице элементами могут быть как значения, так и доверительные интервалы, в границах которых эти значения располагаются. Особенности работы с матрицами такого рода будут рассмотрены позже. Также, элементы матрицы инциденции могут быть представлены доверительными тройками, что примерно соответствует понятию треугольного нечеткого числа, и доверительными четверками – трапециевидное нечеткое число. Аналогия с нечеткими числами позволяет использовать некоторые свойства нечеткой алгебры даже в том случае, когда рассматриваемые нечеткие числа и не являются строго говоря треугольными или трапециевидными. Рассматриваемый метод к виду нечетких чисел не требователен. Хотя использование матриц инциденции такого вида в реальной практике может быть чрезвычайно интересно ввиду их большой информативности, в дальнейшем в этой работе к ним возвращаться не будем, так как методологически их использование сходно с работой с Ф-нечеткими матрицами и не представляет серьезных затруднений.

      Частным случаем матрицы инциденций является такая, в которой по столбцам и строкам располагаются одни и те же объекты (назовем ее матрицей автоинциденции). Она служит для определения причинно-следственных связей между элементами внутри некоторого множества. Такая матрица будет рефлексивной (на главной диагонали располагаются единицы), однако не является симметричной, так как причинно следственные связи имеют направленность, и если одно явление является причиной для другого, это само по себе отнюдь не значит, что его появление в свою очередь зависит от появления этого второго явления.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.1 Использование нечётких  матриц

 

      Матрица , строки которой представляют значения некоторой функции принадлежности, называется нечеткой матрицей. Если отношения инцидентности являются нечеткими, то соответствующая матрица инцидентности будет нечеткой матрицей, элементы которой могут принимать любые значения между 0 и 1, т.е. 

                             _I ,_j ) [0,1]   _i , _j ) .                       (1.11)

          

Так, если А и В заданы в виде: 

А = {а₁,а₂,а₃,а₄,а₅}                       и                  В = {b₁,b₂, b₃,b₄} 

то можно представить  нечёткое отношение или нечёткое подмножество А×В в виде