Показникова функція, її графік і властивості

Учні часто допускаються помилок при використанні термінів: степенем називають  не вираз  , а показник . Тому важливо, щоб були чітко відпрацьовані три терміни: - степінь, - показник степеня, - основа степеня.

Доцільність введення саме такого означення степеня з нульовим показником числа, яке не дорівнює нулю, пояснюється поширенням правила  ділення степеня з натуральним  показником і на випадок, коли , тобто . Оскільки за будь-якого і будь-якого натурального

, слід прийняти  за означенням, що  за . Виразу не надається ніякого змісту.

Потрібно звернути увагу  учнів на те, що наведені міркування не є доведенням рівності , а лише пояснюють доцільність її прийняття за означенням.

Цю саму ідею можна покласти в основу міркувань щодо доцільності  запровадження степеня з цілим  від’ємним показником. Потрібно звернути увагу учнів на те, що в математиці та інших науках,  зокрема фізиці, хімії, виникає потреба розглядати такі степені. Учні уже знають з цих предметів, що маса електрона записується виразом 9·10^-28г. щоб записати це число у вигляді десяткового дробу, потрібно 29 цифр: 0,000…09. Виникає питання, як розуміти вираз 10^-28 і в загальному вигляді , де - натуральне число і . Яке ж означення степеня з цілим від’ємним показником доцільно прийняти?

Поставимо за мету поширити правило ділення степенів з натуральними показниками  на  випадок коли , зокрема , де - натуральне число. Тоді має бути

                            .                        (1)

Водночас 

                           .                         (2)   

Порівнявши останні рівності, доходимо висновку, що для розглянутого раніше правила ділення степенів з натуральними показниками у  випадку, коли , потрібно прийняти за означенням, що .

Означення 1. Якщо і - ціле додатне число, то .

  Можливі й інші методичні варіанти введення означення степенів з нульовим і від’ємним показниками. Доцільність запровадження відповідних означень можна пояснити, виходячи не з обернених, а з прямих дій. Наприклад, поставлено мету – з’ясувати, якого змісту слід надати виразу , щоб правило множення степенів з однаковою основою залишається тим самим і за нульового показника. Припустимо, що воно виконується і в цьому випадку. Тоді       . Відомо, що за , тобто за , добуток двох співмножників може дорівнювати одному з них тоді і лише тоді, коли другий співмножник дорівнює 1. Після цього формулюють означення .

Так само ставиться за мету зберегти правило множення степенів з однією основою і натуральними показниками, якщо показниками можуть бути цілі від'ємні числа. Нехай . Тоді

 

Якщо , то з рівності випливає .

     Після цього формулюють означення степеня з цілим від'ємним показником.

У підручнику з алгебри  для 8 класу реалізовано інший  підхід до введення степеня з цілим  від'ємним показником. Записується  послідовність степенів числа 10:  10⁰, 10¹, 10², 10³,… .

У ній кожне число менше  від наступного в 10 разів. Зберігаючи цю властивість, продовжують послідовність  вліво:

.

Оскільки в такій послідовності  степенів показник кожного степеня закономірність на степені, які містяться ліворуч від , записують їх з від'ємним показником. Замість пишуть , вираз позначають і т.д. Дістають послідовність степенів

.

  Цю домовленість приймають для степенів з будь-якою основою, відмінною від нуля.

Властивості степенів з натуральними показниками поширюються на степені з цілим показником.

   Введення поняття степенів з раціональним показником передує вивченню коренів -го степеня. Слід мати на увазі, що означення кореня квадратного з числа як числа, квадрат якого дорівнює , і означення арифметичного квадратного кореня учні знають з 8 класу. Символ використовувався для позначення лише арифметичного квадратного кореня.

За чинною програмою означення  кореня -го степеня, арифметичного кореня -го степеня і його властивості розглядаються в 10 класі.

  Ці означення вводяться аналогічно попереднім означенням, що стосуються квадратного кореня. Тому їх потрібно нагадати, після чого можна запропонувати учням самостійно сформулювати означення кореня -го степеня та арифметичного кореня -го степеня.

На цьому етапі навчання символ застосовують до позначення будь-яких коренів, а не лише арифметичних. Наприклад, . Слід звернути увагу на те, що корінь непарного степеня з від'ємного числа можна виразити за допомогою арифметичного кореня. Наприклад, , оскільки і .

  Взагалі, за будь-якого додатного і непарного .

Введення степеня з  дробовим показником є подальшим  розширенням поняття степеня. Традиційно доцільність введення означення такого степеня пояснювалась потребою зберегти правило піднесення степеня до степеня, розглянуте для степенів з натуральними показниками , на випадок дробового показника , де — натуральне число, — ціле число. Тоді .

За означенням арифметичного  кореня -го степеня .

Отже, за заданої умови  доцільно взяти .

Означення 2. Якщо а - додатне число, — дробове число ( — натуральне, — ціле), то .

Степінь з основою, що дорівнює нулю, означають лише для додатного дробового показника: якщо — дробове додатне число ( і —натуральні), то .

Слід наголосити, що для  від'ємних основ степені з дробовими показниками не розглядаються. Інакше кажучи, вирази не мають змісту.

  Існує й інший методичний підхід до пояснення доцільності означення степеня з дробовим показником. Із означення арифметичного кореня випливає, якщо — ціле число, — натуральне число і ділиться на , то за рівність правильна. Наприклад, , оскільки . Якщо вважати, що рівність виконується для будь-якого дробового показника і додатної основи ,то всі властивості степенів з цілим показником зберігатимуться і для цього показника (доводиться пізніше).

Після цього вводять означення: . На завершення запроваджують поняття степеня з ірраціональним показником. Спробуємо з'ясувати, що слід розуміти під степенем , де - додатне число, ; — будь-яке ірраціональне число. Розглянемо три випадки.

1. , — додатне ірраціональне число, наприклад . Нехай

                              1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,414;…                                 (3)

є послідовністю наближених значень числа , взятих з недостачею, а

                                           2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143…                               (4)

є послідовністю наближень , взятих з надлишком.

Якщо скласти відповідні послідовності значень степеня  числа 10

                           ,                                (5)

                              ,                               (6)

то  є числом, яке більше за будь-яке число першої послідовності і менше від будь-якого із чисел другої послідовності.  

2. За і додатного ірраціонального , наприклад , відповідні послідовності будуть такими:

,

.

 

Значення степеня  менше від будь-якого з відповідних чисел першої послідовності і більше за будь-яке з відповідних чисел другої послідовності.

3. За будь-якого додатного і від’ємного ірраціонального виразові надають того самого змісту, що і для степенів з від’ємним раціональним показником. Наприклад,

.

У класах з поглибленим вивченням математики, учні яких ознайомлені з поняттям границі числової послідовності, можна сформулювати означення степеня з ірраціональним показником.

Послідовності (5) і (6) є зростаючими  за способом утворення їх членів і обмеженими, оскільки кожний з їх членів менший від 10² . За теоремою Вейєрштрасса, кожна з цих послідовностей має границю (вона виявляється однаковою): За означенням цю границю приймають за значення степеня .

Означення 3. Степенем , ; — будь-яке ірраціональне число, називають границею послідовності де — будь-яка послідовність раціональних чисел, що має границею число .

3.2 Вивчення показникової функції

Введення поняття показникової функції доцільно здійснювати за тією самою методичною схемою, за якою вивчалися попередні функції.

На етапі мотивації  доцільне навести приклади залежностей, які виражають показниковою функцією.

Приклад 1. У процесі радіоактивного розпаду маса речовини змінюється з часом за законом , де - маса речовини через років після початку розпаду, — початкова маса речовини, — стала для цієї речовини.

Приклад 2. Кількість мешканців міста з мільйонним населенням через років за умови, що кожного року спостерігається приріст населення на 2 %, обчислюють за формулою .

Приклад 3. Температура 100 г піску, нагрітого до 100°, змінюється за 0°

залежно від часу формулою .

Приклад 4. У разі витікання рідини з циліндричної посудини через тонку трубку, яка розміщена в основі циліндра, висота рівня рідини з часом

змінюється за формулою , де – початковий рівень води, – стала, що залежить від діаметра трубки.

У кожному з наведених прикладів формула задає функцію, для обчислення якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним показником, яка має цілком певне додатне значення. Найпростішим випадком таких залежностей є функція вигляду , яку називають показниковою.

Означення 4. Показниковою функцією називають функцію , де - задане число, що не дорівнює одиниці; і - змінні.

Властивості показникової функції  учні спочатку «читають» за графіком, а потім учитель доводить їх аналітично. Попередньо потрібно повторити властивості  степенів.

Властивість 1. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, оскільки вираз за визначений для будь-якого

Цю властивість можна розглянути на прикладі функції :

Властивість 2. Показникова функція набуває лише додатних значень.

Доведення. Справді, за і вираз додатний, а за

 , оскільки і .

Властивість 3. Якщо , то за , за . Якщо , то, навпаки, , а за .

Доведення. Нехай . Розглянемо значення показника із різних числових множин.

1. Нехай — додатне раціональне число, тобто , де і - натуральні числа. Тоді , оскільки за і , .

2. Нехай — додатне ірраціональне число. Тоді існують додатні раціональні числа і , які є десятковими наближеннями , тобто . Вище було доведено, що , а тому і .

3. Якщо   — будь-яке дійсне число, то , де . Тоді .

Випадок, коли , зводиться до попередніх. Учням можна запропонувати як домашнє завдання самостійно виконати доведення для цих значень .

Властивість 4. Якщо , то за будь-якого , що випливає з означення степеня з нульовим показником.

Властивість 5. Показникова функція за зростаюча, а за

- спадна.

   Доведення. Нехай . Тоді , де . Складемо різницю

,

оскільки за другою властивістю  показникової функції , а за третьою властивістю . Отже, . Аналогічно доводиться властивість спадання показникової функції. На цьому етапі важливо сформулювати наслідок із властивості 5, на якому ґрунтується пов’язування показникових рівнянь і нерівностей.    

Властивість 6, Якщо , то за значення а за   значення , залишаючись додатним. Враховуючи монотонність функції, можна стверджувати, що в цьому випадку функція монотонно зростає від 0 до +∞.

Якщо , то за значення, залишаючись додатним, а за значення . Враховуючи монотонність,можна стверджувати, що в цьому випадку монотонно спадає від до 0.

Властивість 7. Областю значень функції є множина всіх додатних чисел.   

       Незважаючи на те, що за доведеною властивістю 2 функція набуває лише додатних значень, залишається нез’ясованим питання, чи не змінюється вона стрибкоподібно. Можна довести, що показникова функція є неперервною але це доводиться в курсі математичного аналізу вищої школи.

На завершення доцільно розв’язати вправи на застосування властивостей показникової функції до порівняння значень степенів, основ степенів, їхніх показників, показати використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього світу.

3.3 Логарифмічна  функція

Перш ніж вводити логарифмічну функцію як функцію, обернену до показникової, доцільно розглянути означення логарифма числа за основою як показника степеня, до якого потрібно піднести число , щоб дістати число , і запровадити символ . Слід звернути увагу учнів, що логарифмічна рівність показникова виражають те саме співвідношення між числами і . За ними можна знайти одне з цих трьох чисел.

Потрібно розв'язати кілька вправ на перехід від показникових до логарифмічних рівностей, обчислення значень виразів на зразок

, а потім навести  основну логарифмічну

тотожність і розв'язати  кілька усних вправ на її застосування до обчислення значень виразів.

Основою для розв'язування логарифмічних рівнянь і нерівностей, тотожних перетворень логарифмічних виразів є чотири теореми про основні властивості логарифмів і наслідки з них, а також деякі важливі логарифмічні тотожності. Це тотожності:

 

 

Можна запропонувати учням  самостійно знайти функцію, обернену до показникової функції , скориставшись відомим їм алгоритмом відшукання формули функції, оберненої до даної, з яким вони могли ознайомитися раніше під час вивчення обернених тригонометричних функцій. Учні самі доходять означення логарифмічної функції як оберненої до показникової, виконуючи три кроки.