Показникова функція, її графік і властивості

.

Логарифмуючи цю формулу, отримуємо:

,

або ,

а приймаючи число коливань найнижчого за одиницю () і приводячи усі логарифми до основи,  рівній  2 (чи просто приймаючи ), маємо:

.

Звідси видно, що номери клавіш рояля представляють собою логарифми  чисел тих коливань, що відповідають  звукам. Ми навіть можемо сказати, що номер октави  є характеристикою, а номер звуку в даній октаві - мантису цього логарифма».

4.7 Логарифми і відчуття.

 Відчуття, що сприймаються  людськими органами чуття, можуть  викликатися  подразненнями, що  відрізняються одне  від одного  у багато мільйонів і навіть  мільярдів разів. Удари молота  об сталеву плиту породжують  шум, який в сто  мільярдів  разів голосніше, ніж тихий  шелест листя, а яскравість  дуги вольта в трильйони разів  перевершує яскравість якої-небудь  слабкої зірочки, ледве видимої  на нічному небі. Якби відчуття  були пропорційні  подразненням, то органи чуття повинні були  б давати відчуття, що відрізняються  одне від одного в мільярди  і трильйони разів. Але ніякі  фізіологічні процеси не дозволяють  дати такого діапазону відчуттів.  Поставлені досліди показали, що організм ніби   «логарифмує» отримані ним подразнення. Це означає, що  величина відчуття приблизно пропорційна логарифму величини подразнення.

4.8 Перетворена, відроджуюся знову.

Літак,  що вилетів з  якої-небудь точки земної кулі прямо  на північ, через деякий час виявиться  над Північним полюсом. Якщо ж  він полетить на схід, то, облетівши  паралель, повернеться в той же пункт, з якого вилетів. Припустимо тепер, що літак вибере  проміжний  напрям і летітиме, тримаючись увесь  час  одного і того ж курсу, тобто  перетинаючи усі меридіани під  одним і тим же кутом, відмінним  від прямого. Коли він облетить земну  куля, то потрапить в точку, що має  ту ж довготу, що і точка вильоту, але розташовану ближче до Північного полюсу. Після наступного обльоту  він  виявиться ще ближчий до полюса і, продовжуючи летіти як описано  вище, описуватиме навколо полюса спіраль, що звужується.

 Зображуватимемо тепер полярну область  на карті так, щоб при цьому  збереглися кути між лініями, тобто  щоб кут між двома лініями  на земній кулі дорівнював  куту між  зображеннями цих ліній на карті (під кутом між лініями розуміють  кут між їх  дотичними в точці  перетину). Таку карту можна  зробити, наприклад, провівши площину, що дотикається  до земної кулі в Північному полюсі, і спроектувавши з Південного полюса на цю площину земну поверхню.

На отриманій карті  шлях літака зобразиться  спіраллю, що перетинає під одним і тим  же кутом всі промені, що виходять з Північного полюса(мал. 8).  Виведемо рівняння цієї спіралі в полярних координатах. Для цього помітимо, що дотичні до спіралі перетинають відповідні радіус-вектори під одним і тим же кутом. А в попередньому пункті ми встановили, що тангенс цього кута () дорівнює . Тому диференціальне рівняння спіралі має вигляд , тобто , де . Розв’язуючи його, отримуємо, що  , або .

Оскільки це рівняння пов'язане  з логарифмічною функцією, то виражену ним спіраль Пьер Варіньон (1654-1722) назвав логарифмічною. При виведенні рівняння логарифмічної спіралі вийшло не одне рівняння, а нескінченна множина : постійна може мати нескінченно багато значень. Спіралі, що належать сімейству ліній , отримуються одна з одної за допомогою гомотетії  відносно центра . Але ці спіралі можна одержувати одна з одної і обертанням навколо точки . Насправді ж при повороті на кут рівняння переходить в рівняння , тобто в , де            . Таким чином, поворот на кут рівносильний перетворенню  гомотетії з коефіцієнтом . Цим пояснюється цікавий оптичний ефект. Якщо обертати малюнок, на якому зображено сімейство логарифмічних  спіралей, то при обертанні в одному напрямі ми побачимо, що спіралі розширюватимуться, а при обертанні в протилежному напрям вони звужуватимуться.

Логарифмічна спіраль  має цілий ряд чудових властивостей. Хоча вона робить нескінченно  багато оборотів навколо полюса, довжина  її частини, що звужується, яка починається  в точці , скінченна і рівна . Тому довжина дуги АВ цієї спіралі пропорційна різниці довжин радіус-векторів, проведених у точки А і В (коефіцієнт пропорціональності дорівнює   ).

Якщо намотати на логарифмічну спіраль нитку, кінцем якої служить  точка , і почати розмотувати цю нитку, то другий кінець нитки опише лінію, яка дорівнює початковій спіралі. Так само рівну спіраль утворюють основи перпендикулярів, опущених з полюса на дотичні до логарифмічної спіралі.

Ця здатність логарифмічної  спіралі залишатися незмінною при  найрізноманітніших перетвореннях  настільки уразила Якоба Бернуллі, котрий вперше вивчав її, що він назвав її spira mirabilis (дивовижна спіраль). Він  навіть надавав її властивостям містичний  сенс і  заповідав, щоб на його надгробку  зображували цю спіраль і написали: Eatem mutata, resurgo (перетворена, відроджуюся знову).

4.9  Логарифмічна спіраль в природі і техніці.

У  техніці часто застосовують ножі, що обертаються. Сила, з  якою вони давлять на матеріал, що розрізає, залежить від кута різання, тобто кута між  лезом ножа і напрямом швидкості  обертання. Для постійності тиску  треба, щоб кут різання зберігав постійне значення, а це буде у тому випадку, якщо леза ножів поставлені по дузі логарифмічної спіралі(мал. 9). Величина кута різання залежить від оброблюваного матеріалу.

У гідротехніці по логарифмічній  спіралі  згинають трубу, що підводить  потік води до лопатей турбіни. Завдяки  такій формі труби втрати енергії  на  зміни напрямку течії в  трубі являються  мінімальними і  натиск води використовується з максимальною продуктивністю.

Пропорціональність довжини дуги спіралі різниці довжин радіус-векторів використовують при проектуванні зубчастих  коліс зі змінним передатним числом. Для цього беруть два квадрати, розташованих так, як  показано на малюнку 4, і через середину і кінець кожної сторони проводять дуги  однакових  логарифмічних  спіралей з полюсами в центрах квадратів, причому  одна  спіраль закручується по годинній стрілці, а інша - проти годинникової стрілки. Тоді при обертанні цих  квадратів дуги спіралей котитимуться одна по іншій без ковзання.  Передатне  число, тобто відношення кутових  швидкостей цих коліс, буде безперервно  мінятися, досягаючи в течію одного обороту колеса чотири разу максимального  значення і чотири рази мінімального.

Живі істоти зазвичай ростуть, зберігаючи загальне зображення своєї  форми. При цьому найчастіше вони ростуть на всіх напрямках - доросла  істота і вищі і товщі дитинчати. Але ракушки морських тварин можуть рости лише в одному напрямі. Щоб  не занадто витягуватися в довжину, їм доводиться скручуватися,  причому  кожен наступний виток подібний до попереднього. А такий ріст може здійснюватися лише по  логарифмічній спіралі або її деяким просторовим  аналогам(мал. 5). Тому ракушки багатьох молюсків, равликів, а також роги таких ссавців, як архари (гірські козли) закручені по логарифмічній спіралі. Можна сказати, що ця спіраль являється  математичним символом співвідношення форми і зростання. Великий німецький поет Йоган-Вольфганг Гете рахував її навіть математичним символом життя і духовного розвитку.

По логарифмічній спіралі  обкреслені не лише  ракушки - в соняшнику  насіння розташоване по дугах, близьким до логарифмічної спіралі і т. д. Один з найбільш поширених павуків, еплейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центру по  логарифмічним спіралям. По логарифмічних спіралях  закручені і багато галактик, зокрема Галактика, якій належить Сонячна система.

 

 

Висновок

В курсовій роботі  розглянуто поняття показникової та логарифмічної  функцій та їх основні властивості. Ми розглянули деякі варіанти введення поняття степені, показникової функції та логарифмічної функції.

Методика викладання даної  теми розкривалася згідно навчальної програми. В роботі були вказані основні вимоги до учнів у ході вивчення даної теми.

Міністерство освіти виділяє  на тему «Показникова та логарифмічна функції» 16 годин і рекомендує викладати  тему в такій послідовності:

• Повторення відомостей про функції.
• Степінь із довільним дійсним показником.
• Властивості та графіки показникової функції.
• Логарифми та їх властивості.
• Властивості та графік логарифмічної функції.
• Показникові та логарифмічні рівняння і нерівності.

Я вважаю, що вивчення цієї теми в школі дуже важливе, оскільки показникова  та логарифмічна функції широко представлені в природі, техніці. Вони часто зустрічаються  в нашому житті.

 

Література

1. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», М., «Высшая школа», 1990 г.
2. Энциклопедический словарь юного математика - Сост. А.П.Савин. – М. : Педагогика, 1989.
3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.
4. Програма з математики для 10 – 11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту.
5. Слєпкань З.І.  Методика навчання математики – К.: Вища школа, 2006.
6. Алгебра: Учебник для 8 кл. средней школы. Под ред.С.А. Теляковсого – 2-е издания – М.: Просвещение, 1991.
7. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С.  Алгебра і початки аналізу – Підручник для 10-11 кл. знз – К.: Техніка, 1996.
8. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. – М.: Просвещениу, 1978.