Метод анализа иерархий

Общая цель и другие критерии иерархии в социополитических приложениях могут не быть единственными. Они зависят от исследуемого вопроса. Это не является специфической особенностью иерархии, а присуще жизненным ситуациям.

Пример, в шахматах известны постоянные (априорные) величины, характеризующие веса фигур в начале игры. Имеются также текущие (апостериорные), или эмпирические величины, характеризующие веса фигур в зависимости от сопоставления занятых ими позиций в конце партии. Значения весов обоих типов для фигуры могут быть получены в соответствии с двумя положениями: 1) в зависимости от того, сколько клеток они контролируют, располагаясь па каждой клетке; 2) к зависимости от возможности фигуры объявить шах королю противника так, чтобы самой не быть убитой.

При этом значения в случае 2 близки, а в случае 1 они различны. Анализ приводит к вопросу: «какова в действительности относительная ценность фигур в шахматах?» Очевидно, что единственного ответа здесь нет. Тем не менее может быть приемлемым ответ в терминах относительного упорядочивания значений.

 

 

 

 

Имеются следующие относительные веса коня, слона, ладьи и ферзя:

	Случай 1	Случай 2
	Контроль клеток	Угроза королю
Постоянное значение	3, 5, 8, 13	12, 13, 24, 37
Текущее значение (получены эмпирически)	350, 360, 540, 1000	12, 13, 18, 33

 

Наше чувственное восприятие действует специфически, а именно, служит потребностям выживания. Поэтому, хотя мы и стараемся быть объективными при интерпретации опыта, наша способность понимать и абстрагировать - очень субъективна и обычно служит нашим нуждам! Выживание, по-видимому, является основой для выработки целей. В действительности, то, что мы подразумеваем под объективностью, есть разделенная субъективность. Поэтому формируемые нами иерархии объективны в соответствии с нашим собственным определением, так как они отражают коллективный опыт.

Важным замечанием при иерархическом подходе к решению задач является то, что функциональное воспроизведение системы может быть различным у разных лиц, однако люди обычно приходят к согласию по нижнему уровню альтернативных действии, которые нужно предпринимать, и по следующему за ним уровню характеристик этих действий. Например, нижний уровень может состоять из различных маршрутов движения транспорта между двумя пунктами, а уровень характеристик может включать время следования, сужения, выбоины, безопасность и т.д. В таблице 1 показаны уровни иерархий различных типов, однако лицо, формирующее иерархию, должно быть уверенным в том, что уровни естественно связаны друг с другом. При необходимости уровень может быть разбит на два уровня и более или совершенно удален [2].

Общее построение иерархий и декомпозиция               Таблица 1

Общая иерархия	Ограничения и силы окружающей среды	Перспектива (акторы)	Цели акторов	Возможные действия	Исходы	Результирующий исход
Иерархия для конфликта	Ограничения	Акторы	Цель	Возможные действия	Исходы	Компромисс или устойчивый исход
Прямое или проектируемое планирование	Возможные организационные действия в настоящее время	Другие акторы	Цели  других акторов	Возможные действия	Сценарии	Логическое будущее
Обратное или идеализированное планирование	Ответные возможные организационные действия	Другие акторы	Цели других акторов	Возможные действия других акторов	Сценарии	Желательное будущее
Анализ стоимость-эффективность	Критерии	Подкритерии	Цели	Возможные действия	Выборы	Лучший выбор или смесь
Выбор капиталовложений	Уровень риска	Основные силы	Критерии	Сферы задач	Характерные проекты
Прогнозирование	Уровень риска	Основные силы	Критерии	Сферы задач	Категории

 

 

2. Приоритеты в иерархиях

 

Иерархия, в том виде, в каком она представлена в  предыдущем разделе, является более или менее заслуживающей доверия моделью реальной ситуации. Она отражает проведенный анализ наиболее важных элементов и их взаимоотношений, однако она - не достаточно мощное средство в процессе принятия решений или планирования. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель.

Для большей ясности возвратимся  к иерархии колледжа из предыдущего раздела. Как уже было отмечено, нас интересует «сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа». Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей цели. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсюда несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. Затем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем действенность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий.

Определим «степень влияния», или  приоритеты, элементов одного уровня относительно их важности для элемента следующего уровня. Здесь представим только наиболее элементарные аспекты нашего метода. Психологическая мотивация и математические основы метода будут изложены позже.

Введем некоторые понятия. Матрица - это массив чисел и виде прямоугольной таблицы. Горизонтальная последовательность чисел в матрице называется строкой, а вертикальная - столбцом. Матрица, состоящая только из одной строки или из одного столбца, называется вектором, а с одинаковым числом строк и столбцов - квадратной. Полезно отметить, что с квадратной матрицей ассоциируются ее собственные векторы и соответствующие собственные значения.

Метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы одного, скажем, четвертого уровня иерархии и один элемент е следующего более высокого уровня. Нужно сравнить элементы четвертого уровня попарно по силе их влияния на е, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Определим шкалу приоритетов для  следующего примера. Пусть А, В, С и D обозначают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Создадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждения производит человек, стоящий около источника света, у которого, например, спрашивают: «Насколько сильнее освещенность стула В по сравнению с С ?» Он отвечает одним из чисел для сравнения, записанных в таблице, и это суждение заносится в позицию (В, С) матрицы. По соглашению сравнение силы всегда производится для действия или объекта, стоящего в левом столбце, по отношению к действию или объекту, стоящему в верхней строке. Мы получим матрицу попарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (матрица 4x4).

Условимся, что это  следующие числа. Пусть заданы элементы А и В; если:

А и В одинаково важны, заносим 1;

А незначительно важнее, чем В, заносим 3;

А значительно важнее В, заносим 5;

А явно важнее В, заносим 7;

А по своей значительности абсолютно превосходит В, заносим 9 в позицию (А, В), где пересекаются строка А и столбец В.

При сравнении элемента с самим  собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки А со столбцом А в позиции (А, А) заносим 1. Поэтому главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные величины: 1, 1/3, .... или 1/9 на пересечениях столбца А и строки В, т.е. в позицию   (В, А) для обратного сравнения В с А. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины используются для облегчения компромиссов между слегка  отличающимися от основных чисел суждениями.   Используются также рациональные, числа для получения отношений из описанных выше значений шкалы,  когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений (не менее n-1).

В общем случае, под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них.   Для проведения парных сравнении n объектов или  действий при условии, что каждый объект или действие представлен в данных по крайней мере один раз, требуется (n-1) суждений о парных сравнениях. Из них можно просто вывести все остальные суждения, используя следующее отношение: если объект А₁ в 3 раза превосходит объект А₂ и в 6 раз превосходит А₃, то А₁=3А₂ и А₁=6А₃. Следовательно, 3А₂=6А₃, или А₂=2А₃ и А₃=1/2А₂. Если численное значение   суждения в позиции (2, 3) отличается от 2,  то матрица будет несогласованной.   Это случается часто и не является бедствием. Даже при использовании для суждений всех действительных чисел до тех пор, пока не будет  суждении по основным (n-1) объектам, получить согласованные числа невозможно. Добавим, что для большинства задач очень трудно определить (n-1) суждений, связывающих все объекты или виды действия, одно из которых является абсолютно верным.

Известно,  что согласованность  положительной  обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию равенства ее максимального собственного значения с n. Можно также оценить отклонение от согласованности разностью , разделенной на n-1. Заметим, что неравенство всегда верно. Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного значения величины с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Вернемся теперь к нашему примеру освещенности стульев. В матрице для чисел   имеется 16 нолей. Четыре из них уже определены,    а именно те, что находятся на диагонали, (А, А), (В, В), (С, С), (D, D) и равны единице, так как, например, стул А имеет одинаковую освещенность по отношению к самому себе. Для оставшихся после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнении, поскольку остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть обратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию (В, С), так как полагает, что интенсивность освещенности стула В по сравнению со стулом С находится между слабой и сильной. Тогда и позицию (С, В) автоматически заносится обратная величина, т.е. 1/4, что не обязательно, но в общем случае рационально.

После проведения оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин, для всей матрицы получим:

 

 

 

Освещенность	А      В    С D
А В С D

Следующий шаг состоит  в вычислении вектора приоритетов  по данной матрице: В математических терминах это - вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. В отсутствие ЭВМ, позволяющей точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности оценок.

1. Суммировать элементы  каждой строки и нормализовать  делением каждой суммы на сумму  всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

2. Суммировать элементы  каждого столбца и получить  обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

3. Разделить элементы  каждого столбца на сумму элементов  этого столбца (т.е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки. Это - процесс усреднения но нормализованным столбцам.

4. Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени. Нормализовать полученные числа.

Для простой иллюстрации  того, что методами 1, 2 и 3 получаем предполагаемые ответы, используется урна с тремя белыми (Б), двумя черными (Ч) и одним красным (К) шарами. Вероятность извлечения Б, Ч или К шара, соответственно: 1/2, 1/3, 1/6. Легко убедиться, что любым из первых трех методов эти вероятности получатся при использовании следующей согласованной матрицы попарных сравнений. Метод 4 дает такой же результат.