Метод анализа иерархий

	Б      Ч   К
Б Ч К

Отметим, что в общем  случае, когда матрица не согласована, эти методы дают различные результаты. Применим различные методы оценки решения в примере со стульями.

Метод 1 дает сумму строк этой матрицы в виде вектора-столбца: (19,00; 11,20; 5,42; 1,56). Сумма всех элементов матрицы получается путем сложения компонент этого вектора и равна 37,18. Разделив каждую компоненту вектора на это число, получим записанный в виде строки (0,51; 0,30; 0,15; 0,04) вектор-столбец приоритетов относительной освещенности стульев А, В, С и D соответственно.

Метод 2 дает сумму столбцов этой матрицы в виде вектора-строки (1,51; 6,43; 11,25; 18,00). Обратными величинами этих сумм являются (0,66; 0,16; 0,09; 0,06), а после нормализации становятся (0,68; 0,16; 0,09; 0,06).

Методом 3 нормализуем  каждый столбец (складываем компоненты и делим каждую компоненту на эту сумму) и получаем матрицу:

Сумма строк  является вектором-столбцом (2,36; 0,98; 0,46; 0,20), который после деления на размерность столбцов 4 позволяет получить вектор-столбец приоритетов (0,590; 0,245; 0,115;0,050).

Метод 4 дает (0,61; 0,24; 0,10; 0,04).

Точное решение задачи, которое изложено далее, получается путем возведения матрицы в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. С точностью до одной сотой это решение будет (0,61; 0,24;

0,10; 0,05).

Сравнивая полученные результаты, отметим, что точность повышается от 1 к 2 и далее к 3, однако одновременно усложняются вычисления. Если матрица согласована, то во всех четырех случаях векторы приоритетов будут одинаковыми. В случае несогласованности очень хорошее приближение можно получить только с помощью метода 4.

Приведем метод получения грубой оценки согласованности.

Умножив матрицу сравнений  справа на полученную оценку вектора  решения, получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора па первую компоненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора на вторую компоненту оценки вектора решения и т.д., определим еще один вектор. Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу (называемому максимальным или главным собственным значением), используемому для оценки согласованности, отражающей пропорциональность предпочтений. Чем ближе к п (числу объектов или видов действия в матрице), тем более согласован результат. Отклонение от согласованности может быть выражено величиной , которую называют индексом согласованности.

Индекс согласованности  сгенерированной случайным образом  по шкале от 1 до 9 обратносимметричной  матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, называют случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Ок-Риджа коллеги сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Так как величина выборки была только 100, наблюдались статистические флуктуации в индексе при переходе от матрицы одного порядка к другому. Поэтому вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до 11x11, а далее использовались предыдущие результаты для п =12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше:

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0,00	0,00	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51	1,48	1,56	1,57	1,59

 

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, считается приемлемым.

Чтобы проиллюстрировать  на примере приближенные вычисления ИС, для нахождения используем приведенную выше матрицу и третий вектор-столбец, полученный методом 3. После умножения матрицы справа на вектор приоритетов (0,59; 0,25; 0,11; 0,05) получим вектор-столбец (2,85; 11,11; 0,47; '0,20). Разделив компоненты этого вектора на соответствующие компоненты первого вектора, получим (4,83; 4,44; 4,28; 4,00), а в результате усреднения последних - 4,39. Отсюда ИС - (4,39-4)/3=0,13. Для определения того, насколько хорош этот результат, разделим его на соответствующий СИ=0,90. Отношение согласованности 0,13/0,90=0,14, что, не так уж близко к 0,10.

Эти сравнения и вычисления устанавливают приоритеты элементов  некоторого уровня иерархии относительно одного элемента следующего уровня. Если уровней больше, чем два, то различные векторы приоритетов могут быть объединены в матрицы приоритетов, из которых определяется один окончательный вектор приоритетов для нижнего уровня [2].

 

 

3. Интуитивное обоснование  метода

 

Допустим, что п видов действия или объектов рассматриваются группой экспертов. Предположим, что цели группы следующие: 1) высказать суждения об относительной важности этих объектов; 2) гарантировать такой процесс получения суждений, который позволит количественно интерпретировать суждения по всем объектам.  Очевидно, что для достижения второй цели потребуется разработка соответствующего метода.

Целью является описание метода получения из количественных суждений группы (т.е. из относительных величин, ассоциируемых с парами объектов) множества весов, ассоциируемых с отдельными объектами; в том смысле, который определен ниже, эти веса должны отражать количественные суждения группы. Благодаря такому подходу полученную из (1) и (2) информацию приводим в удобную форму без информационных потерь, свойственных качественным суждениям.

Пусть - совокупность объектов (возможных действий). Количественные суждения о парах объектов представляются матрицей размера

,

Элементы определены по следующим правилам:

Правило 1. Если , то , .

Правило 2. Если суждения таковы, что , имеет одинаковую с относительную важность, то , ; в частности, для всех .

Итак, матрица A имеет вид:

После представления  количественных суждений о парах  в числовом выражении через задача сводится к тому, чтобы п возможным действиям поставить в соответствие множество числовых весов , которые соответствовали бы зафиксированным суждениям.

Для этого, во-первых, необходимо нечетко сформулированной задаче придать строгую математическую форму. Этот существенный шаг является наиболее важным в любой задаче, в которой требуется представить жизненную ситуацию в терминах абстрактной математической структуры. Особенно важен он в рассматриваемой задаче, поскольку в ней процесс математической формулировки включает в себя ряд не явно видимых переходов. Поэтому в данной задаче желательно четко определить основные этапы процесса ее формулирования и как можно подробнее описать каждый этап, чтобы потенциальный пользователь мог составить собственное мнение о значимости и ценности этого метода для решения его конкретной задачи.

Основным является вопрос, связанный со смыслом нечетко  сформулированного условия в  изложении цели: «...эти веса должны отражать количественные суждения группы». Это вызывает необходимость описания в точных, математических терминах, каким образом зависят веса , от суждений . Другими словами, задача определения условий, которые накладываются на искомые веса, решается относительно полученных суждений. Необходимое описание проводится в три этапа, начиная от простейшего частного случая и кончая общим.

Этап 1. Предположим, что «суждения» - просто результат точных физических измерений. Пусть экспертам даны несколько камешков и точные весы. Чтобы сравнить и , на весы кладут и считывают показания, скажем г. Затем взвешивают и получают г. Деление на дает 1,25. После этого эксперты высказывают суждение: « в 1,25 раза тяжелее » и записывают это в виде . Таким образом, в идеальном случае точного измерения отношения между весами и суждениями выражаются в виде:

               (для )                                          (1)

и

 

Тем не менее нереальным было бы требование выполнения этих условий  в общем случае. В большинстве  практических случаев это сделало  бы задачу нахождения (при заданных ) неразрешимой. Во-первых, даже физические измерения никогда не бывают точными в математическом смысле, и, следовательно, отклонения должны быть приняты во внимание; во-вторых, эти отклонения достаточно велики из-за ошибок в человеческих суждениях.

 

Этап 2. Чтобы понять, как установить допуски на отклонения, рассмотрим -ю строку матрицы А. Элементами этой строки являются:

В идеальном (точном) случае эти величины не что иное, как отношения:

Следовательно, в идеальном  случае при умножении первого  элемента этой строки на , второго – на и т.д. получим:

В итоге имеем строку идентичных элементов , тогда как в общем случае мы получили бы строку элементов, представляющих статистическое рассеивание значений вокруг . Поэтому, видимо, имело бы смысл требование равенства среднему этих значений. Следовательно, вместо выражения (1) в идеальном случае

     ( )                                                     (2)

более реалистичные выражения  для общего случая принимают вид (для каждого фиксированного )

среднее из

Иначе это можно записать в виде:

   ( )

Несмотря на то, что  условия для выражения (2) являются менее строгими, чем для выражения (1) все еще остается вопрос: достаточны ли эти условия для существования решения; т.е. гарантируется ли решаемость задачи по определению единственных весов при заданных ?

 

Этап 3. Чтобы найти ответ на заданный выше существенно математический вопрос, необходимо записать (2) в еще одном, более знакомом виде. Для этого необходимо подытожить цепь рассуждений по данному вопросу. При поиске условий, описывающих зависимость вектора весов от количественных суждении, мы вначале рассмотрели идеальный (точный) случай этапа 1 и получили выражение (1). Затем, ясно понимая, что в реальном случае потребуется допускать отклонения, мы предусмотрели такие допущения на этапе 2 и пришли к формулировке (2). Оказалось, что все это еще недостаточно реалистично, т.е. то, что выражение (2), имеющее силу в идеальном случае, все еще слишком строго для гарантирования существования такого вектора весов , который удовлетворял бы (2). Отметим, что при хороших оценках приближается к и, следовательно, является малым возмущением этого отношения. Теперь выходит, что поскольку изменяется, соответствующее решение (2) получим (т.е. и могут изменяться, чтобы приспособиться к отклонению от идеального случая), если изменится п. Обозначим это значение п через . Следовательно, задача

   ( )                                  (3)

имеет решение, которое также должно быть единственным. Это - хорошо известная задача о собственном значении.

В общем случае отклонения в  могут вызывать большие отклонения как в так и в ( ). Однако в случае обратносимметричных матриц, удовлетворяющих правилам 1 и 2, этого не наблюдается, т.е. имеется устойчивое решение.

В данном разделе представлено интуитивное обоснование подхода. Существует элегантный способ его математического формулирования. Излагая его в матричных обозначениях, начнем с того, что назовем идеальным случаем , где А - согласованная матрица, и рассмотрим обратносимметричную матрицу А` (являющуюся возмущением матрицы А), выявленную из суждений о парных сравнениях, а также решим задачу , где - наибольшее собственное значение А`.

Иногда интерес представляет превосходство, обратное относительно данной характеристики. Назовем его рецессивностью одного вида действия при сравнении с другим относительно этой характеристики. В этом случае решается задача нахождения левого собственного вектора в . Компоненты и в общем случае являются взаимообратными величинами только тогда, когда А согласованна. Когда нет согласованности, они взаимообратны для п=2 и п=3. В общем, ожидать, что между ними будет существовать определенная взаимозависимость, не следует. Фактически эти два вектора соответствуют двум сторонам лика Януса - светлой и темной [2].

 

 

4. Иерархии и суждения, получаемые с помощью анкетирования

 

Иерархию в рассматриваемой проблеме можно выявить посредством анкетирования, синтезировать результат и продолжить дело с помощью анкеты для выявления суждений.

Рассмотрим иллюстрацию  того, как могут быть получены суждения для одной матрицы с использованием анкеты. Тот же метод может быть применен для иерархии. Приведем пример для получения суждений об относительной освещенности стульев.

 

Относительная освещенность                                 Таблица 2

Столбец 1	Абсолют-ное	Очень  сильное	Силь- ное	Слабое	Равен- ство	Слабое	Силь- ное	Очень сильное	Абсолют-ное	Столбец 2
С1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	С2
С1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	С3
С1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	С4
С2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	С3
С2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	С4
С3	-	-	-	-	-	-	-	-	-	С4