Ряды динамики

    

    Если  временные промежутки интервального  динамического ряда неравны, то значение среднего уровня находят по формуле  средней арифметической взвешенной, в которой в качестве весов  используют длину временных периодов, соответствующих уровням ряда динамики (t_i)

    

    Пример 3. По данным, представленным в таблице, определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект:

    

    

    В моментных рядах динамики с одинаковыми временными промежутками между датами средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней хронологической простой

    

  где y_n ¾ значения показателя на конец рассматриваемого периода.

    Пример  4. По приведенным ниже данным о размере денежных средств на счете вкладчика на начало каждого месяца определим средний размер вклада в I квартале 2006 г.:

    

    Средний уровень моментного ряда динамики равен

    

    Хотя  I квартал включает три месяца (январь, февраль, март), в расчете должны быть использованы четыре уровня ряда (включая данные на 1 апреля). Это легко доказать. Действительно, если исчислять средние уровни по месяцам, то получим:

    ^{в январе}

    ^{в феврале}

    ^{в марте}

    Рассчитанные  средние образуют интервальный ряд  динамики с равными временными промежутками, в котором средний уровень исчисляется, как мы видели выше, по формуле средней арифметической простой

    

    Аналогично, если требуется рассчитать средний  уровень моментного ряда динамики с  равными интервалами между датами за первое полугодие, то в качестве последнего уровня в формуле средней хронологической простой следует взять данные на 1 июля, а если за год ¾ данные на 1 января следующего года.

    В моментных рядах динамики с неравными  промежутками между датами для определения  среднего уровня применяется формула  средней хронологической взвешенной

    

  где t_i ¾ длина временного периода между двумя соседними датами.

    Пример  5. По данным о запасах товаров на начало месяца определим средний размер товарных запасов в 2006 г.

    

    Средний уровень ряда равен:

    Расстояние  между датами

    

    Если  имеется полная информация о значениях  моментного статистического показателя на каждую дату, то среднее значение этого показателя за весь период исчисляется  по формуле средней арифметической взвешенной

    

  где y_i ¾ значения показателя

t_i¾ длина периода, в течение которого это значение статистического показателя оставалось неизменным.

    Если  мы дополним пример 9.4 информацией о  датах изменения денежных средств  на счете вкладчика в I квартале 2006 г., то получим:

    ¨ остаток денежных средств на 1 января ¾ 132 000 руб.;

    ¨ 5 января выдано ¾ 19 711 руб.;

    ¨ 28 января внесено ¾ 35 000 руб.;

    ¨ 20 февраля внесено ¾ 2000 руб.;

    ¨ 24 февраля внесено ¾ 2581 руб.;

    ¨ 3 марта выдано ¾ 3370 руб. (в марте других изменений не происходило).

    Итак, с 1 по 4 января (четыре дня) значение показателя оставалось равным 132 000 руб., с 5 по 27 января (23 дня) его значение составило 112 289 руб., с 28 января по 19 февраля (23 дня) ¾ 147 289 руб., с 20 по 23 февраля (четыре дня) ¾ 149 289 руб., с 24 февраля по 2 марта (семь дней) ¾ 151 870 руб., с 3 по 31 марта (29 дней) ¾ 148 500 руб. Для удобства проведения расчетов представим эти данные в таблице:

    По  формуле средней арифметической взвешенной находим значение среднего уровня ряда

    Как видим, среднее значение отличается от полученного в примере 9.4, оно является более точным, так как в вычислениях использовалась более точная информация. В примере 9.4 были известны лишь данные на начало каждого месяца, при этом не оговаривалось, когда же именно происходили изменения показателя, была применена формула хронологической средней.

    В заключение отметим, что расчет среднего уровня ряда теряет свой аналитический  смысл в случаях большой изменяемости показателя внутри ряда, а также  при резкой смене направления  развития явления.

2.2. Показатели абсолютного изменения уровней динамического ряда

    Абсолютные  приросты рассчитываются как разность между двумя значениями соседних уровней динамического ряда (цепные приросты) или как разность между значениями текущего уровня и уровня, принятого за базу сравнения (базисные приросты). Показатели абсолютного прироста имеют те же единицы измерения, что и уровни динамического ряда. Они показывают, на сколько единиц изменился показатель при переходе от одного момента или периода времени к другому.

    Базисные  абсолютные приросты рассчитывают по формуле

где у_i ¾ i-й текущий уровень ряда,

   y₁ ¾ первый уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

    Формула для определения цепных абсолютных приростов имеет вид

где у_{i - 1} ¾ уровень, предшествующий i-му уровню динамического ряда.

    Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем ежемесячно, или ежеквартально, или ежегодно и т. д. изменялось значение показателя в течение рассматриваемого периода времени. В зависимости от того, какими данными мы располагаем, его можно рассчитать следующими способами:

    ¹⁾

 ^{¾ цепные абсолютные приросты показателя;}

    ²⁾

где y_n ¾ последний уровень ряда.

    Пример  6. По данным таблицы определим показатели абсолютных приростов размера страхового возмещения, выплаченного страховой компанией.

    

* Сумма  всех рассчитанных цепных абсолютных  приростов дает базисный абсолютный  прирост последнего периода.

    Среднемесячный  абсолютный прирост за полугодие  равен

    

    

    Таким образом, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался на 1,2 тыс. руб.

2.3. Показатели относительного  изменения уровней  динамического ряда

    Характеристиками  относительного изменения уровней ряда динамики являются коэффициенты и темпы роста значений показателя и темпы их прироста.

    Коэффициент роста представляет собой соотношение двух уровней динамического ряда, выраженное в виде простого кратного отношения. Он показывает, во сколько раз изменилось значение показателя в одном периоде (моменте) времени по сравнению с другим. Темп роста ¾ это коэффициент роста, выраженный в процентах. Он показывает, сколько процентов составляет значение показателя в данном периоде, если уровень, с которым проводится сравнение, принять за 100%.

    Так же, как и абсолютные приросты, коэффициенты и темпы роста могут быть цепными  и базисными.

    Цепные  коэффициент и темп роста измеряют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с предшествующим ему уровнем:

    ^{коэффициент роста:}

    ^{темп  роста:}

    Базисные  коэффициент и  темп роста характеризуют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с базисным (чаще всего с первым) уровнем:

    ^{коэффициент роста}

    ^{темп  роста} 

    Цепные  и базисные коэффициенты роста имеют  между собой следующую связь:

¨ произведение всех рассчитанных до текущего периода цепных коэффициентов роста дает базисный коэффициент роста текущего периода:

¨ деление базисного коэффициента роста текущего периода на базисный коэффициент роста предшествующего периода дает цепной коэффициент роста текущего периода

    Средние темп роста и коэффициент  роста в динамических рядах с равноотстоящими уровнями рассчитываются по формуле средней геометрической простой

 ^{¾ цепные коэффициенты роста;}

      ^{¾ цепные темпы роста.}

    Эти формулы могут быть приведены  к следующему виду:

    Для того чтобы определить, на сколько процентов текущий уровень показателя больше или меньше значения предшествующего или базисного уровня, рассчитываются темпы прироста. Они исчисляют путем вычитания 100% из соответствующих темпов роста:

    ¨ цепные темпы прироста:

    ¨ базисные темпы прироста:

    Значения  темпов прироста можно получить и  другим способом, а именно через  отношение соответствующих абсолютных приростов к уровням показателей, принятым за базу сравнения:

    ¨ цепные темпы прироста:

    ¨ базисные темпы прироста:

    Средний темп прироста рассчитывается аналогичным образом: из среднего темпа роста вычитаются 100%:

    Пример  7. В таблице приведены рассчитанные коэффициенты роста, темпы роста и прироста показателя, характеризующего среднемесячный размер выплаченного компанией страхового возмещения за период с января по июнь.