Ряды динамики

    ¨ парабола 2-го порядка:

 ^{= a₀ + a₁t + a₂t2;}

    ¨ показательная:

 ^{= a₀ × a₁t2}

    ¨ гиперболическая:

    Кроме того, возможности современного программного обеспечения (например, система STATISTICA) позволяют использовать в качестве модели тренда математическую функцию  любого (задаваемого пользователем) произвольного вида.

    Выравнивание по линейной функции (прямой). Выбор в пользу выравнивания по линейной функции производят либо по результатам графического анализа эмпирических данных, либо если уровни ряда меняются в арифметической прогрессии (в этом случае рассчитанные цепные абсолютные приросты уровней приблизительно одинаковы).

    При выравнивании по линейной функции (прямой) используется уравнение вида

 ^{= a₀ + a₁t,}

где t ¾ условный показатель времени.

    Параметры уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов путем решения системы нормальных линейных уравнений

    В качестве примера рассмотрим динамический ряд, представленный в табл. 9.9. 
 
 
 

Таблица 9

Доход банков от операций с ценными бумагами за 2001-2006 гг.

    Итак, рассчитанные нами цепные абсолютные приросты относительно постоянны, поэтому можно говорить о целесообразности выбора в качестве аналитической функции уравнения прямой.

    При нахождении параметров уравнения показатель времени удобно обозначить так, чтобы  выполнялось следующее равенство: [åt = 0]. Для этого при нечетном количестве уровней ряда моменту (периоду) времени, находящемуся в центре ряда, придается значение t = 0, предыдущим ¾ присваивают значения -1, -2, -3 и т. д., а последующим ¾ значения 1, 2, 3 и т. д. (т. е. с шагом 1 от середины ряда в одну и другую сторону от центра).

    Предположим, что мы рассматриваем динамический ряд, имеющий пять уровней (за период с 2002 по 2006 г.), тогда условный показатель времени обозначим так, как это показано в табл. 10.

Таблица 10

Обозначение условного показателя времени 
при нечетном количестве уровней динамического ряда

    При четном количестве уровней в середине ряда находятся два момента (периода) времени. Одному из них присваивают  значение t = -1, а другому t = +1. Тогда предыдущие моменты времени получают значения -3, -5 и т. д., а последующие значения ¾ +3, +5 и т. д. (т. е. с шагом 2 в одну и другую сторону от центра).

    При подобном способе обозначения времени  система уравнений упрощается

    Тогда коэффициенты уравнения а₀ и а₁ находят следующим образом:

    Определим по данным табл. 9, в которой представлен ряд динамики с четным числом уровней, параметры уравнения прямой (табл. 11). 
 
 
 
 

Таблица 11

Расчетная таблица для определения  параметров уравнения  прямой

    ^Тогда

    ^{Искомое уравнение прямой имеет вид: = 125,5 + 11,414t.}

    Подставляя  в полученное уравнение соответствующее  значение t, рассчитаем выравненные теоретические значения показателя (см. последнюю графу табл. 9.11). При этом сумма выравненных значений должна равняться сумме эмпирических значений (753), если это не так, то параметры уравнения определены неверно.

    График, построенный по выравненным значениям  показателя, будет отражать тенденцию развития явления во времени (рис. 1).

Рис. 1. Уравнение прямой, описывающее изменение во времени 
дохода банков от операций с ценными бумагами

    На  основе полученного уравнения тренда можно строить прогнозные значения показателя для разных периодов времени  путем подстановки в полученное уравнение значений временной компоненты. Например, для 2007 г. получим следующую  ожидаемую величину дохода:

 ^{= 125,5 + 11,414t = 125,5 + 11,414 × 7 = 205,398 (млн. руб.).}

    Выравнивание  по параболе второго  порядка. При ускоренном или замедленном изменении уровней динамического ряда, когда постоянны рассчитанные вторые разности уровней (цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов), для аналитического выравнивания применяют параболу второго порядка:

 ^{= a₀ + a₁t + a₂t2.}

    Параметры уравнения находят на основе метода наименьших квадратов, при этом обозначение  условного показателя времени  t абсолютно аналогично обозначению времени при построении прямой.

    Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы имеет вид:

    Если  принять обозначение времени, при  котором выполняется равенство St = 0, рассматриваемую систему уравнений можно упростить. Она примет следующий вид:

    Проведем  аналитическое выравнивание данных, характеризующих динамику инвестиций за период 2001-2006 гг. (табл. 9.12).

Таблица 12

Динамика  инвестиций за 2001-2006 гг.

    Рассчитанные  вторые разности демонстрируют относительное  постоянство, поэтому в качестве аналитической функции для выравнивания возьмем уравнение параболы второго  порядка. Наш выбор подтверждает и графический анализ данных (рис. 9.2).

Рис. 2. Динамика инвестиций за 2001-2006 гг.

    Проведем  необходимые расчеты для определения параметров уравнения в табл. 13.

Таблица 13

Расчетная таблица для определения  параметров 
уравнения параболы второго порядка

    Построим  и решим систему уравнений (табл. 9.15):

    Таким образом, искомое уравнение параболы имеет вид

 ^{=158,406 + 29,543t + 3,451t2.}

    Выравнивание  по показательной  функции. Если уровни ряда меняются в геометрической прогрессии, т. е. рассчитанные цепные коэффициенты роста относительно постоянны, то для выравнивания используют показательную функцию вида

 ^{= a₀ × .}

    Параметры показательного уравнения определяются путем решения следующей системы  нормальных уравнений:

    Если  принять обозначении времени t, при котором выполняется условие St = 0, система гораздо упрощается:

    Проведем  аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение числа  страховых компаний региона за период 2000-2006 гг. (табл. 14).

Таблица 14

Динамика  числа страховых компаний региона за 2000-2006 гг.

    Относительно  постоянные цепные коэффициенты роста  позволяют в качестве аналитического выражения тренда выбрать показательную функцию.

    Проведем  необходимые расчеты для определения  параметров выбранного уравнения в табл. 15.

Таблица 15

Расчетная таблица для определения  параметров показательной  функции

    Составим  и решим систему нормальных уравнений:

    Показательное уравнение будет иметь вид

 ^{= 229,8 × 1,03t}

    ^{Подставляя  в полученное уравнение  значения условного  показателя времени t, рассчитаем выравненные значения .}

    Выравнивание  по гиперболе. Если уровни динамического ряда снижаются, постепенно замедляя свою скорость, но по логике никогда не смогут достичь нуля, то для проведения аналитического выравнивания выбирают уравнение гиперболы

    Параметры этого уравнения определяются на основе решения следующей системы  нормальных уравнений:

    ^{При нахождении параметров гиперболы применение принципа «отсчета от условного нуля», который использовался  при нахождении параметров прямой, параболы и показательной функции, становится невозможным из-за выражения при котором t ¹ 0. Поэтому моменты (периоды) времени просто нумеруются, т. е. условному показателю времени присваиваются значения (1, 2, 3 и т. д.) начиная с первого уровня ряда.}