Ряды динамики

    По  формуле средней геометрической простой определим среднемесячный коэффициент роста показателя за период с февраля по июнь:

    

    или

    

    Средний темп роста, соответственно, равен 101,1%. Следовательно, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался в 1,011 раза, или на 1,1%.

    Если  известны средние темпы (или коэффициенты) роста за некоторые неравные отрезки  времени, то средний темп роста за весь период исчисляется по формуле  средней геометрической взвешенной

    

  ^{где ¾ средний темп роста за i-й период времени;}

   t_i ¾ длина i-го периода.

    Пример  8. Среднегодовые коэффициенты роста числа страховых компаний в одной из областей России составили за период 1991-1995 гг. ¾ 1,18; 1995-2000 гг. ¾ 1,24; 2000-2004 ¾ 1,56. Определим среднегодовой коэффициент роста числа страховых компаний за весь период с 1991 по 2004 гг.

    Решение:

    

    Таким образом, за период с 1991 по 2004 гг. среднегодовой  темп роста числа страховых компаний в одной из областей России составил 131,1%, соответственно, среднегодовой темп прироста ¾ 31,1%.

    Для более полного анализа динамики расчет цепных показателей роста  и прироста уровней динамического  ряда часто сопровождаются указаниями абсолютных значений 1% прироста.

    Абсолютное  значение 1% прироста (А_i) определяется как отношение значения абсолютного прироста показателя к его темпу прироста в i-й момент времени

    

    В последней графе таблицы примера 9.7 рассчитаны цепные абсолютные значения 1% прироста. 
 

3. Методы анализа  основной тенденции  в рядах динамики

    Комплексный анализ динамических рядов, как правило, включает не только расчет характеристик интенсивности изменения уровней ряда при переходе от одного момента или промежутка времени к другому (абсолютных приростов, коэффициентов и темпов роста и прироста), а также нахождение обобщенных средних характеристик (среднего уровня ряда, средних темпов роста и прироста), но и выявление основных закономерностей в развитии динамического ряда. Определение тенденции развития, построение модели, описывающей изменение явления во времени, прогнозирование явления ¾ все это важнейшие задачи при изучении динамических рядов экономических и социальных показателей.

    На  формирование уровней динамического  ряда влияет множество различных  факторов, которые по характеру воздействия можно объединить в три группы:

1) действующие долговременно и  определяющие основную тенденцию  развития явления;

2) действующие периодически ¾ сезонные и циклические колебания;

3) вызывающие случайные колебания  уровней динамического ряда.

    Соответственно, для анализа закономерности изменения уровней ряда динамики во времени применяют следующую модель:

где Т_t ¾ основная тенденция ряда (тренд);

   S_t ¾ циклические (в частности, сезонные) колебания;

   ε_t ¾ случайные колебания.

    В аддитивной модели ряд динамики представлен как сумма перечисленных компонент [y_t = T_t + S_t + e_t], в мультипликативной модели ¾ как их произведение [y_t = T_t × S_t × e_t]. В дальнейшем будем исходить из предположения мультипликативной формы связи между компонентами ряда динамики.

    Тенденцией развития, или трендом, называется сформировавшееся направление развития явления во времени под воздействием постоянно действующих факторов. Судить о наличии тенденции в динамическом ряду на основе его визуального анализа можно лишь тогда, когда четко видно, что при переходе от одного момента времени к другому уровни ряда возрастают или убывают. Однако, как правило, нельзя сразу сказать, есть или нет тенденция в изменении уровней динамического ряда. Для этого применяются специальные методы.

    К методам выявления основной тенденции развития динамического ряда (Т_t) относятся:

    ¨ метод укрупнения интервалов;

    ¨ метод скользящей средней;

    ¨ аналитическое выравнивание динамических рядов.

    Рассмотрим  их подробнее.

3.1. Метод укрупнения  интервалов

    Применение  метода укрупнения интервалов рассмотрим на основе данных табл. 5.

Таблица 5

Поставки  товаров в торговую сеть

    Как видим, визуальный анализ данных не позволяет сделать какие-либо выводы о наличии тенденции в данном динамическом ряду: в отдельные месяцы, например, в феврале, марте, августе, октябре и декабре, поставки товаров снижались по сравнению с предыдущими месяцами, в остальные периоды ¾ возрастали.

    Применим к исходным данным метод укрупнения интервалов, образовав новый динамический ряд с более крупными временными периодами ¾ кварталами, и рассчитаем средний месячный объем поставок в каждом квартале (табл. 9.6).

Таблица 6

Среднемесячные  поставки товаров

    Итак, по новым, более крупным интервалам уже четко видно, что значения исследуемого признака во временном  аспекте имеют тенденцию к  возрастанию.

    Применение  рассмотренного метода в основном ограничивается теми ситуациями, когда исходные данные относятся к дням, неделям или месяцам года, так как значения исследуемого признака по более мелким временным интервалам больше подвержены случайным колебаниям. Если временные промежутки представляют собой годы, то укрупнение интервалов становится малоэффективным. 
 

3.2. Метод скользящей  средней

    Следующий способ выявления тенденции в  динамическом ряду основан на расчете  и анализе так называемых скользящих (подвижных) средних.

    Скользящими (подвижными) средними называются средние арифметические значения показателя, исчисленные по новым т-членным укрупненным интервалам. Правила построения этих интервалов следующие. Первый из интервалов включает первые т уровней ряда динамики, второй интервал образуется путем исключения первого члена укрупненного интервала и замены его последующим элементом ряда динамики, имеющим номер (т + 1) и т. д. ¾ до включения в интервал последнего уровня ряда. По вычисленным подобным путем подвижным средним делают вывод о существовании тенденции в динамическом ряду.

    Если  в качестве укрупненного интервала используют период в три месяца, то первая подвижная трехчленная средняя вычисляется как средняя арифметическая из данных за январь, февраль и март, вторая ¾ как средняя арифметическая из данных за февраль, март, апрель и т. д. Значения подвижных средних относят к конкретному временному периоду, соответствующему середине укрупненного интервала.

    Проведем  сглаживание ряда методом скользящей средней по трем членам (табл. 7).

Таблица 7

Сглаживание ряда динамики методом  скользящей средней  по трем членам

    В нашем примере первая скользящая средняя относится к февралю, вторая ¾ к марту и т. д.

    В тех случаях, когда сглаживание  проводится по четному числу уровней  ряда динамики, середина временного интервала  сглаживания будет находиться между  двумя моментами (периодами) времени. Например, если проводить сглаживание по четырем членам, середина первого интервала будет находиться между февралем и мартом, второго интервала ¾ между мартом и апрелем и т. д. В таких случаях возникает необходимость центрирования полученных результатов для отнесения сглаженных значений показателя к конкретным периодам или моментам времени. Расчет центрированных скользящих средних может проводиться в два этапа:

    1) определение скользящих сумм  и нецентрированных скользящих  средних по четному числу уровней ряда динамики;

    2) исчисление центрированных скользящих  средних из двух смежных ранее  исчисленных нецентрированных скользящих  средних и отнесение их к  соответствующим периодам или  моментам времени.

    Методика  расчета центрированных скользящих средних показана ниже (табл. 8). 

Таблица 8

Сглаживание ряда динамики методом  скользящей средней  по четырем членам

3.3. Аналитическое сглаживание  (выравнивание) рядов  динамики

    Аналитическое выравнивание динамических рядов ¾ это нахождение определенной модели (уравнения тренда), которая математически описывает тенденцию развития явления во времени. При этом уровни показателя рассматриваются только как функция от времени. В отличие от рассмотренных выше методов, таких, как укрупнение интервалов, скользящих средних, направленных в основном на то, чтобы ответить на вопрос: есть ли тенденция в динамическом ряду или нет, и определить ее направление, аналитическое выравнивание позволяет более точно установить характер развития явления, а главное ¾ описать его математически, уловить все нюансы и направления развития и, что, пожалуй, наиболее интересно, использовать в дальнейшем полученную модель для прогнозирования.

    Первым  шагом в проведении аналитического выравнивания является выбор вида математической функции, которую предполагается использовать в качестве модели тренда. При этом можно руководствоваться формой кривой, полученной на основе отображения на графике эмпирических данных. Схема построения графика достаточно проста: по оси абсцисс откладываются временные периоды (даты), по оси ординат ¾ значения уровней динамического ряда.

    При анализе рядов динамики в качестве линии тренда чаще всего используются следующие функции:

    ¨ линейная:

 ^{= a₀ + a₁t;}