Ряды динамики

    Произведем  аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение себестоимости единицы продукции вида «А» в течение года (табл. 16).

Таблица 16

Расчетная таблица для нахождения параметров уравнения  гиперболы

    Составим  систему уравнений

    откуда находим значения параметров

    Уравнение гиперболы примет вид

    ^{Подставив в полученное уравнение  значения условного  показателя времени  t, рассчитаем выравненные значения и поместим их в расчетную таблицу. Как видим, выравненные значения достаточно близки к эмпирическим данным, что позволяет надеяться на получение достоверных прогнозов на основе построенной модели.}

    При проведении аналитического выравнивания зачастую бывает трудно заранее определить подходящий вид уравнения тренда, особенно если эмпирические данные графически явно не демонстрируют относимость к какой-либо аналитической функции. Тогда поступают следующим образом: строят несколько уравнений тренда. Затем для каждого из них вычисляют остаточную дисперсию и модель с наименьшей величиной остаточной дисперсии признают лучшей из имеющихся на данный момент.

    Остаточная  дисперсия исчисляется по формуле

    Это более простой метод, но есть и  другие, более сложные методы.

4. Методы измерения  сезонных колебаний  уровней динамического  ряда

    На  практике в рядах динамики часто наблюдают некие устойчивые периодические колебания уровней либо вокруг линии тренда, либо по отношению к среднему уровню ряда. Причем эти колебания регулярно повторяются на протяжении некоторого периода: значения показателя возрастают или убывают в зависимости от момента времени, а затем по истечении некоторого временного срока, называемого циклом, возвращаются на свои предыдущие позиции (если колебания происходят вокруг среднего уровня ряда), либо повторяется характер их изменения (если значения уровней колеблются вокруг линии тренда (рис. 9.3а, б).

    В зависимости от длины цикла различают  периодические колебания: циклические (долгопериодические, когда длина  цикла составляет несколько лет), сезонные (внутригодичные колебания  по месяцам или кварталам года), недельные, дневные (регулярные колебания по дням недели), часовые (в зависимости от часа дня).

    Сезонные  колебания наиболее ярко проявляются в торговле (классическим примером является продажа овощей, фруктов и ягод, носящая сезонный характер), а также в производстве отдельных видов продукции (например, производство мороженого, кондитерских изделий), в потреблении электроэнергии и т. д.

    Периодические колебания изучают с помощью индексов сезонности.

    Строго  говоря, термин «индексы сезонности»  подразумевает, что индексы будут строиться для изучения периодических колебаний показателя по месяцам или кварталам в течение календарного года, т. е. для изучения сезонных колебаний. Но методология построения данной группы индексов позволяет их использовать и при изучении других видов периодических колебаний, таких как циклические, дневные, недельные, часовые.

Рис. 9.3. Периодические  колебания уровней  динамического ряда: 
а ¾ вокруг линии тренда; б ¾ вокруг среднего уровня ряда

    Известны  два способа определения индексов сезонности:

    1) по отношению к среднему уровню, если периодические колебания показателя происходят вокруг его среднего уровня, т. е. анализируемые данные не имеют общей тенденции развития (метод постоянной средней);

    2) по отношению к тренду, если эмпирические данные содержат помимо периодических колебаний и общую тенденцию в своем развитии (метод переменной средней).

    При методе постоянной средней индексы  сезонности находят по формуле

^{где ¾ средний уровень показателя для момента (периода) времени i;}

      ^{¾ общий средний уровень показателя за весь исследуемый период времени.}

    Покажем порядок расчета индексов сезонности по отношению к среднему уровню на примере изучения сезонных колебаний  объема платных услуг населению  по месяцам года.

    Исходные  данные и результаты расчетов приведены в табл. 17.

Таблица 17

Расчет  индексов сезонности

    ^{Средние уровни для каждого месяца определяются по формуле средней арифметической простой за четыре года:}

    ^{для января:}

    ^{для февраля:}

    Общий средний уровень объема платных услуг населению за четыре года можно определить:

    ^{¨ как среднюю арифметическую из полученных средних для каждого из 12 месяцев:}

    ¨ как среднюю арифметическую из четырех средних уровней, исчисленных для каждого года:

    Тогда индексы сезонности для каждого месяца равны:

    ^{для января:}

    ^{для февраля:}

    Графическое изображение полученных индексов сезонности будет характеризовать «сезонную  волну» в изменении рассматриваемого показателя (рис. 4).

Рис. 4. Индексы сезонности изменения объема платных услуг населению

    Если  прогнозируется, что в 2007 г. объем  платных услуг увеличится до 210 млн  руб. в год, то используя индексы  сезонности можно оценить, какой  будет величина этого показателя в каждом месяце данного года (т. е. составить прогноз на каждый месяц):

    ¨ определим средний месячный уровень:

    ¨ рассчитаем предполагаемое значение показателя по месяцам 2007 г.:

    для января: 17,5 × 1,06 = 18,55 (млн руб.);

    для февраля: 17,5 × 0,964 = 16,87 (млн руб.) и т. д.

    В тех случаях, когда в ряду динамики наблюдается достаточно ярко выраженная тенденция роста его уровней (т. е. ряд содержит тренд), более правильно рассчитывать индексы сезонности методом переменной средней по следующей формуле:

где y_ti ¾ фактическое значение показателя для i-го периода года t;

      ^{¾ значение показателя для i-го периода внутри t-го года, определенное методом аналитического выравнивания;}

      ^{¾ частные индексы сезонности для i-го периода каждого года t;}

    m ¾ число лет;

      ^{¾ средний индекс сезонности для i-го периода внутри года (месяца или квартала).}

    Алгоритм  расчета следующий:

    1) по эмпирическим данным, применяя  метод аналитического выравнивания, находят уравнение тренда;

    2) на основе уравнения тренда, подставляя  в него соответствующие значения  условного показателя времени,  рассчитывают выравненные уровни динамического ряда;

    3) находят частные индексы сезонности  как отношение эмпирических значений  уровней ряда к соответствующим  выровненным значениям 

    4) рассчитывают среднюю арифметическую  величину из полученных индексов  сезонности для каждого из одноименных моментов времени (например, если приведены данные за четыре года, то для каждого месяца получим четыре частных индекса сезонности, из которых находят среднюю)

где т ¾ число одноименных моментов времени, соответствующее числу лет.

    Рассчитаем индексы сезонности по данным о реализации товаров группы «А» населению за два года (табл. 18).

Таблица 18

Реализация  товаров группы «А»  населению, тыс. шт.

    Построим  график, отражающий изменение объема реализации товаров группы «А» населению (рис. 5).

Рис. 5. Динамика объема реализации товаров 
группы «А» населению за 2005-2006 гг.

    Как видим, в данном ряду наблюдается тенденция роста его уровней. Индексы сезонности будем исчислять методом переменной средней. Для этого проведем следующие расчеты (табл. 19).

Таблица 19

Расчет  параметров уравнения  и частных индексов сезонности

 

    1. Определим параметры уравнения не y_t = a₀ + a₁t.

    2. Рассчитаем частные индексы сезонности (S_ti) (последняя графа табл. 9.19).

    3. Определим средние индексы сезонности, учитывая, что данные приведены  за два года, т. е. m = 2 (табл. 20).

Таблица 20

Расчет  индексов сезонности методом переменной средней

    4. Построим график сезонной волны (рис. 6).

Рис. 6. Индексы сезонности изменения 
объема реализации товаров группы «А» населению

    5. Построим прогноз объема реализации  товаров группы «А» на 2007 год  с учетом сезонности изменения показателя: