Расчет цепей

Рис. 2.14. Схема   цепи   переменного тока с емкостью

90°

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.15. а) временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с емкостью; б) векторная диаграмма

Таким образом, ток в  цепи с емкостью опережает по фазе напряжение на угол π/2.

Физически это  объясняется тем, что напряжение на емкости возникает за счет разделения зарядов на его обкладках в результате прохождения тока. Следовательно,   напряжение   появляется   только   после возникновения тока. Выведем закон Ома для цепи с емкостью.

 I_m = U_mω С, или  I_m=U_m/1/ωC

Введем обозначение:

1/ωC =1/(2πfC)=X_c,

где Х_с — емкостное сопротивление цепи.

закон Ома: для амплитудных значений

I_m = U_m/X_c; 

для действующих  значений

 I = U/X_C.

Емкостное сопротивление Х_с уменьшается с ростом частоты f.

Мгновенная  мощность p=ui = — UI sin2ωt.

В цепи с емкостью, так же как и в цепи с индуктивностью, происходит переход энергии от источника к нагрузке, и наоборот. В данном случае энергия источника преобразуется в энергию электрического поля конденсатора.

 Реактивная  мощность  Q =UI.

 

 

 

 

 

 

 

ЦЕПЬ    С    АКТИВНЫМ    СОПРОТИВЛЕНИЕМ    И ЕМКОСТЬЮ

 

Задаемся током i = I_m sinωt. Тогда напряжение на активном сопротивлении u_R = U_Rm sin ωt. Напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол π/2: u = U_cmsin(ωt — π/2). На основании приведенных выражений построим векторную диаграмму для этой цепи

                                                           r

Рис. 2.16. Векторная диаграмма цепи, треугольник сопротивлений, схема цепи переменного тока с R и С

где

 закон Ома I=U/Z.

Расположение сторон треугольника сопротивлений соответствует расположению сторон треугольника напряжений на векторной диаграмме. Сдвиг фаз φ в этом случае отрицателен, так как напряжение отстает по фазе от тока:

tgφ= —X_c/R, 

cosφ= R/Z. 

Мгновенная мощность  p=UIcosφ— UI cos (2ωt + φ).         

Средняя мощность  P = UI cos φ.

Реактивная  мощность характеризует интенсивность обмена энергией между источником и емкостью: Q = UI sinφ.

Так как φ<0, то реактивная мощность Q<0.

 

ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ИНДУКТИВНОСТЬЮ И ЕМКОСТЬЮ

            

                              

 Рис. 2.17. Схема цепи переменного тока с R, L и С, векторная диаграмма для цепи, треугольник сопротивлений.

 i = I_m sin ωt.

Тогда напряжение на активном сопротивлении u_R = U_Rm sin ωt, напряжение на индуктивности u_L = U_Lm sin (ωt +π/2), напряжение на емкости u_с = U_Cm sin (ωt — π/2).

Построим векторную диаграмму  при условии X_L> Х_с, т. е.

U_L = IX_L> U_C = IX_C.

Вектор результирующего  напряжения U замыкает многоугольник векторов U_R, U_L и U_c. Вектор U_L+U_C определяет напряжение на индуктивности и емкости.

Но U_R = IR; U_L = IX_L, U_C = IX_C;  

         где Z - полное сопротивление цепи

 I=U/Z     -   закон Ома                          

X_L — Х_С = Х называют реактивным сопротивлением цепи.

При X_L> X_c реактивное сопротивление положительно и сопротивление цепи носит активно-индуктивный характер.

При X_L<X_c реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активно-емкостный характер.

tgφ = X/R.   

Мгновенная мощность

p = UI cos φ— UI cos (2ωt +φ),

Соответственно активная, реактивная и полная мощности характеризуются выражениями P=UIcosφ; Q=UIsinφ;

 

РЕЗОНАНСНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ЦЕПИ

 

Под резонансным режимом работы цепи понимают режим,  при  котором сопротивление является чисто активным. По отношению к источнику питания элементы цепи ведут себя в резонансном режиме как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в неразветвленной части совпадают по фазе. Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

 

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

 

Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным контуром, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением  источника.

tgφ = X/R.

Условием резонанса напряжений является Х = 0 или X_L = X_C.

Но X _L = 2πfL, а X_с = 1/(2πfС), где f — частота источника питания.

При резонансе  напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура.

Резонансу напряжений соответствует  векторная диаграмма, приведенная на рисунке

      

Рис. 2.18. Схема последовательного колебательного контура, векторная диаграмма, резонансная кривая тока.                           

Признаки резонанса напряжений:

а) сопротивление цепи Z=R минимальное и чисто активное;

б) ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения;

в) напряжение  на  индуктивной  катушке  равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах цепи.

Физически это  объясняется тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие потерь в контуре. Напряжение на катушке и конденсаторе обусловлено накопленной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в цепи. Количественно указанное явление характеризуется добротностью контура Q, которая представляет собой отношение напряжения на катушке или конденсаторе к напряжению на зажимах цепи при резонансе:

Q=U_L/U=U_L/U_R=X_C/R=X_L/R

При резонансе X_L =

- волновое  сопротивление контура.

Таким образом, Q = Z_в/ R. 

Способность колебательного контура выделять токи резонансных частот и ослаблять токи других частот характеризуется резонансной кривой

Резонансная кривая показывает зависимость действующего значения тока в контуре от частоты источника  при неизменной собственной  частоте контура. При этом, чем больше добротность контура Q, тем острее резонансная кривая контура.

Резонанс  напряжений широко используется в радиотехнике и электронике для выделения сигналов заданной частоты.

 

РЕЗОНАНС ТОКОВ

 

Резонансом токов называют такое явление в цепи с параллельным колебательным контуром, когда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

Проводимость контура должна быть чисто активной, а  реактивная проводимость равна  нулю:

Рис.2.19. Схема параллельного колебательного контура, векторная диаграмма при резонансе     токов.

b =b₁+b₂ = 0, где b₁=b_L = X_L/(R² + X²_L);

b₂= - b_с= - 1/Х_с.

Условием  резонанса токов является равенство  нулю реактивной проводимости контура.

Для того чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветви I_Lp должна быть равна по модулю току емкостной ветви I_с. Активная составляющая тока индуктивной ветви I_La оказывается равной току источника I.

Сопротивление контура

Z_K=l/у_K,

у_k=g₁+g₂= R/X²_L

Z_K = Z²_B/R. 

Признаки резонанса токов:

а) сопротивление контура Z_K максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практически минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

 

КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ

 

Коэффициент мощности cosφ = P/S. Технико-экономическое значение коэффициента мощности cos φ заключается в том, что от его значения зависят эффективность использования электрических установок и, следовательно, капитальные и эксплуатационные расходы. Уменьшение cos φ, значение которого определяется характером нагрузки, приводит к неполному использованию генератора. Если приемник энергии (нагрузка) работает при неизменных напряжении и мощности, то ток нагрузки генератора будет тем больше, чем меньше cos φ. Увеличение тока генератора приводит к возрастанию тепловых потерь в линиях  передачи энергии.

Для полного использования  номинальной мощности генераторов и уменьшения тепловых потерь необходимо повышать соsφ приемников энергии до значений, близких к единице (0,95—1,0).

Для повышения cos φ параллельно приемнику энергии включают батареи конденсаторов. Благодаря этому источником реактивной энергии для приемника становится емкость, и линия передачи разгружается от реактивного тока.

 

2.3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

 

Три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые по фазе на 120°, образуют трехфазную симметричную систему. Аналогично получаются трехфазные системы напряжений и токов.

Рис.2.20. Векторная  диаграмма трехфазных напряжений и токов при симметричной нагрузке

При симметричной нагрузке, когда все три нагрузочных сопротивления равны по значению и имеют одинаковый характер, синусоиды напряжений и токов изображаются графиками, аналогичными графику ЭДС. При этом начальные фазы токов определяются характером нагрузки, токи Iд, I_В, I_С равны по амплитуде и сдвинуты по фазе на 120° один относительно другого. Векторная диаграмма трехфазных напряжений и токов при симметричной нагрузке изображена на рис.2.20.

 

 

 

 

 

Трехфазный  генератор, соединенный проводами  с трехфазным потребителем, образует трехфазную цепь. В трехфазной цепи протекает трехфазная система токов, т. е. синусоидальные токи с тремя различными фазами. Участок цепи, по которому протекает один из токов, называют фазой трехфазной цепи.

В целях экономии обмотки трехфазного генератора соединяют звездой или треугольником. При этом число соединительных проводов от генератора к нагрузке уменьшается  до трех или четырех.

Рис. 2.21. Схема обмоток генератора, соединенных звездой

 

Рис.2.22. Схема обмоток генератора, соединенных треугольником

 

 

 

При соединении звездой концы обмоток объединяют в одну точку, которую называют нулевой  точкой генератора и обозначают О. Начала обмоток обозначают буквами А, В, С.

При соединении треугольником конец первой обмотки  генератора соединяют с началом  второй, конец второй — с началом третьей, конец третьей — с началом первой. К точкам А, В, С подсоединяют провода соединительной линии.

Отметим, что  при отсутствии нагрузки ток в  обмотках такого соединения отсутствует, так как геометрическая сумма ЭДС Е_а, Е_в и E_с равна нулю.

 

СОЕДИНЕНИЕ  ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ЗВЕЗДОЙ.

ЧЕТЫРЕХ- И  ТРЕХПРОВОДНАЯ ЦЕПИ

 

Рассмотрим  соединение генератора с нагрузкой, включенной звездой (рис.2.23).

Провод 00' называют нулевым (четырехпроводная цепь).

I₀= I_А + I_В + I_С

 

Рис. 2.23. Схема трехфазной электрической цепи с нулевым проводом

Рис.2.24. Векторная диаграмма токов в трехфазной цепи при симметричной нагрузке

Рис. 2.25. Схема трехфазной трехпроводной цепи

Из геометрического  построения, показанного на рис.2.24, следует, что в этом случае векторная сумма токов равна нулю:

0= I_А + I_В + I_С

При симметричной нагрузке нулевой провод не нужен. Получается схема трехфазной трехпроводной цепи, изображенная на рис.2.25.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ   НАПРЯЖЕНИЯМИ   И   ТОКАМИ   ПРИ СИММЕТРИЧНОЙ   НАГРУЗКЕ  В ТРЕХФАЗНОЙ   ЦЕПИ, СОЕДИНЕННОЙ  ЗВЕЗДОЙ

 

Система ЭДС  обмоток трехфазного генератора, работающего в энергосистеме, всегда симметрична: ЭДС поддерживаются строго постоянными по амплитуде и сдвинутыми по фазе на 120°.