Расчет цепей

Рассмотрим симметричную нагрузку (рис.2.26.), для которой

Z_А=Z_В=Z_С=Z , φ_А=φ_В=φ_С=φ

К зажимам А, В, С подходят провода линии электропередачи—линейные провода.

Введем обозначения: I_л — линейный ток в проводах линии электропередачи; I_ф — ток в сопротивлениях (фазах) нагрузки; U_л — линейное напряжение между линейными проводами; U_Ф — фазное напряжение на фазах нагрузки.

Фазные и линейные токи совпадают: I_л = I_ф, напряжения U_AB, U_BC и U_CA являются линейными, а напряжения U_A, U_B, U_с — фазными. Складывая напряжения, находим  (рис.2.27.):

U_AB = U_A-U_B; U_ВC = U_B-U_c; U_CA = U_C-U_A.

Рис. 2.26. Соединение нагрузки звездой

Рис. 2.27. Полярная векторная диаграмма напряжений

Векторную диаграмму, удовлетворяющую этим уравнениям (рис.2.27), начинаем строить с изображения звезды фазных напряжений U_А, U_B, U_c. Затем строим вектор U_AB — как геометрическую сумму векторов U_A и —

U_B, вектор U_ВС как геометрическую сумму векторов U_В и – U_С вектор U_CA — как геометрическую сумму векторов U_c и — U_А.

На построенной  векторной диаграмме начала всех векторов совмещены в одной точке (полюсе), поэтому ее называют полярной. Основное достоинство полярной векторной диаграммы — ее наглядность.

Уравнениям, связывающим векторы линейных и фазных напряжений, удовлетворяет также векторная диаграмма рис.2.28, которую называют топографической.

 

 

Рис.2.28. Топографическая векторная диаграмма напряжений 

 

 

 

 

В симметричной звезде фазные и линейные токи и  напряжения связаны соотношениями I_л = I_ф;

U_л =√3 U_ф.

Нулевой провод в четырехпроводной цепи предназначен для обеспечения симметрии фазных напряжений при несимметричной нагрузке.

Несимметрия фазных напряжений недопустима, так  как приводит к нарушению нормальной работы потребителей, рассчитанных на определенное рабочее напряжение.

 

СОЕДИНЕНИЕ НАГРУЗКИ ТРЕУГОЛЬНИКОМ. ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ, СООТНОШЕНИЯ  МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ  ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

Треугольником могут быть соединены как обмотки  генератора, так и фазы нагрузки. При соединении треугольником фазные и линейные напряжения равны: U_Л = U_Ф (рис.2.29). Применив первый закон Кирхгофа

Рис. 2.29. Соединение нагрузки треугольником

 

 

 

 

                I_C

 

Рис. 2.30. Векторные диаграммы напряжений и токов трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником

Рис. 2.31. К определению соотношения между фазными и линейными токами при соединении нагрузки треугольником

 

 

 

 

к узлам А, В и С, найдем связь между линейными I_А I_В I_С фазными I_АВ, I_ВС, I_СА токами. Для векторов токов справедливы соотношения

I_А ⁼ I_АВ- I_СА; I_В=I_ВС — Iав; Iс = Iса — Iвс

Этим уравнениям удовлетворяют векторные диаграммы, представленные на рис.2.30. При симметричной нагрузке

I_А =I_В = Iс = I_Л;   I_АВ =I_ВС= I_СА= I_Ф.

 Из   треугольника   фазных   и   линейных   токов (рис.2.31) находим

I_л = 2I_ф cos 30° = 2I_ф = √3 I_Ф.

Таким образом, при соединении треугольником U_Л=U_Ф; I_Л=√3I_Ф

 

АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ

 

Активная  мощность трехфазной цепи равна сумме  активных мощностей ее фаз:

P=P_А+ P_В+P_С

Реактивная  мощность трехфазной цепи равна сумме реактивных мощностей ее фаз:

Q = Q_a + Q_b + Q_c

В симметричной трехфазной  цепи

P_Ф=P_А= P_В=P_С ; Q_Ф = Q_a = Q_b = Q_c Тогда Р = ЗР_Ф, Q =3Q_Ф

Мощность  одной фазы

P=3U_Ф I_Ф cos φ; Q =3U_Ф I_Ф sinφ

При соединении звездой

Р = 3U_Ф I_Ф cos φ =√3U_Л I_Л cos φ

При соединении треугольником

Р = 3U_Ф I_Ф cos φ =√3U_Л I_Л cos φ

Таким образом, в обоих случаях активная мощность симметричной цепи

Р = √3U_Л I_Л cos φ 
Реактивная мощность

Q = √3U_Л I_Л sinφ

Полная мощность

S= =√3U_Л I_Л

Коэффициент мощности симметричной трехфазной цепи находят как отношение активной и полной мощностей: 

cos φ =

3. решениЕ ТИПОВЫХ контрольных заданий

 

Электрическая цепь постоянного тока. Закон Ома.

Задача 1. При разомкнутом ключе   К   показания вольтметра 2,1 В. Когда ключ замкнут, амперметр фиксирует ток 1 А. Внешнее сопротивление цепи

    К              R=2 Ом.

 

 R  Рис. 3.1

Определить   ЭДС  источника Е, внутреннее сопротивление источника R_вт и напряжение    на зажимах источника U.

Решение:

1. Любая электрическая  цепь содержит следующие элементы: источники энергии — активные элементы, потребители энергии (резисторы, осветительные приборы и т. д.) — пассивные элементы, измерительные приборы и коммутационную аппаратуру.

Электрическая цепь подразделяется также на участки: внутренний — сопротивление источника R_BT и внешний— потребители - R.

2. Когда цепь тока разорвана, вольтметр, подключенный к зажимам источника, практически фиксирует значение ЭДС. Следовательно,

E=2,1 В.

3. Для определения R_BT необходимо воспользоваться законом Ома для всей цепи:

I = E/(R_вт + R),

откуда

R_вт + R = E/I = 2,1/1 = 2,1 Ом.

Так как известно, что  внешнее сопротивление цепи R = 2 Ом, то внутреннее сопротивление источника R_ВT = 2,1—2=0,1 Ом.

4. Напряжение на зажимах источника

U = Е — R_вт I или U = RI.

Подставляя значения в приведенные выражения, получим

U = 2,1—0,1*1=2 В;

U=2-1=2 В. Применение формулы U=E—R_BTI предпочтительней, так как подчеркивается тот факт, что напряжение на зажимах источника меньше ЭДС, причем с увеличением тока это напряжение уменьшается.

Задача 2. Последовательное соединение   резисторов.

В цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника Е = 100 В, внутреннее сопротивление R_вт = 2 Ом. Сопротивление потребителей: R₁ = 50 Ом; R₂= 100 Ом; R₃=48 Ом. Определить ток в цепи, напряжение на зажимах источника и на каждом резисторе, мощность источника и мощность потребителей, проверить баланс мощностей.                                      Рис. 3.2

Решение:

1. Определяем значение  тока. Для этого сначала находим  эквивалентное сопротивление внешнего  участка цепи, представленной на  рисунке. Так как резисторы R₁, R₂ и R₃ включены последовательно, эквивалентное сопротивление R=R₁+R₂+Rз=50 +100 +48=198 Ом. Рассматриваемая цепь примет вид, показанный на рисунке. Тогда согласно закону Ома для всей цепи:

I= E/(R_BT + R) = 100/(2 + 198) = 0,5 А.           Рис.3.3.

 

2. Находим напряжение на зажимах источника. Оно 
может быть определено на основании закона Ома для участка цепи:

U=RI= 198*0,5=99 В.

Целесообразно воспользоваться и другой формулой для определения этого напряжения:

U =E—R_втI= 100—2*0,5=99 В.

Из этого выражения следует, что напряжение на зажимах источника с ростом тока уменьшается.

3. Находим напряжения на отдельных участках цепи. Эти напряжения определяются по закону Ома для участка цепи. Необходимо также иметь в виду, что токи на всех участках одинаковы, так как цепь неразветвленная: U₁ = R₁I = 50*0,5=25 В;

U₂=R₂I=100*0,5=50 В;

U₃ = R₃I= 48*0,5 = 24 В.

Необходимо обратить внимание на следующую закономерность: напряжения на пассивных участках цепи при их последовательном соединении прямо пропорциональны сопротивлениям этих участков, т. е. напряжения на участках цепи относятся как их сопротивления:

U₁:U₂: U₃=R₁ : R₂: R₃

При этом, если изменить сопротивление какого-нибудь участка, произойдет перераспределение напряжений на участках цепи, но приведенное соотношение сохранится.

4. Находим мощности и составляем их баланс. Мощность источника энергии: Р_И=ЕI=100*0,5=50 Вт. Часть этой мощности теряется внутри источника

Р_вт=U_втI = (E-U)/ I= 1*0,5 = 0,5 Вт.

Мощности на отдельных  участках (полезные мощности):

Р₁ = U₁I=25*0,5= 12,5 Вт;

P₂=U₂I=50*0,5=25 Вт;

Р₃ = UзI=24*0,5= 12 Вт или те же мощности:

Р₁ =I²R₁ = 0,25* 50= 12,5 Вт;

Р₂=I²R₂=0,25*100 = 25 Вт;

Р₃=I²R₃=0,25*48=12Вт.

Составим уравнение  баланса мощностей, которое отражает закон сохранения энергии для электрических цепей:

P_и=P_вт,+P₁+P₂+P₃;

50=0,5+12,5+25+12.

 Выполнение баланса мощностей свидетельствует о правильности расчета.

Задача 3. Параллельное соединение резисторов.

Для цепи, показанной на рисунке, U=const = 50 В;

R₁ =20 Ом; R₂=50 Ом; R₃=100 Ом. Определить все токи, общую мощность и мощность на участках.

 Решение:                                                                      Рис. 3.4.  

1. Определяем общий ток I. Для этого сначала находим эквивалентное сопротивление внешнего участка цепи R. Воспользуемся известной формулой:

 1/R =1/R₁ + 1/R₂ + l/R₃ = 1/20 + 1/50+1/100 = 8/100 См.

Напомним, что величина, обратная по значению сопротивлению 1/R, называется проводимостью, обозначается буквой g и измеряется в сименсах (См): 

1/R = g = 8/100   См.   Следовательно, R = 1/g = 100/8= 12,5 Ом.

С   учетом    эквивалентной    замены трех резисторов одним получим схему на рисунке.

Согласно закону Ома, I = U/R = 50/12,5=4 А. 

2. Находим токи на участках цепи после разветвления: 

Рис.3.5. I₁= U/R ₁ = 50/20=2,5 А;

I₂= U/R₂=50/50=1 А;   

I₃= U/R₃=50/100=0,5 А.    

Общий ток I можно определить на основании первого закона Кирхгофа:

I=I₁+I₂+I₃=2,5+1+0,5=4 А.

3. Находим мощности. Общая мощность:  

P =UI = 50*4=200 Вт.

 Мощности   на   участках:   

P₁ = UI₁ = 50*2,5= 125 Вт;

Р₂= UI₂=50*1 = 50Вт;

Р₃=UI₃= 50*0,5=25 Вт.

 При параллельном соединении резисторов те же мощности можно определить так:

P₁ = U²/R₁ = 2500/20 = 125 Вт;

Р₂ = U²/R₂ =  2500/50 = 50 Вт; 

Р₃ = U²/R₃=2500/100=25 Вт.

Рассчитаем эту же задачу с новыми данными: R₁ = 20 Ом; R₂ = 50 Ом; R₃=100Ом; I₃=1 А. Определить токи I₁; I₂; Iи напряжение на зажимах цепи.

1. Определяем токи I₂ и I₃. Известно, что токи в ветвях при параллельном соединении обратно пропорциональны сопротивлениям этих ветвей. На основании это го:    I₁/I₃=R₃/R₁.   

Откуда    I₁ =I₃R₃/R₁= 1 *100/20 = 5 А.

Аналогично,  I₂/I₃=R₃/R₂ ;  I₂=I₃ R₃/R₂=l*100/50=2А.

2. Общий ток I определяется на основании первого 
закона Кирхгофа:

I=I₁ + I₂ + I₃ = 5 + 2 + 1=8 А.

2. Напряжение на зажимах цепи находим на основании закона Ома для участка цепи: U=R₃Iз=100*1 = 100 В. Это напряжение одинаково для всех участков, так как они включены параллельно. Предложенную задачу можно решить и другим путем: найдя U, определяем I₁ и I₂;

I₁= U/R₁; I₂=U/R₂. Зная все токи в ветвях, находим общий ток I.

Задача 4. Смешанное соединение сопротивлений.

          Рис.3.6.                 Для цепи, представленной на рисунке, E=120 В;

 R_вт=2 0м; R₁= 11,5 Ом; R₂=10 Ом; R₃  =20 Ом;

R₄ = 50 Ом; R₅ =  100 Ом; R₆=40 Ом; R₇ = 60 Ом.           Определить токи и напряжения на всех участках цепи и напряжение на зажимах источника, а также мощность источника и мощности потребителей.

Расчет цепи при смешанном соединении осуществляется методом «свертывания». Путем ряда     эквивалентных упрощений (замен) исходная схема приводится к виду, показанному на рисунке, где R — сопротивление, эквивалентное всем внешним участкам цепи. Затем определяется общий ток I. После этого