Расчет цепей

Рис.3.7.

возвращаемся к промежуточным  схемам и определяем напряжение на ее участках. По известным напряжениям на участках находим токи на всех участках.

Решение:

1. Определяем эквивалентное сопротивление R. Сначала цепь замещается эквивалентной. Для этой цепи определяется R_ab и R_сd.

1/R_ab = l/R₃+ 1/R₄+ 1/R₅, = 1/20 + 1/50+1/100 = 8/100 См;

R_ab = 12,5 Ом;   

R_cd = R₆ R₇/(R₆ + R₇) = 40*60/(40 + 60) = 24 Ом.

Так как схема представляет последовательное соединение резисторов, находим значение эквивалентного сопротивления внешней цепи:

R=R₁+R₂+R_ab+R_cd= 11,5+10+12,5+24=58 Ом.

2. Определяем общий ток I. Исходная схема упрощена. Следовательно, на основании закона Ома для всей цепи

I= E/(R_BT + R) = 120/(2 + 58) = 120/60 =2А.

3. Определяем напряжение на участках промежуточной схемы (см. рис.). Uab=R_abI=12,5*2=25 В; U_cd=R_cdI =24*2=48 В.
4. Находим токи на остальных участках цепи. Теперь известны напряжения на разветвлениях «аб» и «cd». Следовательно;

I₃=U_ab/R₃=25/20 =1,25 А; I₄=U_аЬ/R₄ =25/50=0,5 А; I₅=U_а6/R₅=25/100=0,25 А; I₆= U_cd/R₆=48/40=1,2А; I₇=U_cd/R₇=48/60=0,8 А. Для проверки правильности определения токов и напряжений необходимо воспользоваться первым и вторым законами Кирхгофа.

Применяем первый закон  Кирхгофа к узлу «а»:

I— I₃— I₄—I₅ = 2— 1,25 — 0,5 — 0,25=0.

 Для узла «с»: I—I₆—I₇ = 2—1,2—0,8=0, т.е. полученные значения токов соответствуют первому закону Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС ΣE для любого контура электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений на всех участках того же контура ΣU.

E = U_вт+U₁ + U₂ + U_ab + U_сd=>R_вт I + R₁I + + R₂I + R_abI + R_cdI.

Подставляя числовые значения в правую часть равенства, получим

2*2 + 11,5*2+ 10*2+ 12,5*2 + 24*2 = = 4 + 23 + 20 + 25 + 48 = 120В.

Действительно, Е =ΣU. (В данном случае ΣЕ = Е.)

5. Определим мощности. Мощность источника:

Р_и=EI=120*2=240Вт.

Мощности на участках:

Р_вт=I²R_BT=4*2=8Вт;

P₁=I²R₁=4*11,5=46Вт;

Р₂=I²R₂=4*10=40Вт;

P₃=U_ab I₃=23*1,25=31,25 Вт;

Р₄=U_а6I₄=25*0,5=12,5    Вт; 

Р₅ = U_аЬI₅=25-0,25= 6,25 Вт;

P₆ = U_cdI₆=48*1,2 = 57,6 Вт;

P₇ = U_cdI₇= 48*0,8=38,4 Вт. Баланс мощностей сходится Р_И=ΣР. Это является дополнительной проверкой правильности расчета.

Заметим, что постановка задачи по расчету цепи может быть другой. Например, задаются сопротивления всех участков, а вместо ЭДС Е задается ток I₃=1A (или любой другой). Тогда необходимо определить токи на всех остальных участках и напряжения, а также значение Е. Последовательность решения задачи такова.

1. Определяем U_аь=R₃I₃=20*1=20 В.
2. Зная U_ab, находим токи: I₄=U_ab/R₄=20/50=0,4 А; I₅=U_а6/R₅=20/100=0,2А; I=I₃+I₄+I₅= 1 + 0,4+0,2 = 1,6 А.
3. Находим напряжение на остальных участках и ЭДС

U_1,2= (R₁+R₂)I=21,5*1,6=34,4 В; U_cd=R_cdI= 24*1,6=38,4 В;

U_вт=R_втI=2*1,6=3,2 В; E=U_вт + U₁,₂+U_a6+U_cd=3,2+34,4+20+38,4 = 96B.

4. Токи I₆ и I₇ определяем на основании закона Ома для участка цепи: I₆=U_cd/R₆=38,4/40=0,96 А; I₇= U_cd/R₇=38,4/60=0,64 А.

Расчет однофазных цепей переменного тока

Задача 1. Определить напряжение U, приложенное к последовательно соединенным резистору и конденсатору (рис.3.8.), если напряжение на резисторе U_a=30B, а напряжение на конденсаторе U_c=40B. Активным сопротивлением конденсатора и проводов пренебречь.

Решение: Векторы напряжений U_a и U_c сдвинуты один относительно другого на 90⁰ (рис.3.9.), поэтому их геометрическую сумму можно определить по теореме Пифагора:

Рис.3.8.                    Рис.3.9.          Рис.3.10.

Задача 2. Определить ток в цепи (рис.3.10), состоящей из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Найти падение напряжения на элементах цепи и построить векторную диаграмму. Активным сопротивлением конденсатора, катушки и проводов пренебречь. Дано: U=220 В, R = 22 Ом, С=100 мкФ = 100*10-⁶ Ф, L= 101,32 мГн,

f = 50 Гц:

Решение: Емкостное и индуктивное сопротивления

Емкостное сопротивление  равно индуктивному, следовательно, в цепи — резонанс напряжений. Полное сопротивление цепи и ток в ней

       U_L

 Падение напряжения  на элементах цепи:                                        U_R              I

U_R = RI= 20*11 =220 В;                                        Рис.3.11.              U_c

U_L= U_c = x_LI = x_cI = 31,83*10 = 318,3 В.

При построении векторной диаграммы (рис. 3.11) учитываем, что в цепи — резонанс напряжений.

Задача 3. Определить токи в цепи, изображенной на рис. 3.12. Дано: U=120 В, активное сопротивление катушки индуктивности R₁ = 8 0m, индуктивное сопротивление X_l = 6 Ом, R₂=3 Ом, X_с=4 0м. Построить векторную диаграмму токов. Активным сопротивлением   проводов и конденсатора   пренебречь.

                             Рис.3.12.

 

 

 

 

Решение.    Активные  и   реактивные проводимости ветвей:

Полная проводимость цепи

Ток в неразветвленной  части цепи

I= Uy = 120 *0,2236 = 26,83 А.

Токи в параллельных ветвях

Для построения векторной  диаграммы находим углы сдвига по фазе токов в ветвях относительно напряжения U: tgφ_l=x_L/R₁ = 6/8=0,75;

tg φ₂=-х_с/R₂= —4/3 = — 1,33; φ₁=36°50'; φ₂= —53° 10'.

Вектор тока I в неразветвленной части цепи находим графически как векторную сумму токов I₁ и I₂. Графически находим также угол φ = 26°40'.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13.

Рис.3.13.                         Рис.3.14.

Задача 4. Определить падения напряжения на активных и реактивных сопротивлениях цепи в условиях предыдущей задачи. Построить векторную диаграмму напряжений.

Решение. Действующие значения искомых напряжений находим по закону Ома:

U_R1=I₁R₁= 12*8 = 96 В;    U_L=I₁x_L= 12*6 = 72 В; U_R2 = I₂R₂ = 24*3 = 72 В;    U _с = I₂х_с = 24*4 = 96 В;

При построении векторной  диаграммы учитываем, что U_L отстает по фазе на 90° от U_Rl, a U_c опережает по фазе U_R2 на 90°. Кроме того, сумма векторов U_R1 и U_L равна вектору U и сумма векторов U_R2 и U_c равна тому же вектору U. Построение осуществляем с помощью линейки и циркуля. Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14.

Задача 5. Цепь, изображенная на рис.3.15, потребляет из промышленной сети (частота f=50 Гц) полную мощность 5=1 кВ-А.

                      Рис. 3.15                    Рис. 3.16

Определить реактивную мощность, потребляемую из сети, если I=10 А, R = 8 0м. Найти cos φ (φ — угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на входных зажимах цепи).

Что следует сделать, чтобы цепь не потребляла из 
сети реактивную мощность? 

Решение.     Активная     мощность,     потребляемая цепью,

Р=I₂R = 10²* 8=800 Вт. Реактивная мощность, потребляемая цепью,

Коэффициент мощности находим из треугольника мощностей:

cos φ=Р/S = 800/1000=0,8.

Найдем также tg φ = Q/P=600/800=0,75.

Чтобы исключить потребление  из сети реактивной мощности, подсоединим  к входным зажимам цепи ab конденсатор (рис. 3.16). Идея заключается в том, чтобы реактивная мощность индуктивности не возвращалась в сеть, а поступала в конденсатор и затем потреблялась оттуда (конденсатор и катушка обменивались бы энергией). При этом реактивный ток не загружает сеть и не создает дополнительных потерь в проводах линии. Поэтому емкость конденсатора должна быть подобрана соответствующим образом. Проделаем необходимые расчеты при условии, что активное сопротивление конденсатора пренебрежимо мало.

Индуктивное сопротивление  находим из треугольника сопротивлений

x_L = Rtgφ = 8*0,75 =6 Ом.

 Реактивная проводимость  ветви с индуктивностью

Такой же должна быть реактивная проводимость цепи с емкостью

b_c = b_L

b_c=1/ x_c,  так как по условию R_c « 0. Таким образом,

l/x_c =ωC=2πfC= b_L.

Отсюда емкость конденсатора

C= b_L /2πf=0,06/2π50=1,91*10^-4Ф

 При найденной емкости конденсатора реактивная проводимость

 b= b_L—b_с=0,

полная проводимость цепи равна активной проводимости y=g, коэффициент мощности cosφ=g/y=l и потребление реактивной мощности из сети отсутствует.

Задача 6. В цепи, изображенной на рис. 3.17, подобрать частоту f питающего напряжения и емкость конденсатора С₁ так, чтобы одновременно получить резонанс токов и резонанс напряжений.

Дано: R_C=R_L=R; L₁=0,1 Гн; С=0,02мкФ; L =0,2 мГн.

Решение. Резонанс токов получим на участке цепи ab подбором частоты f, которую найдем из условия b_L=b_c.

Имеем

 

ωL R²_C

Следовательно,

Рис. 3.17.

Умножим левую и правую части равенства на ωС:

Отсюда     

VLC

где ω_р — резонансная угловая частота.

По условию задачи R_L=R_C, следовательно, ω_р = .

Частота, при которой  в схеме возникает резонанс токов,

f_p=

При найденной  частоте участок цепи ab имеет чисто активное сопротивление.

Значение емкости С₁ находим из условия резонанса напряжений на элементах L₁ C₁:

f_p=

откуда

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.17. Построение диаграммы начинаем с вектора напряжения U_ab между точками ab. Реактивная составляющая I_сp тока в ветви с конденсатором опережает напряжение U_ab на 90°, а реактивная составляющая I_Lp тока в ветви с индуктивностью отстает от U_ab на 90°. Эти составляющие взаимно компенсируются и ток в неразветвленной части цепи равен сумме активных составляющих токов параллельных ветвей: I=I_ca+I_La. Вектор напряжения U_L1 опережает вектор тока на 90°, а вектор U_c1 отстает от I на 90°. При резонансе напряжений они взаимно компенсируются и приложенное к цепи   напряжениеU = U_ab+IR₁.      

Трехфазные электрические цепи

Задача 1. Напряжения u_A, u_в, u_с образуют трехфазную систему. Мгновенное значение напряжения u_A выражается формулой u_A=311sin ωt. Написать выражения для мгновенных значений напряжений u_в и u_с. Построить векторную диаграмму.

Решение. Так как порядок следования фаз не указан, возможны два варианта:

а) u_в = 311 sin (ωt + 2π/3);    б) u_в = 311 sin (ωt — 2π/3);

u_с = 311 sin (ωt — 2π/3);    u_с = 311 sin (ωt + 2π/3).

Векторные диаграммы изображены на  рис.3.18, а, б.

Задача 2. Обмотки трехфазного генератора соединены треугольником (рис.3.19, а); звездой с нулевым проводом (рис.3.19, б) и вращаются против часовой стрелки. Построить топографические векторные диаграммы для обоих случаев.

Решение. Векторные диаграммы представлены на рис.3.20, а, б. В первом случае напряжения между клеммами генератора А, В, С являются как фазными, так и

Рис.3.18.                                            Рис.3.19.

линейными. Во втором случае напряжения между клеммой 0 и клеммами Л, В, С являются фазными, а напряжения между клеммами А и В, В и С, С и А — линейными.

Рис.3.20.

Задача 3. Четырехпроводная осветительная сеть (рис.3.21) получает питание по кабелю с линейным напряжением U_л=380 В. В каждой из фаз А и В включено по 44 лампы, в фазе С включено 22 лампы, мощность лампы Р_л=100 Вт. Определить токи в проводах кабеля.

Решение. Мощность потребителей: в фазах А и В:

 Р_л=Р_в=44Р_л=44*100 = =4,4 кВт, в фазе С Р_С=22Р_Л= 22*100=2,2 кВт.

В четырехпроводной сети фазные напряжения равны между собой и в раз меньше линейных напряжений:

U_A=U_B= U_c = U_ф = U_л/√3= 380/√3 = 220 В

Рис.3.21.                                  Рис.3.22.                       Рис.3.23.                    

Токи в фазах

I_A=I_B= Р_А/U_ф = 4400/220 = 20 А;

I_C=P_C/U_ф= 2200/220 = 10 А.

Для определения тока в нейтральном проводе воспользуемся векторной диаграммой фазных напряжений и токов  (рис.3.22). Для удобства расчетов каждый из векторов I_A и I_В представлен в виде суммы:

I_A=I_A^’+I^’’_A,  I_B=I_B^’+I^’’_B

Ток в нейтральном проводе

I₀= I_A+I_B+I_C= I_A^’+I^’’_A +I_B^’+I^’’_B + I_C

Выберем составляющие токов  так, чтобы I'_А=I'_В=I_С

Тогда I_A^’+ I_B^’ +I_C=0; I₀= I^’’_A+I^’’_B