Оптимізація портфеля цінних паперів

Основні припущення моделі Шарпа:

• як доходність цінного папера береться математичне очікування доходності;
• існує деяка безризикова ставка доходності R_f, тобто доходність якогось цінного папера, ризик якого завжди мінімальний у порівнянні з іншими цінними паперами;
• взаємозв'язок відхилень доходності цінного папера від безризикової ставки доходності (далі відхилення доходності цінного папера) з відхиленням доходності ринку в цілому від безризиковоі ставки доходності (далі: відхилення доходності ринку) описується функцією лінійної регресії;
• під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності ринку в цілому;
• вважається, що дані минулих періодів, які використовуються при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутні значення доходності [22].

За моделлю Шарпа  відхилення доходності цінного папера пов'язуються з відхиленнями доходності ринку функцією лінійної регресії виду[12]:

(2.8)

де (r_i – R_f) – відхилення доходності цінного папера від безризикового;

(R_m – R_f) — відхилення доходності ринку від безризикового;

a, b – коефіцієнти регресії.

Виходячи з формули (2.8), можна по прогнозованій доходності ринку цінних паперів у цілому розрахувати доходність будь-якого цінного папера, що його складає [12]:

(2.9)

Де a_i, b_i – коефіцієнти регресії, що характеризують даний цінний папір.

Коефіцієнт b називають b-ризиком, оскільки він характеризує ступінь залежності відхилень доходності цінного папера від відхилень доходності ринку в цілому. Основні переваги моделі Шарпа – математично обгрунтована взаємозалежність доходності та ризику: чим більший b-ризик, тим вища доходність цінного папера [12].

Крім того, модель Шарпа  має особливість: існує небезпека, що оцінюване відхилення доходності цінного папера не належатиме побудованій  лінії регресії. Цей ризик називають  залишковим ризиком. Залишковий ризик  характеризує ступінь розкиду значень відхилень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик визначають як середньоквадратичну відстань від точок доходності цінного папера до лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають S_ei [4].

За моделлю Шарпа  доходність портфеля цінних паперів – це середньозважена доходність цінних паперів, що його складають, з урахуванням b-ризику цінних паперів. Доходність портфеля визначається за формулою [8]:

(2.10)

Де R_f – безризикова дохідністъ;

R_m – очікувана доходність ринку в цілому.

Ризик портфеля цінних паперів  може бути знайдений за допомогою  оцінки середнього квадратичного відхилення функції (2.10), і визначається за формулою [8]:

(2.11)

де  – середньоквадратичне відхилення доходності ринку в цілому, тобто ризикованість ринку в цілому;

 – b-ризик і залишковий ризик і-го цінного папера.

При використанні моделі Шарпа для розрахунку характеристик  портфеля пряма задача набуває вигляду [12]:

(2.12)

 

Обернена задача виглядає аналогічним чином [12]:

(2.13)

Основний недолік моделі – необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Модель не враховує ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки [13].

Таким чином, модель Шарпа  може застосовуватися при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частку відносно стабільного фондового ринку.

 

 

2.3 Застосування моделі Квазі-Шарпа для розрахунку оптимального портфеля цінних паперів

 

Модель Марковіца та Шарпа були створені та успішно працюють в умовах західних фондових ринків, яким притаманні стабільність і порівняна прогнозованість. У країнах з перехідною економікою фондові ринки перебувають на етапі становлення і розвитку. Відбувається постійна реорганізація. Фондовий ринок України не є винятком. У таких умовах застосування моделей Марковіца і Шарпа приводить до похибок, пов'язаних із нестабільністю котирування цінних паперів та фондового ринку в       цілому [19].

З огляду на це було зроблено спробу розробити нову модель розрахунку характеристик фондового портфеля, яка може ефективно працювати в умовах сучасного фондового ринку України.

Модель Квазі-Шарп грунтується  на взаємозв'язку доходності кожного  цінного папера з деякого набору N цінних паперів з доходністю одиничного портфеля з цих паперів [20].

Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать до однієї чи кількох галузей. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі – розглядається окремий сегмент фондового ринку, на якому працює агент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій [23].

Основні припущення моделі Квазі-Шарп полягають у наступному:

• за характеристику доходності цінного папера береться математичне очікування доходності;
• під одиничним портфелем цінних паперів слід розуміти портфель, що складається з усіх цінних паперів, що розглядаються, взятих у рівній пропорції;
• взаємозв'язок доходності цінного папера і доходності одиничного портфелю описується лінійною функцією
• під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності одиничного портфеля;
• вважається, що дані минулих періодів, використані при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутнє значення доходності [6].

Як і в моделі Шарпа, в моделі Квазі-Шарп існує ризик  того, що поцінована доходність цінного  папера не належатиме побудованій лінії  регресії. Цей ризик називається  залишковим ризиком. Залишковий ризик  характеризує ступінь розкиду значень  доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають b_ei [23].

Загальний ризик вкладень у даний цінний папір складається  з b-ризику, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля, і залишкового ризику b_ei, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля і залишкового ризику b_ei, тобто ризику зниження доходності і невідповідності лінії регресії [23].

За моделлю Квазі-Шарп доходність портфеля цінних паперів – це середньозважена доходностей цінних паперів, що його складають [8]:

 (2.14)

де R_sp – очікувана доходність одиничного портфеля.

Ризик портфеля цінних паперів  визначається за формулою [8]:

(2.15)

де s_sp – ризикованість одиничного портфеля.

З використанням моделі Квазі-Шарп для розрахунку характеристик  портфеля пряма задача набуває вигляду [12]:

(2.16)

 

Відповідно, обернена задача має наступне кінцеве зображення [12]:

 

 

(2.17)

 

Таким чином, модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать одній або кільком галузям. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі – розглядається окремий сегмент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 3. РЕАЛІЗАЦІЯ І АНАЛІЗ ПРОЦЕСУ ОПТИМІЗАЦІЇ  ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ

 

3.1 Інформаційне  та програмне забезпечення проекту  оптимізації портфеля цінних паперів

 

На сьогоднішній день розроблено багато програмних продуктів, за допомогою яких пересічний користувач може доволі швидко вирішувати прикладні  задачі [26].

Основною метою автоматизації  формування портфеля цінних паперів  є підвищення ефективності інвестування, за рахунок зниження ризику втрати вкладень і оперативності аналізу.

На підставі статистичної інформації про дохідність індексів формується портфель цінних паперів. На підставі аналізу основних економічних  показників цінних паперів портфель наповнюється реальними активами [24].

Задаючи допустимий рівень ризику портфеля (для моделі Марковіца), та рівні ризику та критерію ефективності портфеля (для нечітко-множинної  моделі) у відсотках річних інвестор може скласти такий фондовий портфель, який би задовольняв його інвестиційним потребам.

Програмне забезпечення дозволяє користувачеві працювати  з портфелем цінних паперів завдяки  наступним функціональним модулями.

Управління цінними  паперами:

• забезпечує табличний режим перегляду інформації про цінні папери, що відображає назву цінного паперу, його тікер та котирування за певний час;
• надає можливість фільтрації котирувань акції за певний період, та обчислення дохідності та ризику цінного паперу за цей період;
• сформувати портфель цінних паперів для подальшої його          оптимізації [26].

На вирішення прикладних задач у сфері економіки, фінансів та статистики у програмістів попередніх поколінь часто йшли місяці. Однією із програм, що завоювала репутацію  надійного інструменту для повсякденної аналітичної роботи, став процесор електронних таблиць Excel [26].

Для практичної реалізації спрощеного варіанту моделі оптимізації  портфелю цінних паперів досить можливостей MS Excel.

Окрім MS Excel оптимізацію  проводять за допомогою таких  програмних засобів як Borland C++, Matlab тощо.

На основі введеної статистики про доходність цінних паперів за періоди можливий розрахунок середньої  норми доходності акцій кожного  з емітентів та портфелю в цілому. Обчислення ризиковості портфелю може бути проведено за допомогою стандартних функцій КОВАР( ) та ДИСП( ). Розрахованої бази буде достатньо для використання специфічного компоненту «Пошук рішення». Задавши умову оптимізації та систему обмежень, можна буде вирішувати як пряму, так і зворотну задачу. Механізми знаходження рішення вже реалізовані на рівні самого компоненту «Пошук рішення», параметри якого можна змінювати. Саме тому вважаю найбільш доцільним використання MS Excel для розв’язку конкретної поставленої задачі, що доводить його універсальність [26].

Таким чином, в області оптимізації портфеля цінних паперів існують розроблені програмні засоби та спеціальні функції в табличних процесорах, які дозволяють провести обчислення та змоделювати процес оптимізації портфеля цінних паперів.

 

 

3.2 Програмне  моделювання процесу оптимізації портфеля цінних паперів

Для реалізації програмного  моделювання оптимізації портфеля цінних паперів вибрано модель Марковіца, оскільки він є першим дослідником  в даній галузі і найбільш широко аргументує основні правила формування та оптимізації портфеля інвестицій.

Реалізація програмного  засобу спирається на конкретний приклад  оптимізації шляхом вирішення прямої задачі [10].

Вхідними даними будуть:

• початкова частка акцій кожного емітента;
• доходність цінних паперів за кожен з періодів;
• допустимий рівень ризикованості;
• максимальна частка цінних паперів кожного емітента;

Вихідними даними будуть:

• оптимізована частка акцій кожного емітента у портфелі;
• розрахована норма доходності портфелю [10].

Нехай маємо справу з  портфелем цінних паперів, доходність яких відома за минулі 12 місяців, а дисперсію та коваріацію, які є оцінками ризику, потрібно знайти виходячи із заданої статистики доходності цінних паперів і визначити значення оптимального портфелю, яке забезпечить максимальний дохід [26].

Тобто необхідно знайти такий план інвестування (портфель), щоб загальний дохід складав:

Загальний дохід = Середній дохід * Сума інвестування > max

На це все накладемо  систему обмежень:

а) сума всіх складових портфеля складає 100%;

б) Загальний ризик = Дисперсія ЦП_1 * Сума інвестицій ЦП_1² + Дисперсія ЦП_2 * Сума інвестицій ЦП_2² + Дисперсія ЦП_3 * Сума інвестицій ЦП_3² + 2 * (Коваріація ЦП_1_2 * Сума інвестицій ЦП_1 * Сума інвестицій ЦП_2 + Коваріація ЦП_1_3 * Сума інвестицій ЦП_1 * Сума інвестицій ЦП_3 + Коваріація ЦП_2_3 * Сума інвестицій ЦП_2 * Сума інвестицій ЦП_3) <= 1%;

в) вкладення в кожен ЦП <= 100% / 3;

г) всі невідомі більше нуля.

Після задання всіх перелічених умов в MS Excel та введення вхідної статистики маємо такий початковий стан задачі(рис. 3.1):

Рис. 3.1 Початковий етап вирішення  задачі

Середній дохід зазвичай обраховується за допомогою функції Excel СРЗНАЧ(Діапазон), варіація (дисперсія) – за допомогою функції ДИСП(Діапазон), а коваріація – функцією КОВАР(Діапазон 1; Діапазон 2). Маючи значення варіації трьох цінних паперів і коваріацій, можна визначити значення ризику. В цільову комірку було введено формулу суми за доходом з кожного цінного паперу [26].