Системный анализ

Оптимальное решение задачи (3.4) при некотором фиксированном наборе ве-сов kα называют эффективной точкой по Парето. Множество всех эффективных точек при возможных допустимых значениях kα называют множеством Парето. Это множество обладает свойствами достижения компромиссов при различных весах частных критериев. Покажем, в каком смысле это понимается.

Допустим, что при некотором заданном наборе весовых коэффициентов lααα,...,21, и известных значениях функционалов при k-ом частном критерии kfkF, lk,1= путем решенияоднокритериальной задачи (

3.4) найдена оптимальная эффективная точка ()lxxxx,...,21= и оптимальное значение функционала F.Утверждается, что если есть другая эффективная точка при тех же весах kα, для

102

которой некоторые значения lsxs,1,€= больше соответствующих значений sx оп-тимального эффективного решения, то всегда будет по крайней мере одно значе-ние qqxx<€.

Первый  вывод: противостоящим сторонам нельзя достичь компромисса, имея одинаковые веса частных критериев, если одна сторона стремится выиграть по всем частным показателям одновременно. По крайней мере, по одному из них не-избежна уступка. Допустим противное, т.е. что ?jjxx∀<∀. Тогда, согласно (3.4), для всех (поскольку они одинаковы в обоих вариантах) будет ,,1,€kjxcxcjkjjkj=∀< и соот-ветственно,11?llkkjjjkkcxcx==<ΣΣ j .

α k

Так как в функционале (3.4) остальные компоненты для обоих вариантов одинаковы, то окажется, что оптимальной значение F будет меньше альтерна-тивной величины , что противоречит исходному утверждению об оптимально-?Fсти F.

Второй  вывод: может существовать множество эффективных точек. На со-держательном уровне это означает наличие множества условий, выражающихся приоритетами частных интересов, при которых возможно достижение компро-мисса. Следует понимать, что исходя из произвольных начальных условий, дос-тижение компромисса между конфликтующими сторонами не всегда возможно.

Из практики известны случаи, когда стороны, сев за стол переговоров, ни о чем не смогли договориться. На системном уровне это означает, что процесс пе-реговоров не был сторонами предварительно смоделирован, не было установлено, что множество эффективных точек пусто или не имеет пересечений (т.к. нет точек взаимных интересов и возможности взаимных уступок). Т.е., переговоры не были предварительно подготовлены, и начинать их было бесполезно.

Именно это свойство системной организованности и системной подготов-ленности дает основание включить этот параграф в курс системного анализа.

5.2. Анализ модели после нахождения оптимального решения

Теория линейного программирования обязательно связывается с техникой нахождения оптимального решения. Однако в настоящем курсе должна быть по-ставлена и другая задача: изложить методы, с помощью которых можно было бы системным образом проанализировать и четко уяснить взаимосвязи между всеми факторами, учитываемыми при решении той или иной практической задачи ли-нейного программирования.

Опытный руководитель, использующий при решении задач организационно-го управления методы линейного программирования, редко довольствуется лишь численными значениями управляемых переменных, при которых достигается оп-тимум (максимум или минимум), если та или иная модель не применялась им

103

многократно и, следовательно, диапазон ее возможностей заранее не известен. В большинстве случаев руководитель желает знать, в каком интервале можно ме-нять входные параметры без существенного отклонения от найденного оптимума и без значительного нарушения структуры базиса, формирующего оптимальное решение. Исследование, позволяющее ответить на эти вопросы, носит название анализ модели на чувствительность (или анализ модели при известном оптималь-ном решении).

Следует подчеркнуть, что при решении задачи на ЭВМ соответствующие не-обходимые данные выдаются на выходе одновременно с оптимальным решением. Поэтому следует только понимать назначение соответствующих показателей и уметь им пользоваться на практике.

На простой графической иллюстрации можно показать, что любой оптималь-ный план в той или иной мере устойчив. Иллюстрациями будем сопровождать двухмерные задачи линейного программирования (случай двух переменных x1 и x2).

Оптимальное решение может находиться, как известно, в угловой точке мно-гогранника ограничений, на его ребре или грани (в двухмерном случае ребро и грань совпадают), как показано на рисунке.

В случае, когда оптимальное решение находится в угловой точке (а), эта точ-ка, очевидно, сохранится как оптимальная, если линия уровня целевой функции F=const слегка «покачивается» вокруг точки ()21,xx, т.е. в малых пределах меня-ются коэффициенты функционала.

Также могут иметь место деформации граней многогранника ограничений, если только неизменным окажется положение грани А-В. Это соответствует варь-ированию ограничений на ресурсы (правые части в условиях системы (3.4)).

Некоторые из подобных случаев допускают в теории линейного программи-рования аналитические исследования (см. Вагнер Г. Основы исследования опера-ций. Том 1, гл.5. –М.: Мир, 1972). Не ставя целью рассматривать эти случаи под-робно, укажем только, что в выходной информации в пакетах линейного про-граммирования (например, один из первых пакетов LP88) наряду с оптимальными

104

значениями переменных приводятся границы параметров, при изменении исход-ных данных, в пределах которых полученная базисная переменная таковой оста-ется (это аналогично случаям, показанным на рис.5-а).

5.3 Упражнения на построение моделей

1. Фирма «Лесная пилорама» столкнулась с проблемой наиболее рациональ-ного использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадле-жащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесо-пильный завод и фабрика, на которой изготавливают фанеру. Таким образом, ле-соматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.

Чтобы получить 2,5 кубометра коммерчески реализуемых комплектов пило-материалов, необходимо израсходовать 2,5 кубометра еловых и 7,5 кубометров пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 кв.м фанеры требуется 5 куб.м еловых и 10 куб.м пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 куб.м еловых и 180 куб.м пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 куб.м пиломатериалов и 1200 кв.м фанеры. Доход с 1 куб.м пиломатериалов составляет 16$, а со 100 кв.м фанеры –60$.

Пусть L-количество (в куб.м) производимых пиломатериалов, P – количество (в кв.м) изготавливаемой фанеры.

а) Построить линейную оптимизационную модель задачи.

б) Пользуясь графическим методом, изобразить допустимые варианты реше-ний и указать среди них оптимальное. (см. Вагнер Г. Основы исследования опера-ций. Том 1, гл.4.)

2. Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить, какое количество чистой стали и какое количество металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующего сплава) литья для одного из своих заказчиков. Пусть про-изводственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются 3 у.е., а затраты в расчете на 1 т металлолома – 5 у.е. (дороже, т.к. использование металлолома свя-зано с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5 т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма поставит перед ним такие условия.

Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4 т, а запасы металлолома не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чис-той стали в процессе получения сплава не должно превышать 7:8. Производст-венно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 час.; при этом на 1 т стали уходит 3 часа, а на 1 т метал-лолома – 2 часа производственного времени.

а) Построить линейную оптимизационную модель задачи.

б) Пользуясь графическим методом, указать оптимальный вариант. (см. Ваг-нер Г. Основы исследования операций. Том 1, гл.4.)

105

3. Фирма «Лакомка» выпускает 4 вида пищевых полуфабрикатов. Каждый из них состоит из ряда ингредиентов (крахмал, сахар, витамины и т.д.).

Пусть индекс i указывает на порядковый номер ингредиента (i=1,2,…,l), j – номер полуфабриката (j=1,…,4). Предположим, что максимальное количество ин-гредиента i, которым фирма располагает в течение ближайшего месяца, равняется Mi.

Доход, получаемый с одного килограмма полуфабриката j, обозначим через Pj. Через xj обозначим число килограммов полуфабриката j, произведенного фир-мой в течение ближайшего месяца. Пусть за этот период должно быть произведе-но не менее: 100000 кг полуфабриката 1, 125000 кг полуфабриката 2, 30000 кг по-луфабриката 3 и 500000 кг полуфабриката 4.

С помощью модели линейного программирования построить оптимальный план выпуска перечисленной выше продукции.

106

ГЛАВА 6 ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКО-НОМИЧЕСКОГО МЕХАНИЗМА

Рассмотрим некоторые подходы к моделированию элементов экономическо-го механизма как синтеза сложной имитационной системы, под которой подразу-мевается следующее:

• формирование воздействий (планов, цен, нормативов и т.д.) со стороны управляющих организаций на отдельные экономические единицы;

• доведение этих воздействий до экономических единиц;

• формирование исходной информации для выбора таких воздействий;

• финансовое управление и экономическое стимулирование;

• организационные ограничения на деятельность экономических единиц;

• методы оперативного управления.

6.1. Определение и составляющие экономического механизма

Экономический механизм – это большая и сложная система, предназначен-ная для осуществления ориентированной, направленной деятельности отдельных субъектов и других экономических агентов и организаций на достижение общих для всех целей. Тем самым преодолевается на микроуровне стихийность, вызван-ная как случайностями в течении природных процессов, так и наличием собст-венных интересов у индивидуумов (отдельных производителей) и других более крупных экономических единиц (так называемое правило «невидимой руки»).

Математические модели, используемые для анализа экономического меха-низма, выходят за рамки общепринятых в курсах экономико-математических ме-тодов. Таким моделям в настоящем разделе уделено особое внимание.

При построении математических моделей экономического механизма прежде всего необходимо на формализованном уровне описать систему организацион-ных, правовых, экономических и финансовых процедур и правил, использующих-ся и не использующихся в экономической практике, но в последнем случае пред-ставляющих научный интерес для исследования.

Далее, надо уметь на формализованном уровне (математических или в виде имитирующих алгоритмов) описать реакцию отдельных людей или целых коллек-тивов на различные аспекты экономического механизма. Это означает, что долж-ны быть разработаны принципы построения математических моделей, достаточно адекватно описывающие интересы людей и организаций, и учитывающие соци-альные и психологические факторы, которые воздействуют на принятие решений в реальности. Следует учитывать, что принципы математического моделирования экономического поведения людей разработаны крайне в недостаточной степени.