Системный анализ

Для решения проблем математического описания экономических механизмов в науке предлагаются разнообразные подходы и методы. Мы рассмотрим ограни-ченный, но весьма важный вопрос о моделировании взаимоотношений между производственной единицей (напр., предприятием) и вышестоящей организацией (руководством фирмы, министерства). При этом не будем затрагивать всю струк-

107

туру их отношений, а ограничимся проблемой стимулирования рационального использования производственных ресурсов. Практическая важность этой пробле-мы очевидна, она поставлена Я.Корнаи и Т.Липтаком, после чего ею занимались многие специалисты.

Как следствие, имеется значительное число разнообразных подходов и на-правлений к анализу даже этой, ограниченной, проблемы. Каждое из направлений обладает собственной системой понятий и собственными методами исследования тех или иных аспектов проблемы. Поэтому в начале каждого раздела на основе одной простой и довольно условной модели системы производственных единиц будет дано представление о применяемых методах, а затем, если это окажется возможным, могут быть кратко описаны модели и результаты, которые были по-лучены в соответствующих направлениях.

В качестве стандартной модели рассмотрим модель двухуровневой системы, структурная схема которой приведена на рис.6.1.

В модели имеется n производственных единиц, руководство которыми осу-ществляется вышестоящей организацией (Центром). Блок «Внешняя среда» опи-сывает воздействие на систему со стороны природы и других экономических сис-тем. Пусть для простоты каждая производственная единица производит единст-венный продукт, используя для этого единственный ресурс.

Производство в i-й производственной единице опишем на основе концепции множества технологических возможностей, имеющего вид (рис.6.2), где:

yi - выпуск продукции, xi - затраты ресурса, Ai – эффективность использова-ния единицы ресурса (таким ресурсом может быть численность рабочих на пред-приятии или отработанное ими количество человеко-часов).

Задача Центра состоит в распределении ресурса между производственными единицами, причем в различных подходах возможности Центра и используемые им методы будут описываться различным образом, в зависимости от используе-мых концепций.

108

6.2. Классический подход к анализу экономических механизмов

6.2.1. Простая модель

Модели, излагаемые в п.6.2, основаны на предположении о полной информи-рованности Центра о возможностях производственных единиц. Пусть задача, стоящая перед Центром, состоит в таком распределении заданий отдельным про-изводственным единицам, которое приводило бы к заранее заданному суммарно-му выпуску продукции Y* при минимальных затратах ресурса. При этом необхо-димо построить такую систему стимулирования производства, которая делала бы план распределения ресурсов и выпуска продукции, выбранный Центром, наибо-лее предпочтительным и для производственных единиц, т.е. необходимо постро-ить систему стимулирования, согласованную с планом.

В соответствии с рис.6.2 предполагается, что множество производственных возможностей предприятий имеет вид nixAyiii,1;0=≤≤ (6.1)

причем известны величины Ai, отражающие эффективность производства от-дельных единиц, известны Центру. Центр распределяет ресурс исходя из того, что производственные единицы используют полученные ресурсы эффективно, т.е. nixAyiii,1;==. (6.2)

Выполнение объема производства на уровне необходимого выпуска (напр., рыночного спроса Y*) запишем в виде:

*1Yynii=Σ=. (6.3)

Требование экономии производственных ресурсов приводит к следующей формулировке целевой функции Центра:

min1→=Σ=niixX (6.4)

Для решения задачи (5.2)-(5.4), т.е. выбора такого варианта распределения ресурса ()nixi,1= и соответствующих производственных заданий ()niyi,1=, свя-

109

занных с xi соотношением (5.2), можно использовать метод множителей Лагран-жа.

Функция Лагранжа имеет вид

()



−−=ΣΣ==*11,YxAxxLniiiniiνν, (6.5)

где ν – множитель Лагранжа.

Для нахождения решения задачи (6.2)-(6.4) надо удовлетворить необходимо-му условию оптимальности – найти стационарные точки функции Лагранжа, т.е. точки (x*,ν*), в которых выполняются условия. (x*= x1*, x2*,…, xn*): ;0;,1;0=∂∂==∂∂νLnixLi

и проверить, что в них достигается минимум функции (6.4).

Так как ,;,1,21*1YxALnixAxLniiiiii−=∂∂=−=∂∂Σ=νν

то стационарная точка (x*,ν*) удовлетворяет соотношениям ===Σ=.;,1,2*1***YxAniAxniiiiiν (6.6)

Из этих соотношений сразу следует, что Σ==niiAY12**2ν. (6.7)

В силу вогнутости кривых производственных возможностей на рис.8, ста-ционарная точка функции Лагранжа в данном случае (6.7) соответствует миниму-му X. Поэтому оптимальное распределение ресурсов и производственные зада-ния, соответствующие этому распределению ресурсов, имеют вид: ()nixAyYAAxiiiniiii,1,,*2*2122*==

=Σ= (6.8)

Суммарное потребление ресурса при этом имеет значение ()2*121**1YAxXniiniiΣΣ====.

Распределение ресурсов и плановых заданий для производственных единиц, описываемое соотношениями (6.8), является оптимальным для Центра.

110

В какой степени это распределение соответствует интересам отдельных про-изводственных единиц? Иначе управление будет носить административно-приказной, а не экономический характер, построенный на заинтересованности производителей.

Для этого необходимо описать интересы производителей. Наиболее часто предполагается, что на ресурсы и продукцию задаются цены, которые обозначим q и p соответственно. Причем производственные единицы влияния на цены не оказывают (условия, близкие к совершенной конкуренции). Считается, что произ-водственные единицы заинтересованы в увеличении прибыли niqxpyiii,1;=−=ℑ. (6.9)

Заинтересованность в увеличении прибыли может быть основана на том, что материальное положение и вытекающие из него различные льготы сотрудникам растут с ростом прибыли (6.9).

Чтобы оценить производственное задание и объемы ресурсов, в которых за-интересована производственная единица, рассмотрим, какой объем ресурсов и выпуск продукции приводит к максимизации прибыли (5.9) в случае, когда мно-жество производственных возможностей описывается соотношением (6.1). Отме-тим, что при любом фиксированном Центром объеме ресурсов xi максимум при-были при любых положительных ценах q и p достигается при iiixAy=, т.е. ко-гда производственные возможности используются полностью. Поэтому задача максимизации (6.9) при условии (6.1) эквивалентна задаче максимизации (6.9) при условии (6.2), т.е. надо максимизировать

()iiiiiqxxpAx−=ℑ

Поскольку необходимое условие максимума имеет вид

()021=−=ℑqxpAdxxdiiiii, (6.10)

то разрешая уравнение (6.10) относительно xi, оптимальное количество ре-сурсов и соответствующий выпуск продукции yi при данных ценах q и p и iiixAy= будут равны

()()2,,4,2**222**iiiiAqpqpyAqpqpx==. (6.11)

Если цены q и p произвольны, то потребность в ресурсах xi** и выпуск про-дукции yi** не будут совпадать с величинами xi* и yi*, предпочтительными с точки зрения Центра. Это обычно приводит ко всевозможным действиям произ-водственных единиц в части перераспределения ресурса в своих интересах. По-этому целесообразно установить такие цены (по крайней мере, внутренние, в пре-делах фирмы, управляемой Центром), при которых распределение ресурсов, оп-тимальное для Центра, было бы оптимальным и для отдельных производственных единиц. Приравнивая формулы (6.6) и (6.11), легко заметить, что для этого доста-точно положить

111

Σ===niiAYqp12*2ν. (*)

Из этого соотношения вытекает экономический смысл оптимального значе-ния множителя Лагранжа ν*: это такое соотношение цен ресурсов и внутренних цен продукции, при котором интересы Центра и отдельных производственных единиц совпадают. Остается сопоставить внутренние цены с рыночными, и про-блема согласования решений в двухуровневой рыночной экономической системе будет согласована в полной мере.

Пусть q*>0 – произвольная цена продукции. Положим p*=ν*q*. Тогда

xi**(p*,q*)=xi*, yi**(p*,q*)=yi* для всех i.

Таким образом, система стимулирования оказывается согласованной с сис-темой планирования производства при p= p* и q=q*.

Рассмотрим теперь произвольные цены q и p. На рис.6.2 изображена точка (xi**,yi**), оптимальная для i-го предприятия при данных ценах. Изменяя цены (неотрицательные!), можно сделать оптимальным для предприятия любое сочета-ние затрат и выпусков, принадлежащее кривой ОС, которая характеризует эффек-тивное использование ресурса. Таким образом, Центр может назначить любой эффективный для i-го предприятия план затрат ресурсов и выпуска продукции (xi, yi). При этом Центр может сделать с помощью цен выгодным его выполнение вне зависимости от того, был ли этот план получен на основе решения задачи (6.2)-(6.4) или некоторой другой задачи оптимизации, либо же он был назначен с по-мощью какой-либо неформализованной процедуры. При этом цены для i-го пред-приятия pi и qi могут не совпадать при различных i. Может возникнуть затрудне-ние: цены приходится назначать для каждого предприятия в отдельности. Таким образом, переход от величин, полученных на основе задачи оптимизации (6.2)-(6.4), к произвольным эффективным для предприятия величинам (xi, yi) приводит к потере важного свойства системы стимулирования – единых цен на ресурсы и продукцию. С экономической точки зрения такая дифференциация цен может оказаться неприемлемой (дискриминация производителей), поэтому обсудим во-прос о том, в каких случаях удается сохранить единые цены.

6.2.2. Условия сохранения единых цен

Рассмотрим множество G таких значений суммарных затрат ресурсов Σ==niixX1и выпусков , которые могут быть реализованы изучаемой сис-Σ==niiyY1темой предприятий с производственными возможностями, описываемыми соот-ношениями (6.1).