Системный анализ

Вид множества G можно представить себе, исходя из следующих соображе-ний. Во-первых, множество G выпукло. Во-вторых, в силу ()nixi,10=≥ выполня-ется условие . В-третьих, при любых продукция, согласно (6.1), 0≥X0≥Xдолжна быть неотрицательной, т.е. нижняя граница множества G имеет вид луча

112

{0,0≥≥YX }. Наконец, верхнюю границу множества G можно описать на основе решения задачи (6.2)-(6.4), которое имеет вид (6.8). Т.е. минимальные затраты ре-сурсов X* зависят от суммарного выпуска Y* следующим образом: Y**1να=tgΣ==nitg*α

()Σ==niiAYX122**.

Это позволяет построить кривую минимальных затрат, т.е. зависимость X* от Y*.

Обратная функция Σ==niiAX12* (**)

задает кривую зависимости максимального выпуска продукции от затрат.

Таким образом, множество G имеет вид (рис.6.3) Σ=≤≤niiAXY120,

а соотношение (**) задает эффективную границу G. При изменении X* от нуля до бесконечности Y* также меняется от нуля до бесконечности.

Множитель Лагранжа в задаче (6.2)-(6.4) равен отношению прироста затрат к приросту выпуска на эффективной кривой, т.е. угол наклона касательной к эф-фективной кривой в точке (X*, Y*) (угол α* на рис.6.3), связан с множителем Ла-гранжа ν* соотношением *.

На основе формулы (*) для множителя Лагранжа в задаче (6.2)-(6.4) получа-ем iYA1*22.

Таким образом, при изменении X* от нуля до бесконечности множитель Ла-гранжа растет от нуля до бесконечности, а угол α* изменяется от 900 до нуля.

113

Рассмотрим некоторую произвольную точку (X, Y), принадлежащую эффек-тивной границе множества G. Решим задачу оптимизации (6.2)-(6.4) с Y=Y и най-дем ее решение yi и xi ()ni,1=, а также множитель Лагранжа ν.

Очевидно, что iiiniixAyXx==Σ=,1,

Т.к. в противном случае точка (X, Y) не лежала бы на эффективной границе G. Как было показано выше, назначив цены p и q такими, что ν=qp, мы сделаем план затрат и выпуска выгодным для каждого из предприятий. Таким образом, проблема выбора стимулирующего механизма с ценами на ресурсы и продукцию, одинаковыми для всех предприятий, может быть решена, если выбранные каким-то образом значения (X, Y) лежат на эффективной границе множества их дости-жимых значений. Можно показать, что это свойство сохраняется и для более сложных экономических систем.

По принципиально подобной схеме могут рассматриваться модели экономи-ческого механизма с несколькими ресурсами. Известны также методы построения систем стимулирования на основе двойственных оценок задач линейного про-граммирования.

6.3. Исследования реальных систем стимулирования производства

В этом разделе рассмотрены системы стимулирования, в которых главное внимание уделено возможно более точному описанию экономического механиз-ма, а реакция производственной единицы на воздействие этой системы описыва-ется упрощенно с помощью функциональных моделей либо не описывается во-обще. Основные идеи иллюстрируются на основе стандартной модели системы производственных единиц.

6.3.1. Анализ стандартной системы производственных единиц

Пусть возможности производственных единиц описываются соотношением (6.1), а получаемая прибыль – соотношением (6.9)

Пусть предприятию выделяется определенная доля прибыли φ(ℑ). Эта часть прибыли используется на поощрение увеличения эффективности использования ресурсов в процессе производства, что приводит к зависимости коэффициента Ai от Wi= φ(ℑ). Например, в виде

()niWkAiii,1;==. (6.13)

Функция (5.13) описывает в модели реакцию производственной единицы на различные величины поощрения. Оценка этой функции производится с помощью эконометрических методов. Они имеют свои достоинства и недостатки, но тем не менее успешно используются, например, при построении производственных функций.

114

После построения функции (6.13) исследование модели производится сле-дующим образом: задаются различные варианты выделения ресурсов xi и спосо-бы формирования фонда поощрения, т.е. функции φ(ℑ), а затем изучаются по-следствия принятых решений, т.е. выпуск продукции yi. Таким образом удается проанализировать влияние изменений в системе стимулирования производства на деятельность производственных единиц. При этом вместо включения в модель недостаточно обоснованных предположений об интересах производственных единиц оценивается наблюдаемая в реальности связь между стимулированием и повышением эффективности. В случае сохранения без изменения других факто-ров, влияющих на эффективность производства, такое описание может оказаться достаточно адекватным. В связи с относительной простотой такой методики ис-следования с ее помощью удается проанализировать сложные системы экономи-ческого стимулирования.

6.3.2. Воздействие хозяйственного механизма на показатели работы предприятия

Проанализируем возможности исследования влияния хозяйственного меха-низма на эффективность деятельности предприятия на основе такого подхода, ко-гда поведения производственной единицы не описывается вообще. Вместо этого исследователи анализируют вопрос о том, каково было бы рациональное поведе-ние предприятия при различных целях, в том числе и совпадающих с целями вы-шестоящих организаций. При этом удается оценить рассогласование возможных интересов предприятий и Центра. Можно также попытаться выяснить те критерии оптимизации, которые приводят к результатам, наиболее близким к реальности. Проиллюстрируем возможности подобного подхода на примере стандартной мо-дели производственной единицы (6.1).

Т.к. будет рассматриваться единственная единица, то индекс i будем опус-кать. Цены на ресурс и продукцию будем считать фиксированными (р=1). Выяс-ним, какой объем ресурсов потребовала бы производственная единица и какой объем продукции был бы выпущен при разных критериях выбора решения, если бы ресурсы выдавались без ограничений.

В том случае, когда производственная единица максимизирует прибыль, ре-шение имеет вид (6.8). Если же критерием является увеличение масштабов произ-водства на предприятии (часто наблюдается в реальной жизни), то решение будет иным. Формально критерий, который, в отличие от максимизации прибыли, бу-дем обозначать ℑ2, имеет вид

ℑ2=x. (6.14)

При использовании этого критерия необходимо ввести ограничения на при-быль снизу: В модели (6.1) максимально возможная при данном x прибыль qxxA−=ℑ1 сначала растет с ростом x, а затем начинает падать. Поэтому требование неотри-цательности прибыли (6.15) является единственным ограничением на рост мас-

ℑ1=y-qx≥0. (6.15)

115

штабов производства в модели. Оно и определяет максимальные масштабы про-изводства. Поэтому решение задачи максимизации с критерием (6.14) при выпол-нении (6.1)-(6.15) удовлетворяет условию qAyqAxqxxA222===−,т.е.,0 (6.16)

Это решение отличается от решения, оптимального в случае максимизации прибыли. Две различные цели – увеличение масштабов производства и увеличе-ние прибыли – являются несовпадающими. Если одна из этих целей является це-лью Центра, а другая – предприятия, то интересы будут рассогласованы, и пона-добятся изменения в экономическом механизме для их согласования.

Если в исследовании анализируется деятельность конкретного предприятия, то можно сравнить решения, принимавшиеся на данном предприятии, с решения-ми, полученными теоретически, и сделать вывод о принципах принятия решения администрацией предприятия. Если, например, реальный выпуск у и реальные за-траты ресурса х совпадают со значениями (6.8), то логично предположить, что решения на предприятии принимаются исходя из увеличения прибыли. В случае совпадения реальных показателей с (6.16) можно предположить, что интересы администрации предприятия состоят в увеличении масштабов производства.

В том случае, когда реальное решение, характеризуемое величинами х и у, не совпадает ни с (6.8), ни с (6.16), например, qAyqAx2,2222==, (6.17)

то возникает вопрос о таком описании интересов предприятия, при котором теоретический анализ модели приводил бы к решению (6.17). Для ответа на этот вопрос разумно построить множество достижимых значений показателей (6.14)-(6.15) для модели (6.1)-(6.15). Это множество – обобщенное множество достижи-мости (ОМД). В данном случае ОМД может быть построено аналитически.

Как видно из системы (6.18) (она же (6.14)-(6.15)), показатели ℑ1 и ℑ2 связа-ны с переменными модели х и у взаимно однозначно. Сразу находим

х=ℑ2, у=ℑ1+qℑ2.

Подставляя эти соотношения в описание модели (6.1)-(6.15), получаем 0,01221≥ℑℑ≤ℑ+ℑ≤Aq. (6.19)

Множество достижимых значений показателей, описываемое этими соотно-шениями, изображено на рис.6.4.

Точка А этого множества соответствует поведению предприятия, максими-зирующего прибыль, точка В – максимизирующего масштабы производства. Под-считаем значение показателей в том случае, когда было использовано решение (6.17):

116

()222222212,21222qAxqAqAqqAxqy==ℑ−=−=−=ℑ

Рассмотрим точку С, соответствующую этим значениям показателей. Она лежит на границе ОМД и принадлежит эффективным (или недоминируемым, или неулучшаемым) точкам множества достижимых значений показателей. На рис.6.4 эффективное множество состоит из точек кривой АВ, которой принадлежит и точка С.

Точка С в этом случае может рассматриваться как некоторый компромисс между улучшением показателя ℑ1 и показателя ℑ2. Поэтому в том случае, когда решение, принятое в жизни, соответствует эффективной точке, можно утвер-ждать, что экономическое поведение предприятия не противоречит описанию его интересов на основе показателей прибыли ℑ1 и масштабов производства ℑ2.