Экономико-математические модели и методы проектного менеджмента

Розрахуємо частинні коефіцієнти кореляції між факторними ознаками   Х₂ і Х₃ , та між Х₂ і Х₄. Величина цих частинних коефіцієнтів кореляції дозволить визначити „чистий” зв’язок між вказаними факторами, тобто зв’язок, що вільний від впливу всіх останніх факторів.

Частинні коефіцієнт кореляції між факторними ознаками Х₂ і Х₃ розраховуємо за формулою:

,

де A₂₃ – алгебраїчне доповнення елемента r₂₃,

A₂₂ – алгебраїчне доповнення елемента r₂₂,

A₃₃ – алгебраїчне доповнення елемента r₃₃,

Алгебраїчне доповнення A₂₃ – це визначник матриці, отриманої із матриці А викресленням 2-го рядка і 3-го стовпця, помножений на (-1)²⁺³. Аналогічно, A₂₂ – це визначник матриці, отриманої із матриці А викресленням 2-го рядка і 2-го стовпця, помножений на (-1)²⁺²; A₃₃ – це визначник матриці, отриманої із матриці А викресленням 3-го рядка і 3-го стовпця, помножений на (-1)³⁺³. Визначники обчислюємо за допомогою вбудованих функцій Excel: викликаємо Функции – Математические – МОПРЕД, у графі Массив вказуємо матрицю, визначник якої потрібно знайти. Отримаємо:

A₂₃= =0,00028;      A₂₂= =0,001005;

A₃₃= =0,001442;   -0,24

 

A₂₄= =-0,00041;     A₄₄= =0,008578;

0,1411

Оскільки  , то в модель необхідно включати факторну ознаку Х₄.

Висновок: багатофакторна лінійна регресійна модель має вигляд:

.

 

2. Знайдемо параметри багатофакторної лінійної регресійної моделі та перевіримо її статистичну значимість.

Для знаходження  користуємось вбудованою функцією Excel. Викликаємо Сервис – Анализ данных – Регрессия – ОК. У графі Входной интервал Y вкажемо відповідний стовпець даних таблиці 1.1; у графі Входной интервал Х вкажемо стовпці Х₂ та Х₄ таблиці 1.1; у графі Выходной интервал вкажемо ту клітину, починаючи з якої будуть надаватися вихідні дані – рівняння регресії. Отримаємо таблицю з результатами регресійного аналізу (рис. 1.2).

В таблиці (рис. 1.2) у графі Коэффициенты вказані значення параметрів моделі : - в графі Y-пересечение, - в графі Переменная X 1, - в графі Переменная X 2. Отже, =657,67; = -1,76; =927,05; багатофакторна лінійна регресійна модель має вигляд:

.

Перевіримо статистичну  значимість моделі. Значення статистики F моделі надано в таблиці (рис. 1.2) у графі F : F = 303,877. Критичне значення F_кр знайдемо за допомогою статистичної функції Excel , де

.

Отже, F_кр=4,96; F> F_кр рівняння регресії є значимим, модель є достовірною на рівні значимості 0,05.

 

 

 

 

Рис. 1.2. Результати регресійного аналізу

 

 

 

 

3. Визначимо відносний вплив факторних ознак Х₂ та Х₄ на результативну ознаку Y. Розрахуємо та за формулами:

   

де коефіцієнт детермінації моделі R² надано у таблиці (рис. 1.2) в графі R-квадрат, R²=0,985;  надано в графі t-статистика, =(-0,616)²;   також надано в графі t-статистика, =18,952².

0,001;

0,984.

Отже, найвпливовішим є  фактор Х₄.

 

4.  Побудуємо порівняльну діаграму. Зобразимо емпіричну і теоретичну лінії регресії. Для зручності побудови діаграми складемо таблицю 1.4.

Таблиця 1.4

X2	X4	Y емпіричне	Y теоретичне
328	0,3	397	358,505
329	0,6	673	634,86
329	1,2	1209	1191,09
345	0,1	138	143,175
352	0,3	373	316,265
370	0,1	79	99,175
377	2,2	1883	2033,66
385	2,6	2124	2390,4
396	5,5	5096	5059,485
399	2,4	2618	2180,35
390	1,6	1265	1454,55
373	0,6	562	557,42

В таблиці 1.4 Y емпіричне – це значення результативної ознаки Y, що отримані в результаті спостережень (початкові дані в табл. 1.1); Y теоретичне - значення результативної ознаки Y, що отримані в результаті підстановки відповідних значень Х₂ та Х₄ в рівняння регресії . За допомогою сервісних функцій Excel отримаємо діаграму (рис. 1.3):

 

Рис.1.3. Порівняльна діаграма за результатами регресійного аналізу

5. Зробимо прогноз на перший місяць наступного року. Нехай передбачені значення факторних ознак становлять:

Х₂ = 392,  Х₄ = 0,72.

Тоді за побудованою моделлю отримаємо таке прогнозоване значення У:

=653,23.

 

3. Контрольні питання

 

1. Що таке багатофакторна лінійна регресія?
2. Які етапи побудови багатофакторної лінійної регресійної моделі?
3. Як обґрунтовується вибір факторів для побудови моделі?
4. Що таке кореляційна матриця?
5. Який алгоритм побудови кореляційної матриці?
6. Які мета і правило обчислення частинних коефіцієнтів кореляції?
7. Що таке кореляційні плеяди?
8. Як оцінюється вплив факторів на результативну ознаку?
9. Як здійснюється прогноз за багатофакторної лінійної регресійної моделлю?

 

4. Варіанти завдання для самостійного виконання

 

Побудувати економіко-математичну модель для прогнозу об’єму продаж продукту деякого підприємства, якщо відомі такі дані (табл. 1.5):

Х₁ – часовий фактор, порядковий номер кварталу;

Х₂ – ціна одиниці продукту (грн.);

Х₃ – ціна одиниці продукту підприємства-конкурента (грн.);

Х₄ – витрати на рекламу (грн.);

Y – об’єм продаж (грн.).

Таблиця 1.5

Варіант	Х1	Х2	Х3	Х4	Y
1	1	16	17	5000	12000
	2	15	18	6000	13000
	3	15	17	4000	15000
	4	15	16	9000	18000
	5	16	18	8000	23000
	6	17	19	10000	34000
2	1	17	17	5000	13000
	2	16	18	6000	12000
	3	16	17	4000	15000
	4	16	16	9000	17000
	5	17	18	8000	23000
	6	18	19	10000	33000

Продовж. табл. 1.5

Варіант	Х1	Х2	Х3	Х4	Y
3	1	17	16	5000	13000
	2	17	16	6000	14000
	3	16	17	4000	16000
	4	16	17	9000	19000
	5	18	18	8000	21000
	6	18	17	10000	31000
4	1	18	19	5000	12000
	2	17	18	6000	13000
	3	17	17	4000	15000
	4	16	17	9000	18000
	5	17	16	8000	23000
	6	17	16	10000	34000
5	1	18	19	5000	13000
	2	18	17	6000	12000
	3	16	17	4000	15000
	4	16	17	9000	17000
	5	17	16	8000	23000
	6	17	16	10000	33000
6	1	16	17	6000	14000
	2	15	18	7000	17000
	3	15	17	5000	12000
	4	15	16	9000	23000
	5	16	18	9000	25000
	6	17	19	11000	29000
7	1	17	17	6000	31000
	2	16	18	7000	34000
	3	16	17	5000	28000
	4	16	16	9000	44000
	5	17	18	9000	42000
	6	18	19	11000	47000

Продовж. табл. 1.5

Варіант	Х1	Х2	Х3	Х4	Y
8	1	17	16	6000	31000
	2	17	16	7000	34000
	3	16	17	5000	28000
	4	16	17	9000	44000
	5	18	18	9000	42000
	6	18	17	11000	47000
9	1	18	19	6000	12000
	2	17	18	7000	13000
	3	17	17	5000	15000
	4	16	17	9000	18000
	5	17	16	9000	23000
	6	17	16	11000	34000
10	1	18	19	6000	13000
	2	18	17	7000	12000
	3	16	17	5000	15000
	4	16	17	9000	17000
	5	17	16	9000	23000
	6	17	16	11000	33000
11	1	16	17	9000	14000
	2	15	18	7000	17000
	3	15	17	7000	12000
	4	15	16	8000	23000
	5	16	18	8000	25000
	6	17	19	9000	29000
12	1	17	17	9000	26000
	2	16	18	7000	24000
	3	16	17	7000	32000
	4	16	16	8000	33000
	5	17	18	8000	25000
	6	18	19	9000	26000