Экономико-математические модели и методы проектного менеджмента

 

 

Продовж. табл. 2.6

Вариант 28		Вариант 29		Вариант 30
Х	Y	Х	Y	Х	Y
6	348,6	6	30,00	6	605
11	551	11	61,97	11	698,48
7	379,35	7	33,00	7	620
5	323	5	25,44	5	593,3
3	285,75	3	19,00	3	576
9	454	9	46,05	9	654,06
4	301,8	4	22,00	4	584
2	275	2	16,30	2	572,3
13	666,75	13	83,00	13	751
10	502	10	53,42	10	675,1
Р = 500;  R = 8		Р = 90;  R = 8		Р = 700;  R = 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3

 

АНАЛІЗ  ЧАСОВИХ   РЯДІВ

 

Мета заняття: Отримати відомості і навички роботи з основними елементами часового ряду. Навчитися прийомам розрахунків тренду і методам прогнозування на основі аналізу часових рядів.

План:

1. Розрахунок адитивної моделі.
2. Розрахунок мультиплікативної моделі.
3. Розрахунок моделі експоненційного згладжування.

 

1. Теоретичні відомості

 

Множина даних, отриманих у результаті наглядів, що проводилися регулярно через рівні інтервали часу, називається часовим рядом. У часових рядах час є факторною ознакою. Зміна в часі результативної ознаки називається трендом.

В процесі господарської  діяльності окремі галузі промисловості, торгівля і сфера послуг стикаються з циклічними коливаннями, які викликані сезоннім характером виробництва та споживання товарів і послуг. Повторення даних через певний проміжок часу називається сезонною варіацією.

Для аналізу тенденції  у зміні результативного признака на основі часового ряду сезонну варіацію даних необхідно виключити (провести десезоналізацію даних). Після цього за допомогою моделі лінійної регресії можна знайти рівняння тренду.

За рівнянням тренду розробляються прогнози на наступні часові періоди. Кожен прогноз містить похибки, що розділяються на систематичні і випадкові. Систематичні похибки виникають внаслідок невірної моделі тренду, зрушення сезонної варіації у неналежний бік і т. і. Випадкові похибки – ті, що не можна пояснити моделлю тренду. Похибки обчислюються за рівнянням тренду і фактичним даним за формулами:

  – середнє абсолютне відхилення;

  – середньоквадратична похибка; e_t – різність фактичного і трендового значень.

Як трендові найчастіше використовуються: адитивна модель, мультиплікативна модель та модель експоненційного згладжування.

Для адитивної моделі:

фактичне значення А = трендове значення Т + сезонна варіація S + похибка Е

Для мультиплікативної моделі:

фактичне значення А = трендове значення Т сезонна варіація S похибка Е

Для моделі експоненційного згладжування:

Новий прогноз = α

фактичний результат в останній період +

+ (1-α)

прогноз в останній період

Константу згладжування α обирають з відрізку [0; 1]. В умовах стабільності α обирають з відрізку [0,2; 0,4], при швидкому зміненні результативного признаку α обирають з відрізку [0,7; 0,9].

 

2. Алгоритм побудови та аналізу адитивної моделі

 

Приклад: В таблиці 3.1 вказаний об’єм продаж (тис. грн.) за 11 кварталів. На основі цих даних надати прогноз на наступні 2 квартали.

Таблиця 3.1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Об’єм продаж	4	6	4	5	10	8	7	9	12	14	15

 

 

 

Розв’язок

Побудуємо адитивну модель за формулою:

фактичне значення А = трендове значення Т + сезонна варіація S + похибка Е

1. Перш за все виключимо вплив сезонної варіації. Користуємось методом ковзкої середньої. Для зручності обчислень заповнимо таблицю 3.2.

Таблиця 3.2

Квартал	Об’єм продаж	Ковзка середня  за 4 квартали	Центрована  ковзка середня	Оцінка сезонної варіації
1	4	-	-	-
2	6	-	-	-
3	4	4,75	5,5	-1,5
4	5	6,25	6,5	-1,5
5	10	6,75	7,125	2,875
6	8	7,5	8	0
7	7	8,5	8,75	-1,75
8	9	9	9,75	-0,75
9	12	10,5	11,5	0,5
10	14	12,5	-	-
11	15	-	-	-

1 рік = 4 квартали, тому  знайдемо середні значення об’єму  продаж за 4 послідовних квартали. Тобто додаємо 4 послідовних числа  із 2-го стовпця і ділимо її  на 4. Результат записуємо у 3-ій  стовпець 9перший – напроти третього доданка). Якщо ковзка середня обчислюється для непарної кількості періодів часу, то результат записується напроти середнього доданку і отримані середні не потрібно центрувати. У нашому випадку середні значення необхідно центрувати, для чого обчислюємо полусуму двох сусідніх чисел 3-го стовпця і записуємо у    4-й. Оцінка сезонної варіації (5-й стовпець) – це різність фактичних даних і відповідних центрованих ковзких середніх (2-й стовпець – 4-й стовпець).

2. Знайдемо сезонну варіацію для кожного з чотирьох кварталів року. Для зручності результати обчислень оформимо у вигляді таблиці 3.3.

Таблиця 3.3

	Номер кварталу
	1	2	3	4
Оцінки сезонної варіації	-	-	-1,5	-1,5
	2,875	0	-1,75	-0,75
	0,5	-	-	-	Сума
Середнє	1,7	0,0	-1,6	-1,1	-1
Скоректована сезонна варіація	2,0	0,2	-1,3	-0,9	0,0

Оцінки сезонної варіації запишемо у стовпцях під відповідним  номером кварталу. У кожному стовпці  обчислюємо середнє значення. Обчислюємо суму середніх значень (у даному прикладі вона дорівнює -1). Значення сезонної варіації повинні бути скоректовані так, щоб сума середніх значень дорівнювала 0 (усереднена варіація за рік). Для цього знаходимо коректувальний коефіцієнт: суму середніх ділимо на 4 (число кварталів у році); та віднімаємо від усіх середніх цей коефіцієнт.

3. Виключимо сезонну варіацію із фактичних даних (таблиця 3.4).

Таблиця 3.4

Квартал	Об’єм продаж А	Сезонна варіація S	Десезонолізований об’єм продаж A-S=T+E
1	4	2	2
2	6	0,2	5,8
3	4	-1,3	5,3
4	5	-0,9	5,9
5	10	2	8
6	8	0,2	7,8
7	7	-1,3	8,3
8	9	-0,9	9,9
9	12	2	10
10	14	0,2	13,8
11	15	-1,3	16,3

Із фактичних даних (2-й стовпець) віднімаємо сезонну  варіацію (3-й стовпець) і записуємо  результат в 4-й стовпець.

4. Знайдемо рівняння тренду у вигляді лінійної регресійної моделі: Т=ах+в

Для знаходження коефіцієнтів користуємось статистичними функціями ОТРЕЗОК та НАКЛОН майстра функцій із пакету Excel. Отримаємо: а=1,1; в=1,9. Отже, трендові значення об’єму продаж = 1,9 + 1,1 * номер кварталу.

5. Розрахуємо похибки обчислень. Для зручності результати обчислень оформимо у вигляді таблиці 3.5.

Таблиця 3.5

Квартал	Об’єм продаж А	Десезонолізований об’єм продаж A-S=T+E	Трендові значення	Похибка еt
1	4	2	3	-1	1	1
2	6	5,8	4,1	1,7	1,7	2,89
3	4	5,3	5,2	0,1	0,1	0,01
4	5	5,9	6,3	-0,4	0,4	0,16
5	10	8	7,4	0,6	0,6	0,36
6	8	7,8	8,5	-0,7	0,7	0,49
7	7	8,3	9,6	-1,3	1,3	1,69
8	9	9,9	10,7	-0,8	0,8	0,64
9	12	10	11,8	-1,8	1,8	3,24
10	14	13,8	12,9	0,9	0,9	0,81
11	15	16,3	14	2,3	2,3	5,29
Сума					11,6	16,58