Экономико - математические методы и модели

Значение любого показателя во времени – динамика. Динамический ряд – значения показателя за одинаковые промежутки времени: Q₁, Q₂, … Q_t, … Q_n   (например, НД, рождаемость, сбор зерна по годам)

d = Q_t – Q_t+1 – абсолютный прирост

h = Q_t / Q_t-1 – темп роста

r = (Q_t - Q_t-1) / Q_t-1 – относительный рост

При исследовании динамического  ряда выделяют 3 составляющие:

1. Главная тенденция  (тренд); 

2. Циклические колебания  (сезонные колебания); 

3. случайная компонента.

Кроме того статистика должна быть однородной.

Циклические колебания – повторяющиеся изменения показателя во времени, спады и подъемы.

 

2.  Проверка существования тенденции развития;

Тенденция – общее направление развития, повременная эволюция. Определяется действием постоянных факторов  у₁, у₂,… у_t, … у_n.  Если тенденция существует, то у = f (х), наблюдаем рост или спад.

Способы выяснения существования  тенденции: 

1) графический. Недостаток – субъективность, зависимость суждения от масштаба, грубая прикидка;

2) Метод сравнения разности средних. Временной ряд делится на 2 равные части, определяется среднее значение в каждой половине. Если абсолютное значение разности средних велико, то существует тенденция.

Для оценки разности средних  используют  t – статистику Стьюдента.

t = | – | × ,  где ,  - средние;  n – число наблюдений;  d² – сумма квадратов отклонений фактических значений от общей средней d² =

t  сравнивают с табличным значением t_a . Если  t < t_a, то гипотеза о значимости разности средних отвергается ® тенденции нет.

 

3. Сезонные колебания динамических рядов;

Сезонные колебания – повторяющиеся спады и подъемы – периодическое повторение определенной кривой. Период может быть const, а может быть переменным. Например, сезонные колебания случаются из-за, либо климатические условия, либо порядки, традиции общества.

Рассмотрим на примере  метод выявления сезонных колебаний  и их оценка. Период колебаний известен и равен const. Допустим имеем значения показателя за 3 года по кварталам.

квартал	год
	1995	1996	1997
I	66,7	73,5	75,2
II	65,2	70,8	73,7
III	61,7	66,1	70,1
IV	68,2	74,5	75,7
Итого, yi	261,7	284,9	294,7
yi / 4	65,47	71,22	73,2

t      1        2        3        4     …    12

y_t    66,7   65,2   61,7   68,2  … 75,7             73

                                                                        71

                                                                        69

                                                                        67

                                                                        65

                                                                        63

                                                                        61

                                                                                 1   2   3   4   5   6   7   8   9           t

Обозначим   у_tq – фактическое значение;  t – временной период;  q – номер квартала; 

i – номер года.

t = ;   q = 1, 2, 3, 4.

у_tq = (y_i / 4) × S_q + E     (2)    – оцениваем сезонность,  где   S_q – коэффициент сезонности за квартал q;   Е – случайная компонента.

S_q =                (3)

a_iq = у_tq / (y_i / 4)                 (4)     – оценка сезонного фактора

S_q =                        (5)

Оценки сезонного фактора   (a_tq)   по формуле   (4)

квартал	годы			Коэффициент  Sq
	1995	1996	1997
I	1,02	1,03	1,02	1,02
II	0,99	0,99	1,00	0,99
III	0,94	0,93	0,95	0,94
IV	1,04	1,05	1,03	1,04

Коэффициент  S_q > 1, то подъем;   S_q < 1 – спад.

Чем больше S_q, тем больше сила подъема. Чтобы построить тренд, надо «сгладить» ряд, т.е. убрать колебания. Для этого фактическое значение делим на соответствующий коэффициент сезонности.

=  у_tq /  S_q             (6)       – сглаживание ряда.

 t        1        2        3         4        5        6           7   …

  65,1   71,8   73,4   65,4  71,0   74,0     71,7 …

Для новых значений строим тренд и делаем прогноз.

 

4. Трендовые модели экономического развития. Типы экономического роста.

Динамический ряд может  иметь: сезонные, трендовые показатели.

Тренд характеризует  общую  закономерность изменения  показателя во времени. Как выделить эту закономерность:  у = f (t).

1  этап:  определяем  класс функции описания переменных (линейная, квадратичная);

2  этап: рассчитываются  параметры функции;

3  этап: расчет критериев  оценки полученной зависимости;

4  этап: окончательный  выбор функции.

Вид функции  у = а₀ + а₁ × t         (1)

Параметры можно рассчитать методом наименьших квадратов    ® min

F (a₀; a₁) =  S (y_t – a₀ – a₁ × t)²  ®  min

;           n × a₀ + 

;          

Для прогнозирования  в большей степени надо опираться  на последние значения ряда. Для  этого используют взвешенный метод  наименьших квадратов.

По статистическим данным строится функция  у = f (t), чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от рассчитанных по уравнению была минимальной при условии, что последним значениям ряда придается больший вес.

Для описания экономических  показателей существуют типы экономического развития, им соответствуют свои функции:

1. Постоянный рост (d _t = const), лучше применять линейную функцию:    y = a₀ + а₁ × t;  

f ' (t) = ¶y / ¶t = а₁ - const;  

r = b / a + b × t – с увеличением   t  темпы прироста снижаются.

2. Возрастающий рост (d _t растет):

1) показательная функция:  y = a × (1+ b)^t;  d _t = a × (1+ b)^t × ln (1+ b),

 ä r = d / y = ln (1+ b) – const.

2) экспоненциальная функция:  у = a × e^bt ;    d = a × e^bt × b;   ä  r – const.

3) параболa:  y = a₀ + a₁ × t + a₂ × t²;   d = a₁ + 2 × a₂ × t;  ä  a₀,  a₁,  a₂ > 0. 

r = d / y = (a₁ +2 × a₂ × t ) / (a₀ + a₁ × t + a₂ × t²);

3. Убывающий рост:

1) линейно-логарифмическая  функция:  y = a + b × ln t,   d _t = b / t;   æ

 гипербола:    y = a – b / t;   d = 2 × b / t²;     æ   a > 0,  b > 0.

2) степенная функция:   y = a × t^b;    d _t = a × b × t^b-1;    æ если    b < 1.

4. Развитие с изменяющимися характеристиками, логистическая функция:

y = a / (1+ b × e^{-c× t}),    d _t = (ln b) / c

a, b, c >0;   если   t ® - ¥, то   у ® 0, если   t ® + ¥, то у ® а.

           y

          

          a

 

       a / 2

 

 

                                 t₁                            t

 

5.  Построение трендовых моделей;

g – весовой коэффициент;  g (t) = t, , e ^t

ряд   у₁,  у₂,… у_t , … у_n . 

у = а₀ + а₁ × t,   g (t) = t         1, 2, 3…

F = ® min

F (a₀; a₁) = S (y_t – a₀ – a₁ × t)² × t ® min

;          + 

;          

Далее нужно оценить построенную зависимость.

        -  коэффициент корреляции. 

   

 – по уравнению     (1)

Чем больше коэффициент, тем сильнее связь.

Второй критерий  среднеквадратическая ошибка:

                           

Чем меньше среднеквадратическая ошибка, тем функция лучше описывает  динамический ряд. Если наблюдений мало, то брать много параметров не рекомендуется.

Стандартное среднеквадратическое отклонение

          ;   k – количество параметров у равнении.

Это отклонение используют в прогнозах.

 

ПРИМЕР:

По сглаженным значениям  получим зависимость  у_t = 63,94 + 0,9633 × t.

r = 0.9.

у₁, у₂,… у_t , … у_n   -     n – наблюдений          у = f (t)

d_t = у_t – у_t-1 – абсолютный  прирост             d _t = f ' (t)

r_t = (у_t – у_t-1) / у_t-1 – относительный рост     r _t = f ' (t) / f (t)

 

6.  Прогнозирование на основе трендовых моделей;

Функция  у = f (t).

Прогноз  = f (n + 1)     t = 21;

          = f (n + 2)     t = 22.

                    ……

ПРИМЕР:  = 63,94 + 0,963 × 13 = 76,46         I  кв

               = 63,94 + 0,963 × 14 = 77,48        II  кв

               = 63,94 + 0,963 × 15 = 78,39        III  кв

               = 63,94 + 0,963 × 16 = 79,35        IV  кв

C учетом сезонности и общей тенденции:

 = × S₁ = 76,46 × 1,02 = 78,34

 = × S₂ = 77,16

 = 73,73; 

 = 82,41.

Это прогноз точечный, надо определить интервал в который  попадет фактическое значение.

Предположим фактическое  значение окажется в интервале    у_t Î [   ± t_a × ],  где t_a - значение   t статистики Стьюдента.

у = f (n +1).

Прогноз на следующий  год:

Год	Квартал	Точечный прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
1998	I	78,34	81,7	74,92
	II	77,16	80,55	73,77
	III	77,73	77,12	70,34
	IV	82,41	85,8	79,02

у_t =   ± t_a × – верхние и нижние границы.      t_a = 2.

  

 где  – сглаженный ряд;  - вычисленные значения по уравнению;  k – количество параметров   в   уравнении.

[± 2 × 1,695] = [± 3,39] – интервал

Вывод: с вероятностью 0,95 значение показателя в каждом квартале будет в таком интервале.

 

7. Оценка точности и надежности прогноза.

Надежность прогноза определяется вероятностью, с которой  то или иное значение попадает в  интервал.

             y_t

                                           .          интервал попадания

                                     .          .

                              .           .

                       .           .   

                            .

                      1   2   ….  n   n +1               t

Под точностью понимают отклонение прогнозируемой величины от фактической.

Ретроспективый анализ:

у₁,  у₂ , … у_n

      I     у₁,  у₂ , … у_m   – прошлый период

     II     у_m+1, … у_n       – будущий условно

 1)  у = f₁ (t) – пусть линейная зависимость

 –  прогноз;

   - ошибка.

Дальше базовый период увеличиваем на единицу.

 2) у = f₂ (t) - тренд

 –  прогноз;

- ошибка.