Экономико - математические методы и модели

ln y = ln a₀ + a₁ × ln x₁ + … a_m × ln x_m.

Смысл параметров:

а₀ – характеризует общее совокупное влияние всех факторов.

a₁,  a₂, … a_m – эластичность выпуска по соответствующему фактору.

n_i = ¶у / ¶x_i = a₀ × a_i ×  

d_i = (¶у / ¶x_i) ×  (x_i / y) = a_i.

ПРИМЕР:

Рассмотрим в качестве примера исследование показателя НД = у. Два фактора:  С – производственные фонды и L – трудовые ресурсы (численность).

y = f (C, L),   y = 43,7 × C ^0,0827 ×  L ^0,9173.

Если трудовые ресурсы  увеличить на 1%, то НД увеличится на 0,9173 %.

Обозначим сумму всех степеней:  k =  a₁ + a₂ + … a_m

1) если k = 1, то при увеличении затрат факторов в одинаковое число раз, во столько же раз увеличится исследуемый показатель;

2) Если  k > 1, то при увеличении всех факторов в n раз, у увеличивается в более чем n раз – перспектива роста.

3) Если  k < 1, то при увеличении факторов производства в n раз, у увеличивается менее, чем в n раз.

Функция Кобба-Дугласа:

Два американских ученых К. Кобб и П. Дуглас рассмотрели 2-х  факторную модель:

у =  а₀ × 

a_L + a_C = 1.

 

6. Динамические производственные функции.

В многофакторную производственную модель можно включать еще и время, тогда она станет динамической.

у = f (х₁, х₂, … х_m,  t),   t – время как фактор.

L (t) – затраты труда во времени.

C (t) – производственные фонды во времени.

y = f (L (t), C (t), t)

t – отражает влияние всех неучтенных факторов.

А = а₀ × е^lt – характеризует научно-технический прогресс, который нельзя точно измерить. Зависимость А от времени очень большая.

        A

 

 

 

 

                                                t

у = а₀ × е^lt × f (L (t), C (t)).

Чаще всего берут  функцию Кобба-Дугласа.

Динамическая  модель Кобба-Дугласа:

у =  а₀ × е^lt ×

Предварительные исследования:  С = С (t)       y = j₁ (C(t)); 

 L = L (t)        y = j₂ (L (t)).

 

ПРИМЕР:

Имея статистику получаем:

у = 1,06 × е ^-0,063 × C ^1,402 × L ^0,441   – исследовалась зависимость НД (у) от основных производственных фондов (С) и от численности (L).

Т.к.  (-0,063), то научно-технический прогресс ослабевает со временем.

Т.к.  (1,402), то на величину НД в большей степени влияют основные производственные фонды.

Чтобы увеличить у, нужно увеличить С.

На следующий период времени можем сделать прогноз  с помощью тренда.

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МОДЕЛИ  НА  МАКРОУРОВНЕ

 

1. Модели opt планирования народного хозяйства;

2. Анализ содержания  и структуры статической модели opt планирования;

3. Взаимосвязь прямой  и двойственной задач opt планирования;

4. Оценки технологических способов производства;

5. Оценки ресурсов  и оценки продукции в opt планировании и их использование;

6. Оpt модели межотраслевого баланса.

 

1. Модели opt планирования народного хозяйства

Оптимальная модель отличается от балансовой тем, что:

1) предусматривает производство продукции различными способами (например. Получение электроэнергии); 

2) рассматривает комплексные  производства, когда при испытании  какого-либо технологического способа  получается несколько видов продукции.

Для производства нужны  ресурсы, которые мы поделим на виды:

1, 2, … i … m – ресурсы;

1, 2, … j … n – технологические способы;

1, 2, … p… r – виды продукции.

Если технологический  способ существует, то он определен  своими затратами и результатами производства. Каждому технологическому способу ставится в соответствии вектор:

 

                      где  a_ij – коэффициенты затрат;   b_pj – коэффициенты выпуска продукции;   p = ,   i = ,    j = .

Продукцию необходимо выпускать  в заданном ассортименте в соотношении:    (k₁,  k₂, … k_p … k_r)  – коэффициенты, характеризующие удельный вес продукции   р  в общем объеме выпускаемой продукции, или это количество продукции   р   в 1 наборе (комплекте).

Необходимо, чтобы расчет был в натуральном выражении.

B_i – объем  i-того ресурса – ограничение.

Задача: выбрать среди всех существующих технологических способов с целью max выпуска продукции заданной структуры при ограниченных ресурсах.

Статическая модель opt планирования (за 1 год):

Ресурсы, продукция	Технологические способы				Ограничения
	1	2	…	n
1	a11	a12	…	a1n	B1
2	a21	a22	…	a2n	B2
…	…	…	…	…	…
m	am1	am2	…	amn	Bm
1	b11	b12	…	b1n	k1
2	b21	b22	…	b2n	k2
…	…	…	…	…	…
r	br1	br2	…	brn	kr
	x1	x2	…	xn

 

2. Анализ содержания и структуры статической модели  opt  планирования

Затраты ресурсов и выпуск продукции даны с единичной интенсивностью.

За единицу интенсивности  можно принять выпуск единицы  основной продукции; можно единицу  времени работы (например, 1 ч); можно затраты принять за единицу.

Интенсивность показывает во сколько раз больше будем получать ресурсы и тратить на другие виды продукции по сравнению с тем, который приняли за 1.

Модель 1. Определить, с какой интенсивностью использовать " технологический способ.

Переменные:  х₁,  х₂, … х_n – интенсивность каждого способа.

Если интенсивность = 0,  то способ не принимаем.

z – количество наборов.

F = z ® max.

    a₁₁ × x₁ + a₁₂ × x₂ + … + a_1n × x_n  £  B₁,

    ……………………………………                   (1)

    a_m1 × x₁ + a_m2 × x₂ + … + a_mn × x_n £  B_m,

    b₁₁ × x₁ + b₁₂ × x₂ + … + b_1n × x_n  ³  k₁ × z,

    …………………………………….                 (2)

    b_r1 × x₁ + b_r2 × x₂ + … + b_rn × x_n  ³  k_r × z,

x_j ³ 0,  z ³ 0.

1-е и 3-е уравнение  системы       (2)    – структура.

В качестве ресурсов берутся природные и трудовые ресурсы (первичные факторы производства).

Продукция – все, что  производится = конечная продукция + промежуточная (сырая нефть).

Строка  b₁₁   b₁₂ … b_1n  - характеризует выпуск 1-го вида продукции при различных способах.

Столбец  b₁₁   b₂₁ … b_r1 – характеризует перечень продукции, полученный 1-ым способом.

Если продукция р  является результатом производства, то   b_pj > 0.

Если продукция  р при другом технологическом способе является сырьем для производства другого вида продукции, то  b_pj < 0.

Достоинства модели: все  данные в натуральных единицах и  есть возможность выбора тех. способов.

Разновидности  модели 1:

Модель 2:  Задана не структура, а спрос на продукцию у₁,  у₂ … у_n

F = ® max

Ограничение   (1),  

Модель 3:  конечную продукцию можно разделить у_р = .

- постоянная часть – min для того, чтобы страна просуществовала, жестко задана цифрой.

- переменная часть – задана структурой  (k₁,  k₂, … k_r)

F = z ® max.

Ограничение   (1) 

,

,

x_j ³ 0,  z ³ 0.

 

3. Взаимосвязь прямой и двойственной задач opt планирования;

Прямая задача:

F = z ® max.

Ограничения на ресурсы:

    a₁₁ × x₁ + a₁₂ × x₂ + … + a_1n × x_n  £  B₁,              |   у₁   

    ………………………………………              |  …

    a_m1 × x₁ + a_m2 × x₂ + … + a_mn × x_n  £  B_m.             |  у_m

Ограничения на количество:

    - b₁₁ × x₁ - b₁₂ × x₂ - … - b_1n × x_n  +  k₁ × z £ 0,     |  y_m+1

    ……………………………………………      |  … 

    - b_r1 × x₁ -  b_r2 × x₂ - … - b_rn × x_n  +  k_r × z £ 0.     |  y_m+r

x_j ³ 0,   z ³ 0,   j =

Двойственная  задача:

Ф = В₁ × у₁ + В₂ × у₂ + … В_m × y_m  ® min

    a₁₁ × y₁ + … + a_m1 × y_m – b₁₁ × y_m+1 - … b_r1 × y_m+r   ³ 0,       

    …………………………………………..        

    a_1n × y₁ + … + a_mn × y_m – b_1n × y_m+1 - … b_rn × y_m+r   ³ 0,

    k₁ × y_m + … k_r1 × y_m+r  ³ 1

y_i  ³ 0,  i = .

y₁ … y_m – отдача от использования дополнительной единицы соответствующего ресурса; оценивают единицу каждого ресурса.

y_m+1 … y_m+r – оценивают единицу продукции с точки зрения эффективности ее производства. То есть сама величина означает насколько уменьшится  z, если количество соответствующей продукции увеличить на единицу по отношению к оптимальному плану.

Эти оценки позволяют анализировать оптимальный план:

1. если   x_j > 0, то соответственные ограничения двойственной задачи выполняются как строгое равенство. 

2. если   x_j = 0, то соответственные ограничения двойственной задачи выполняются как строгое неравенство >.

3. если  у_i  > 0, то соответственные ограничения прямой задачи выполняются как строгое равенство, т.е. для тех ресурсов, которые полностью потрачены, оценки больше нуля.

4. если  у_i = 0, то соответственные ограничения прямой задачи выполняются как строгое неравенство.

Для избыточных ресурсов оценка = 0.

Для продукции, произведенной  сверхкомплекта = 0.

4. Оценки технологических способов производства

Оценить все способы (и  те, которые не вошли в оптимальный план).

Для оценки технологических  способов можно использовать первые n неравенств двойственной задачи, коме последнего.

Dj =

Оптимальный технологический  способ:  D_j = 0.

Неоптимальный технологический способ:  D_j > 0  показывает насколько уменьшится   z, если соответствующий технологический способ эксплуатировать с единичной интенсивностью. Чем меньше  В_j, тем лучше способ.

 

ПРИМЕР: 

Рассмотрим производство 2-х видов продукции  А и  В при двух видах ограниченных ресурсах: труд, оборудование. Каждый вид продукции может производится двумя технологическими способами. Количество ресурсов ограничено, а продукция должна производится в комплекте   (1 : 1), т.е. на каждую продукцию А единица продукции В.

Ресурсы, продукция	Технологические способы				ограничения
	1	2	3	4
Труд	0,8	0,2	0,4	0,1	240
Оборудование	-	0,1	-	0,2	20
А	1	1	-	-	1
В	-	-	1	1	1

1-я колонка характеризует  1 технологический способ с единичной  интенсивностью.

2-я позволяет получить 1, при этом тратится труда  0,2  и оборудования 0,1.

Определить интенсивность  использования каждого способа  с целью получения  max продукции.

х₁ - интенсивность использования 1 способа

    - количество  продукции А, получаемой 1 способом

х₂ - …. 2 способом

    - ….. 2 способом

х₃

х₄

z – количество комплектов.

F = z ® max.

    0,8 × х₁ + 0,2 × х₂ + 0,4 × х₃ + 0,1 × х₄ £ 240,      | у₁

    0,1 × х₂ + 0,2 × х₄ £ 20                                        | у₂

    х₁ + х₂ ³ 1× z,  | у₃

    х₃ + х₄ ³ 1× z.  | у₄

z,  x₁ … x₄ ³ 0.

Двойственная  задача:   Ф = 240 × у₁ + 20 × у₂  ®  min

    0,8 × у₁ – у₃ ³ 0                   |   х₁  |  D₁

    0,2 × у₁ + 0,1 × у₂ – у₃ ³ 0    |   х₂ |  D₂

    0,4 × у₁ – у₄ ³ 0                   |   х₃ |  D₃

    0,1 × у₁ + 0,2 × у₂ – у₄ ³ 0    |   х₄ |  D₄

    у₃ + у₄ ³ 1                           |   z   |

Т.к.   z > 0, то ограничения как строгое равенство.

z = 300;   х₁ = 100,   х₂ = 200  (А = 300),   х₃ = 300,   х₄ = 0  (В =300).

Нам выгодно использовать  1-ый способ с интенсивностью 100, 2-ой способ – 200,       3-ий – 300,  4-ый способ не выгоден.