Экономико - математические методы и модели

Постановка  задачи: Пусть предприятие может выпустить n видов продукции в соответствии со своей специализацией. Для производства нужны средства труда по группам 1, 2,…, m (группы оборудования). Внутри каждой группы станки взаимозаменяемы.

А_i – действительный фонд времени i-той группы оборудования; 

а_ij – нормы расхода  t  i-ой  группы оборудования на j-тое изделие (а_ij); 

Р_j – прибыль от реализации единицы j изделия.

Найти оптимальный ассортимент  с целью получения максимальной прибыли

Пусть  x₁,  x₂,...,  x_n  -  кол-во продукции i-го вида.

Модель 1:     z =  ® max         (1)

                      ,    i =     (2)

                                    x_j ³ 0,      j =       (3)

В целевой функции  есть показатель прибыли, а прибыль зависит от многих факторов (материалы, з/п...), следовательно целевая функция зависит от многих факторов. Недостаток: учитываются все факторы. Поэтому рассмотрим следующую модель.

Модель 2:  z = ® max  – оптимальный ассортимент максимальной загрузки имеющегося оборудования.

Затраты станочного времени  на все изделия по всем группам  оборудования:

  ,     i =      (2);   

               x_j ³ 0,      j =      (3)

Наиболее приемлема, т.к. не учитываются иные факторы, кроме  станков. Через максимальную загрузку косвенно получим максимальный выпуск. Можем получить нулевые значения, это может не соответствовать  спросу, тогда модель можно видоизменить.

Модель3:     z = ® max  – учитываем спрос.

Ограничения   (2)   и    (3).

x_j ³ B_j  (производительность не менее В заданного количества), для некоторых , для других  :     x_j  £  B_j.

Модель 4:  Можно при расчете ПМ задаваться структурой выпускаемой продукции в виде коэффициентов  (k₁, k₂, k₃, …, k_j,…, k_n) – комплект.  k_j – удельный вес j-той продукции в общем объеме. Можно рассматривать (k₁, k₂, k₃, …, k_j,…, k_n) как комплект, где   k_j – количество изделий j в одном комплекте. Определить оптимальный ассортимент с целью получения максимального количества продукции, заданной структуры.

z -  количество комплектов.

F = z ® max.

Ограничение   (2)

х_j  ³  k_j × z – ограничение на структуру продукции.

 

 

 

 

 

 

АНАЛИЗ  ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ  ПРОГРАММЫ  С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  ОПТИМАЛЬНЫХ  МОДЕЛЕЙ

 

Постановка задачи: допустим предприятие может выпускать n видов изделий, дана программа выпуска изделий:  b₁, b₂,…, b_n  и виды ресурсов: 1, 2,…, m.

а_ij - норма расхода i-того ресурса на одно j-тое изделие.

А_i – объем  i-того ресурса.

Р_j – прибыль от реализации j изделия.

Суть задачи: проанализировать реальность (выполнимость) программы при имеющихся ресурсах и предположить возможность производства сверх нормы, но необходимо ориентироваться на спрос (т.е. а надо ли), т.е. решить вопрос о необходимости производства сверх нормы. Требуется определить оптимальный ассортимент с целью получения максимальной прибыли при обязательном выполнении программы, а для некоторых изделий повышенного спроса предусмотреть перевыполнение. При этом продукцию необходимо разделить на две группы:

1 группа – продукция,  пользующаяся повышенным спросом:   1, 2,…, k.

2 группа – продукция, пользующаяся  программным спросом:   k + 1,…, n.

Пусть х₁, х₂,…, х_n – оптимальный ассортимент, т.е. количество продукции в оптимальной программе.

Модель:    ® max

,     i =       

x_j ³ B_j,  j =

x_j £ B_j,   j =

x_j ³ 0

Если заданная программа  не выполнима, то модель не имеет решений.

 

ОПТИМАЛЬНОЕ  ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 

ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫХ  РЕСУРСОВ

 

Рассмотрим постановку задачи на примере оборудования. Имеется  оборудование одной группы, взаимозаменяемое, но в этой группе станки имеют разную производительность.  Разделим оборудование на группы (на несколько видов):

1, 2,…, m.  К одному виду – станки одной марки. По каждому виду станков задан А_i – действительный фонд времени. На этих станках должно пройти обработку 1, 2,…, n видов деталей.  а _ij -  нормы расхода времени. Задана программа выпуска деталей:   В₁, В₂,…, В_n,  где В_j - количество j-ых деталей,  j = .  с_ij - себестоимость j-той детали,  если она обработана на i-том оборудовании.

Задача: не нужно перевыполнять программу, а необходимо оптимально закрепить обработку детали за станками взаимозаменяемой группы оборудования с целью получения минимальной суммарной себестоимости.

Пусть  х_ij - количество j-тых деталей, которое необходимо обработать на i-том оборудовании;   i – вид станка;  j – вид детали, общее количество переменных  m ´ n. 

Модель 1:  z = ®  min        (1)  – минимум суммарной себестоимости

,     i =       (2)  – затраты времени на i оборудовании;

,       j =            (3)

x_ij ³ 0                                     (4)

Недостаток:  с_ij – информация должна формироваться искусственно, дополнительные затраты. Поэтому нужно рассмотреть в качестве критерия минимум затрат станочного времени вместо себестоимости.

Модель 2:   цель – получение минимальных суммарных затрат станочного времени:

z = ®  min      (1)

Ограничения    (2),  (3),  (4).        

Модель3: цель – оптимально закрепить обработку деталей на взаимозаменяемых станах с целью получения максимальной суммарной прибыли: 

z = ®   max

Ограничение    (2)

,     j =   

Модель 4: программа не задана, известна структура выпускаемой продукции в виде коэффициентов  (k₁, k₂, k₃, …, k_j,…, k_n).  k_j – удельный вес j-той продукции в общем объеме; количество j-тых деталей в одном комплекте (k₁  :  k₂  :  … k_n).

Цель – получение  максимального количества продукции, как можно больше обработать деталей, удовлетворяющих заданной структуре.

z - количество комплектов.

Целевая функция  F = z  ®  max

Ограничение  (2)

.

МОДЕЛИ  ОПТИМАЛЬНОГО  РАСКРОЯ 

ПРОМЫШЛЕННЫХ  МАТЕРИАЛОВ

 

Из стандартных единиц материала необходимо получить какие-нибудь  заготовки. Задача состоит в определении технологически возможных вариантов раскроя стандартных единиц материала для получения максимального количества комплекта заготовок.

Цель: минимум расхода  материалов.

Постановка  задачи: на раскрой поступает материал заданных размеров,  определенного качества, в количестве А шт. (ед.).  Требуется получить несколько видов заготовок, удовлетворяющих условиям комплектности:  (b₁, b₂, … b_k, ... b_r)  – комплект,  где     b_k – удельный вес k-той заготовки в общем объеме или количество  k-тых заготовок в комплекте. Заготовки можно получать различными способами: 1, 2,…, i,…, m – варианты получения заготовок из единицы материала.

Так как способ раскроя  задан, то мы знаем количество заготовок:   a_ik – количество       k-тых заготовок, полученных из единицы материала при i-ом способе раскроя.

Требуется раскроить  имеющийся материал так, чтобы получить максимум комплектов заготовок.

Пусть   x_i  - количество единиц материала, раскроенного i-ым способом.

Пусть  z - количество комплектов.

Модель 1:   F = z  ® max     (1)

Всего затраты материалов      (2)

 (3) - количество k-тых заготовок, полученных из всех листов всеми способами

k =  

x_i ³ 0 

Модель 2: пусть задан план получения заготовок:  В₁, В₂, ... В_r. Требуется так раскроить материал, чтобы получить минимальные затраты.

F = ®  min

,    k = ; 

x_i  ³ 0.

Модель 3:  на раскрой (распил) поступает несколько видов материалов, вид отличается только размером. Задано количество материала: 1, 2,…, j,…, n – виды материала, А_j – количество материала каждого вида. Из этого материала необходимо получить заготовки: 1, 2,…, k,…, r – виды заготовок, которые должны удовлетворять условию комплектности:  (b₁, b₂,…, b_k,…, b_r) – комплект;  i – способ раскроя;  i = .

Если задан вариант  раскроя единицы материала, то  известно  a_{ik j} - количество k-тых заготовок, полученных из единицы j-того  материала, при i-том способе.

Требуется: раскроить имеющийся материал с целью получения максимального количества комплектов заготовок;  х_ij – количество единиц  j-того материала, раскроенного  i-тым способом,   z - количество комплектов.

F =  z ® max 

,    j =

,       k =

x_ij  ³  0.

Модель 4:  задан план получения заготовок B₁, B₂,…, B_k,…, B_r, его необходимо выполнить с наименьшими затратами.

F = ®  min

,    j = .

,     k =

x_ij ³ 0.

В подобных задачах переменные всегда обозначают количество материала, раскроенного любым способом

 

ПРИМЕР:

Пусть на раскрой поступает  материал заданных размеров 200 ´ 120 см в количестве 50 шт. необходимо получить заготовки трех видов: А (30 ´ 40 см), В (40 ´ 40 см), С (50 ´ 50 см). Условие комплектности (1; 3; 2). Цель оптимально раскроить имеющийся материал так, чтобы получить максимальное количество заготовок, удовлетворяющих условию комплектности.

Способы раскроя		Количество заготовок  из единицы (аik)			Отходы, м2
		А	В	С
х1 х2 х3 х4 х5	1 2 3 4 5	20 - - 5 11	- 15 - 5 -	- - 8 4 4	0 0 0,4 0 0,08

 

1 способ:                                                            2 способ: 

                               200

                 

                                                           120

(4) 30                                                             (3) 40

                                                 40 (5)                                                            40 (5)

 

3 способ:                                                           4 способ:                                                                                                         

                                                                                                                       40 (5)

      20              о с т а т о к                                                    

                                                                              30

  (2) 50                                                                   40

                                 

                                                50 (4)                     50

                                                                                                                        50 (4)

 

 

5 способ:

                                                40 (5)

                                              

      30

                                                   20

      40   30                                 ост     

    

      50

                                                50 (4)

 

х_i – количество листов, раскроенных i-тым способом;

z – количество комплектов.

Модель:

F = z ®  max

    x₁ + х₂ + х₃ + х₄ £ 50,

   20 × х₁ + 5 × х₄ + 11× х₅ ³ 1 × z – количество заготовок А