Экономико - математические методы и модели

 

1-я итерация

Потребность Производство		15	5	10	10	Усл. 30
А1	25	27	23	22    10	23    10	0         5
Ö А2	25	22   15	21     5	23	25	0         5
А3	20	22	25	26	25	0       20

5 = транспортные затраты  + затраты на производство ед. продукции

Условный потребитель = 70 – 40

k₁ = 20 / 25 = 0,8                 k₂ = 0,8               k₃ = 0

2-я итерация

Потребность Производство		15	5	10	10	Усл. 25	ki
А1	25	27	23	22    10	23    10	0      5	0,8
Ö А2	20	23	22	24	26	0      5	0,25
А3	20	22	25	26	25	0     20	0,75

Выбираем вариант 2:   Мощность 20  +  Трудовые затраты  А₂

…...

4-я  итерация

Потребность Производство		15	5	10	10	Усл. 15	ki
А1	25	27	23	22     5	23    10	0      10	1
А2	15	26	25	27	29	0      15	0
А3	15	23    15	26	27	26	0	1

Вывод:

В пункте А₁ нужно построить предприятие мощностью 25 тыс. т.

В пункте А₂ не строим, не один проект, не выгоден (дорог или далеко).

В пункте А₃ – строим мощностью 15 тыс. т.

Связи: сколько кому поставить.

 

 

 

 

 

 

 

ОДНОФАКТОРНЫЕ  МОДЕЛИ 

ЭКОНОМИЧЕСКОГО  РАЗВИТИЯ

 

1. Понятие однофакторной  модели;

2. Нахождение параметров  однофакторной модели;

3. Коэффициент парной  корреляции;

4. Оценка характеристик  корреляционных связей.

1.  Понятие однофакторной модели.

Однофакторные модели экономического развития выражают зависимость динамики объема производства от динамики одного производственного фактора.

y_t = f (x_t)

Производственные  факторы: численность работающих, стоимость основных производственных фондов, совокупность затрат. Эта зависимость является корреляционной. Функциональная зависимость – законы физики, химии, они проявляются всегда в любых условиях и ситуациях. Корреляционная зависимость проявляется лишь в массе наблюдений и в среднем.

Корреляция – перевод  с лат. «соответствие».

На выпуск продукции  влияют факторы объективные (оборудование, тех. оснащение, технологии), субъективные (они связаны с целенаправленной деятельностью человека – административное управление), случайные.

Корреляционная связь  учитывает все эти факторы. В  корреляционном анализе учитывают  задачи: 

1. определить вид и  форму корреляционной связи в  виде уравнения регрессии  y_t = f (x_t);  

2. ценить силу, тесноту  этой связи, в качестве мерителя  этого является коэффициент корреляции.

x_t – производственный фактор.

 

2. Нахождение параметров однофакторной модели.

По статистическим данным можно строить корреляционную зависимость, но статистика должна быть однородной и представительской.

Однородная  статистика – на один вид продукции берем предприятия, т.е. относительно одного фактора (параметра).

Статистика может быть задана в пространстве и времени: одно предприятие, но в разные годы.

Бывает смешанная статистика – время и фактор.

Представительская статистика – ее должно быть достаточно, чтобы  сделать вывод и доверять полученным закономерностям.

n = 30 наблюдений ® выводы будут математически выверены.

Чем меньше статистики, тем  хуже результат.

Метод построения регрессии: метод наименьших квадратов, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов с различными условиями.

Метод наименьших квадратов:

По статистическим данным строится уравнение регрессии таким  образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от вычисленных по уравнению была минимальной.

 

ПРИМЕР:

Рассмотрим зависимость  средней выработки на одного работающего  от стоимости основных фондов. Информация для 10 предприятий, выпускающих одну продукцию.

 

Стоимость осн. фондов, млн. руб.  (х)	Средняя выработка, тыс. руб.  (у)	х2	х × у	расс-читанное	(у - )2	(у – )2
1	14	1	14	13,6	30,25	0,16
2	16	4	32	14,9	12,25	1,21
3	15	9	45	16,2	…	1,44
4	17	16	68	…	…	…
5	18	25	90	…	…	…
6	21	36	126	…	…	…
7	23	49	161	…	…	…
8	22	64	176	…	…	…
9	24	81	216	…	…	…
10	25	100	250	…	…	…
S 55	195	385	1178	194,5	142,5	7,65

y = 12,3 + 1,3 × x

= 12,3 + 1,3 × 1 (= x₁)

y = a₀ + a₁ × x

x – стоимость основных фондов; 

у – выработка на одного рабочего; 

– среднее = 194,5 / 10 = 19,5.

      у

                                                                      у = a₀ + a₁ × x

     25

     20

     15                  a₁

     10                 

      5        a₀

      0

                                                                           х

 

F (a₀; a₁) – все отклонения зависят от функции от 2-х параметров.

F (a₀; a₁) = ® min

  

  

10 × a₀ + S x_i × a₁ = S y_i

S x_i × a₀ + S x_i² × a₁ = S x_i × y_i

 

ПРИМЕР: 

    10 × a₀ + 55 × a₁ = 195,

    55 × a₀ + 385 × a₁ = 1178.

a₀ = 12,3;   a₁ = 1,3

y = 12,3 + 1,3 × x – уравнение регрессии (отклонение min).

Вывести формулу от зависимости:   y = a₀ + a₁ × x + а₂ × х²

F = S (y_i – a₀ – a₁ × x_i - а₂ × х_i²) ²

  ,    .

 

3.  Коэффициент парной корреляции;

= 19,5 (195 / 10) – средняя величина  – основная величина.

Оценка средней:          - среднеквадратическое отклонение.

Оценка уравнения: 

 – коэффициент корреляции,  0£ | r | £ 1

если  r = 0 Þ связей нет и уравнение регрессии ничего нового нам не даст.

если  r = 1 Þ , где получается  - оценка по уравнению намного меньше, чем оценка по средней.

 » 0 – связь, описанная уравнением сильная, уравнение хорошо описывает статистику.

y = f (x) – корреляционная зависимость.

Задачи: 

1) построить уравнение  регрессии;  

2) оценить тесноту  связи с помощью коэффициента  корреляции r.

Если  r » 1, то связь сильная.

y = 12,3 + 1,3 × x – уравнение регрессии

r = 0,96

Задача решена. Уравнение  можно использовать для анализа  и прогнозирования.

При   х = 13,   = 12,3 + 1,3 × 13 = 29,2 – прогноз, но важно знать не цифру, а интервал. 

 

4. Оценка характеристик корреляционных связей.

Берем группу однородных предприятий (10) – выборка

y = f₁ (x) – одна выборка;  

y = f₂ (x) – другая;  

y = f  (x) – генеральная совокупность.

Оценка значений, вычисленных  по уравнению регрессии:

При расчете уравнения  регрессии мы совершаем ошибку: 

Средняя ошибка будет  различной для различных выборок. В зависимости от объема выборки  она является случайной величиной, которая подчиняется закону Стьюдента:  у = ± t_a ×

t_a - зависит от величины выборки и от вероятности   (n и a), берем в таблице.

a = 0,05 соответствует Р = 0,95 – самое приемлемое значение для экономического исследования.

Если  n = 10, то   t_a = 2,26; 

          n = 12, то   t_a = 2,2; 

          n = 30, то   t_a = 2.

Для  х = 13,   = 29,2

                       у = 29,2 ± 2,26 × 0,87 = 29,2 ± 1,97

Оценка коэффициента корреляции:

r - коэффициент корреляции генеральной совокупности;

 – ошибка при вычислении  коэффициента корреляции   r.

s = (1- 0,94) / 3 = 0,02

r = r ± t_a × s  - оценка коэффициента корреляции, так же подчиняется закону Стьюдента.

Значимость  коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции r – это сила связи между двумя показателями, описанными уравнениями регрессии.

Если  r = 0, то связи нет. Мы делаем ошибку, связанную с выборкой.

  – величина ошибки.

Если связь есть,   r – существует, значит он значимый.

Если   r Î [± t_a × s*],   то связь отсутствует, коэффициент не значим.

Если  r Î [± 2,26 × 0,333] = [± 0,75]

r = 0,96 – коэффициент значимый.

 

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ  И  ПРОГНОЗИРОВАНИЕ  ЭКОНОМИЧЕСКИХ  ПОКАЗАТЕЛЕЙ 

(Лабораторная  работа № 4)

 

1. Динамические ряды  и задачи их анализа;

2. Проверка существования  тенденции развития;

3. Сезонные колебания  динамических рядов;

4. Трендовые модели  экономического развития. Типы экономического  роса;

5. Построение трендовых  моделей;

6. Прогнозирование на основе трендовых моделей;

7. Оценка точности  и надежности прогноза.

 

1. Динамические ряды и задачи их анализа;