Математикалық модельдеу

Қарастырылатын қадамдағы  талдау нәтижесі- бұл кейін толық  сандық талдауға жататын жұмысты  математикалық модельдің техникалық объектіні таңдауға негізделген. Үшінші қадамды сәтті жүргізу, нақты заттық облыстағы инженерлік білім мен математиканы пайдалана білу әрекеттерінің бірлесуі болып табылатын есептеу сұлбасында бейнесін тапқан техникалық объект қасиеттері мен математикалық модель құрастырушыларының жеке байланысын терең ұғуға тәуелді болады.

Төртінші қадам есептеуіш  тәжірибенің тиімді алгоритмін құруда математикалық модель сандық талдау әдісінің негізгі таңдамасынан тұрады, ал бесінші қадам- есептеуіш техника құралдарының (жұмысқа жарамды) көмегімен осы алгоритмді жүзеге асыратын, жұмысқа қабілеті бар бағдарламаны құруға негізделген. Төртінші қадамды сәтті жүргізу үшін қазіргі заманғы есептеуіш математика әдістерін білу керек, ал күрделі техникалық объектіні математикалық модельдеу үшін бесінші қадамды орындау ЭЕМ-де бағдарламалау облысында кәсіби дайындықты талап етеді.

Алтыншы қадамда алынатын (бағдарлама жұмысының қорытындысы) есептеулер нәтижесі ең алдымен, қарастырылатын техникалық объектінің математикалық моделінің қысқартылған нұсқасының сандық талдауының мәліметтерімен салыстыру жолымен тестілеуден өтуі керек. Тестілеу бағдарламадағы, сондай-ақ алгоритмдегі кемшіліктерді шығарады және бағдарламаны толықтыруды немесе бағдарлама мен алгоритмді модификациялауды талап етуі мүмкін. Есептеулер нәтижесін талдау және оларды инженерлік талдау есептеу сұлбасын және сәйкес математикалық моделді түзетуді талап етуі мүмкін. Барлық қателерді түзеткеннен кейін «модель- алгоритм- бағдарлама» үштігін есептеуіш тәжірибені және техникалық объектіні жүзеге асыруға бағытталған тәжірибелік ұсыныстардың көптеген ақпараттарын алуға негізделген өнімділік үшін жұмыс құралы ретінде қолдануға болады, бұл математикалық модель қадамының «технологиялық цикл» деп аталатын, соңғы, жетінші қадамның мазмұнын құрайды.

Ұсынылған қадамдар тізімі ортақ және әмбебап сипатқа ие, бірақ, кейбір нақты жағдайларда ол өзгеруі мүмкін. Егер техникалық объектіні өңдеу кезінде типтік есептеу сұлбасы мен математикалық модельді қолдануға болса, онда қадамдар қатарын орындауда қажеттілігі жоққа шығарылады, ал сәйкес  бағдарламалық кешен кезінде есептеуіш тәжірибе процесі автоматтандырылған болады. Бірақ, түп нұсқаға ие болмайтын техникалық объектінің математикалық моделі сипатталған «технологиялық цикл» қадамдарының барлығын қолданумен байланысты.

1.3. Инженерлік  пәндердегі математикалық модельдер.

Жоғарыда аталған математикалық модельдердің қадамдарын жүзеге асыру үшін белгілі бір білімнің, дағдының және практикалық дайындықтың болуы керек. Егерде, бірінші, жетінші және алтыншы қадамдар инженерлік білімді талап етсе, ал екінші, үшінші және төртінші қадамдар математикалық дайындықтың мықты болуын талап етеді. Бесінші қадам- ЭЕМ-бағдарламаларын өңдеуді және жүзеге асыру дағдыларын талап етеді. Сондықтан күрделі техникалық объектілерді математикалық моделдеу үшін математикатерді, инженерлерді, бағдарламалаушыларды жұмылдыруға тура келеді. Бірақ олардың күштерін үйлестіру үшін қарастырған қадамдарды жоғары деңгейде жүзеге асыратын мамандар қажет.

Мұндай мамандарды дайындау негізгі проблемалардың бірі болып табылады, және сондықтан аталған проблеманы шешу кезіндегі тиімді шешімнен техникалық құрылғыларды,  олардың жүйелерін құруға арналған математикалық модельдерді қолдану мүмкіндігінің эффектілігі тәуелді болады.

Жоғарыда айтылған проблеманы шешудің табыстылығы жоғары математика, физика, теориялық механика, химия, информатика және инженерлік пәндер курстары арасында пәнаралық байланысты нығайтуға тәуелді. Сондай-ақ, жаратылыстану және ғылыми пәндерде қарастырылатын және техниканың нақты облыстарындағы техникалық объектіні функционалдаудың негізі болатын құбылыстар мен процестердің математикалық моделдері байланыстырушы түйіні болады.

Бұл байланыс болашақ инженердің арнайы дайындығының және жаратылыстану, ғылыми-математикалық циклдардың сабақтастығын және методикалық тұтастығын қамтамасыз етеді.

Қолданбалы механика (материалдар кедергісі), гидравлика, жылу массасын алмасу теориясы, электротехника, электроника және тағы басқалары сияқты инженерлік пәндерді белгілі бір позицияларда есептеу сұлбаларының және техникалық объектілердің математикалық модельдерінің реттелген жиыны ретінде қарастыруға болады[1]. Инженерлік пәндерде, ең алдымен, техниканың берілген салаларында жиі кездесетін типтік элемент деп аталатын есептеу сұлбаларын және математикалық модельдерді қарастырады. Мысалы, электроникада типтік элементтер рөлін пассивті электрлі екі полюстер: резисторлар, конденсаторлар және индукциялық катушкалар атқарады(3,1. қара). Бірақ, оның жұмыстарының шартына тәуелді қарапайым элементтерге бірнеше есетеу сұлбасы сәйкес келеді және математикалық модельдер иерархиясы туралы сөз айтуға болады.

Электротехника және электроникада типтік элементтердің математикалық моделі мен есептеу сұлбасының банкі ұйымдастырылған, немесе осы элементтер арасындағы байланысты көрсететін графикалық көрнекілігінің бейнеленген жүйесінің арасындағы үйлесімділік күрделі құрылғылардың математикалық модельдерін құруға көмектеседі. Осыған ұқсас жағдайлар инженерлік пәндерде де кездеседі, олардың зерттеу салаларына механикалық, жылулық, пневмогидравликалық жүйелер және физикалық табиғаттың әртүрлі процесстері-бір уақытта болатын жүйелер жатады. Материалдар кедергісінде есептеу сұлбасының банкі типтік элементтердегі механикалық кедергілердің немесе алмасулардың таралуы туралы қабылданған тұжырымдамалардың (гипотеза) негізіндегі осы элементтердің формаларын ескеру арқылы құрылады. Және де әрбір есептеу сұлбасына(стержень, пластина, қабық) қолдану облысы қабылданған тұжырымдамалармен шектелген математикалық модельдер сәйкес келеді. Типтік элементтердің есептеу сұлбасын формалау кезінде тұжырымдамалардың анықтауыш рөлін атап өту керек. Сондай-ақ, жасанды және әдетте тексерілуі қиын тұжырымдамамен салыстырғанда қарапайымдарын қолданған орынды. Егер қарапайым тұжырымдама дұрыс болса, онда оны әдетте дәлелдеу және тәжірибе жүзінде дәледеу жеңіл және керісінше, егер ол күдік тудырса, онда оны мысалдар немесе тікелей бақылаулар негізінде немесе сәйкес қойылған тәжірибелер негізінде, немесе осы гипотезаларды қолданып құрылған математикалық модельдердің сандық талдау сатысында қарама- қайшы нәтижелерді алу кезінде дұрыс еместігін дәледеуге болады. Бірақ, қарапайым гипотезаларды қабылдау әрқашанда қарастырылатын техникалық объектінің қарапайым есептеу сұлбасы мен математикалық моделін құруда тиімді бола бермейді.

Инженерлік пәндерде математикалық модельдерді құру ерекшеліктеріне тоқталып өтейік.

Әдетте математик-теоритик өзінің зерттеулері үшін бұрын құрылған математикалық модельді қабылдайды, яғни өз жұмысын математикалық тапсырманы тұжырымдаудан бастайды және осыдан кейін осы тұжырымдамаға күдік тудырмайды, тек өзінің түрлендірулері мен есепті шешу қадамдарын дәлелдейді. Ал кейбір жағдайларда алынған нәтижелерді нақты технихалық объектіге қолдануға болады. Бірақ техникада жеңіл тапсырмалардың өзін осылай қоюға болмайды. Техникалық тапсырманың кез-келген тұжырымдамасы шартты болып келеді. Егер осындай тапсырманы тұжырымдаудың кейбір салдары дұрыс болмаса, немесе қолайсыз болса, онда тапсырманы қайта тұжырымдау керек болады, себебі математикалық модельді құру кезінде жазылған математикалық символдардың кез келген тізбегі зерттелетін нақты техникалық объектімен байланысты маңызды сипаттағы пайымдаудың жүйесі болып табылады. Сондықтан техникалық объектіні математикалық модельдеу кезінде тапсырманың маңызды және математикалық жақтарын байланыстыра отырып ескеру керек.

Нақты техникалық объектіге математикалық модельдің салыстырмалы сәйкестігін естен шығару қателіктерге әкелуі мүмкін.

Бұл жағдайда математик, механик және кеме тұрғызушысы А.Н. Крыловтың  (1863-1945) төмендегі сөздері  орынды болады: «Математикалық есептеулер қанашалықты тура болғанымен, ол өзі негізделген алғышарттағы жуықтаулардан нақты болмайды.

Ол туралы көбінесе ұмытып, басында өрескел жуықтаулар немесе жорамалдар жасайды, көбінесе оларды ескермей, оған үлкен сенім артады.»

Айтылған ерекшеліктер қарастырылатын техникалық объектінің есептеу сұлбасын қалыптау қадамдарын математикалық модельді құру қадамдарымен қиыстыра алу мүмкіндігінің маңыздылығын тағы да атап өтуге себеп болады(1- суреттегі І және ІІ қадамдар). Бұл шеберлік студенттерде әдетте пәнаралық курстық жұмыстар мен проектілерді орындау кезінде қалыптасады. Мұндай дағдыларды қалыптастыру үшін арнайы оқу құралдары керек, оларда, яғни инженерлік пәндерде оқытылатын техникалық объект мысалдарында, қарастырылатын қадамдардың өзара байланысы толдық және дәлелді түрде ашылу керек. Мұндай оқу құралының мысалы ретінде бес рет қайта басылып шыққан В.И. Феодосьевтің «Избранные задачи и вопросы по сопративлению материалов» атты кітабын атап өтуге болады, оның мазмұны мен әдістемелік мағынасы техникалық объектінің математикалық модельдеуінің ерекшеліктерін терең түсінуге көмектеседі.

Бұл үштікте негізгі  назар есептеуіш техника құрылғыларының көмегімен есептеуіш математика әдістерімен құрылған математикалық  моделді талдау проблемасына аударылған(яғни, 1- суреттегі IV және V қадамдар). Математикалық моделді құруға немесе бағдарламалар пакетін немесе алгоритмдерді өңдеумен байланысты қадамдарды бөлектеу осы қадамдарды жеке-жеке орындауға үйрету сияқты матемтикалық модельдеудің артықшылығын тиімді қолдануға жеткіліксіз. Қазіргі кездегі ЭЕМ-нің мүмкіндіктерінің жетістігі бұл проблеманы шешпейді. Есептеуіш техникада «интеллектуалды ядросы» болуы керек, ол, бағалау бойынша, өңделген ақпараттық технологияның жалпы бағасының 80% құрайтын математикалық қамсыздандыру болып табылады.

Қазіргі ЭЕМ-нің қолданушыларға ұсынатын бағдарламалық қамсызданыруларының қолайлылығы математикалық модельдердің сандық талдау кезінде MathCad, Mathlab және тағы басқалары сияқты әмбебеап пакеттерге сүйену талаптарына әкеледі. Сондай- ақ математикалық модельдердің әмбебаптығы және типтік математикалық модель банкін қалыптау Nastran немесе ANSYS типті бағдарламалық кешенін құруға мүмкіндік береді, оларға бастапқы ақпарат тек математикалық модель түрінде ғана емес, қарастырылатын техникалық объект түрінде де енгізіледі[11].

Бірақ, көптеген стандартты есептерді шешуге жарайтын әдістер, көбінесе, нақты бір есептерді, әсіресе стандартты емес есептерді шешуге ең жақсысы болып табылмайды, кейбір жағдайда тіпті қолданылмауы да мүмкін. Бірақ, инженерлік практикада негізінен стандартты емес есептерді шешуге тура келеді, себебі стандартты есептердің барлығы шешілген немесе еш қиындықсыз шешілуі мүмкін. Өзіне ұқсасы жоқ жаңа және күрделі есептерді шешу кезінде әмбебап пакеттер мен программалық кешендерге ресми түрде қатынасу қарастырылатын техникалық объекті түсіндіруге келмейтін нәтижелерді алып келуі мүмкін. Мұндай жағдайларда, есептеулер мақсаты- сан емес, түсіндіру екендігін естен шығармай ЭЕМ-ң қолданысын, аналитикалық әдістерді және сандық бағалаулар әдісін тауып, бір-бірімен байланыстырып, математикалық модельді талдауды құру керек. Мұның барлығы ЭЕМ бізді көптеген қиындықтар мен міндеттерден босататындығы туралы айтады. Бірақ, ол бізді екі нәрседен босатпайды, олар- математиканы үйрену және шығармашылық ойлау мүмкіндіктері.

2- тарау. Математикалық модельдеу.

Математикалық модельдеудің негізгі қадамдарының (1- сурет) тізбегінде бастапқы рөлді қарастырылатын техникалық объектінің математикалық моделі атқарады. Сондықтан ең алдымен басты назарды математикалық модельдің негізгі қасиеттеріне және оларға деген талаптарға, сондай- ақ математикалық модель классификацияларына аудару керек.

2.1. Математикалық  модель түсінігі, құрылымы, қасиеттері.

Қоршаған ортамен араласып, қарым-қатынас жасаудың нәтижесінде  адам  өз танымына  қарай  модель  құрайды.

Танымдық процесс зерттелінетін (танылатын) объектіге және зерттеуші (танушы) субъектіге байланысты. Зерттелетін  объектіде больп жатқан оқиғаны  бақылап, керек болса оқиғаға  кірісіп, қойған сұрақтарына жауап  алумен қатар, объектіге қатысты  информацияларды жинақтап, қорытып, субъект пен объектіге тән құбылысты түсініп, өзінің көзқарасын белгілі бір формада бекітеді. Осы затқа тән нақтылы ақпараттарға негізделген зерттеушінің субъективтік танымы - объектінің моделі болып есептелінеді[14].

Сөйтіп, танымдық процесстің негізгі қызметі-ақпаратты жинау, сақтау және қорыту болса, осылар модельдеудің негізі сипаттамасын береді деуге болады.

Қоршаған дүниені ұғудың танымдық типтері, әрі нақты процессті  сипаттаудың жолы әртүрлі. Бұған  жататындар ғылым, философия, дін, мәдениет, әдебиет т.б. Ал бұларға тән ортақ байланыс бар ма? Мысалы, ғалым - атомның құрылысын, қоғамның өмір сүру заңдарын т.б.; философ -өмір туралы және адамның өмірдегі орны; дін - адамның мәңгілік жасау мүмкіндігін, құдайдың қағидалық ұғымдары туралы; жазушы детективтік роман немесе трагедиялық әңгіме жазады; суретші теңіз жағасындағы күннің бату кезіндегі құбылысты беретін немесе басқа суреттер салса, ал композитор бір оқиғаға арнап симфония жазуы мүмкін ...

Осы зерттеушілердің  қайсысы болмасын өзін қоршаған ортаны түсінуі үшін, әртүрлі құралдың көмегімен өзінің танымын жинақтайды. Сөйтіп, зерттеушілер процессті еріксіз модельдеу арқылы өзінің көзқарасын береді.

Бізді қоршаған дүниедегі  объектілердің ғылыми танымдылығын жеткізу үшін әртүрлі математикалық тәсілдердің қолданылатынын пайымдайық. Ол үшін аздап математиканың маңызына және оның басқа ғылымдармен байланысына, әрі кейбір ерекшеліктеріне тоқталайық.

Физика мен химияның, биология мен психологияның, социология мен археологияның қолданылуы толық айқындалып, әрі қарай дамуда. Лазерлік шашырау және ацетиленді синтездеу, клеткалардың кұрылысы және жеке меншіктің өмір сүру принциптері, жер қабатының эрозиясы және Рим империясының құлдырауы нақтылы объекгілерге байланысты жүрді. Бұларды ұғу, зерттеу адамзат үшін міндетті болды. Себебі бұның бәрі бізді қоршаған өмірде болған оқиғалар. Ал математика болса тек қана абстрактылы ұғымдардан, яғни сандардан, функциялардан, жиындардан, қисындардан тұрады. Бұның бәрі, негізінде, табиғатта жоқ, адам миының ойлау қабілетінің нәтижесі. Сөйтіп, математика операциялық жұмысты идеалдық дүниемен адам идеясы бойынша атқарады.

Өмірде кездесетін ғылымдардың  көбі бір-бірімен байланысты болғанмен, қолдану шекарасы айқындалған. Физикамен айналысатын таза физик жекеменшік формаларының өзара қатынасын түсіндіре алмайды. Тарихшыға химиялық реакцияны зерттеу қиын. Дәрігер ядролық ұсақ бөлшектердің өзара әсерлесу зандылығын медицина ғылымында қолданып, түсіндіре алмайды. Ал, өзінің қадірін білетін математиктің алдында ешқандай кедергі тұрмайды. Әртүрлі ғылыми пәндердің жасанды шекарасы математика моделін қолдануға бөгет болмайды. Таза математик бола тұрып, адамзаттың әртүрлі формадағы қызметіне батыл кірісіп, айтарлықтай жетістіктерге жетеді. Осыдан математика өзіне тән қасиеттер арқылы, барлық саланы қамтуға тырысатындығы және нақты не бере алады деген ой туады. Физика, социология немесе географияға қолданған 'ғылым'- деген термин Математикада өзін ақтай ала ма? Әлде дүниетанудың логикалык басқа формасы болуы мүмкін бе? Нақты қойылған кәделі есептерді шығарудағы абстрактілі математикалық әдістердің табысын қалай түсіндіреміз деген табиғи сұрақ туады. Қоршаған ортада кездеспейтін сандар,  функциялар, теңдеулер,  операторлар планеталардың қозғалысын, химиялық элементтердің өзара әсерлесуін, генетикалық информацияның берілуін, еркін нарықта бағаның алмасу механизмін т.б. процесстердің сырын түсіндіріп, анықтайды. Қалайша болды деп тығырыққа тірелген НӘРСЕ математикалық танымның арқасында санамызға жетіп, нақты НӘРСЕГЕ айналады.