Математикалық модельдеу

Вектордың скаляр бағалауы ретінде 

e=(e₁ e₂ …e_i... e_n)^TÎRⁿ

оның қандай да бір  нормасын қабылдауға болады, мысалы:

 немесе 

Техникалық объектінің шығыс параметрлері математикалық модель көмегімен  сыртқы және ішкі параметрлермен байланысқандықтан  техникалық объектінің моделінің нақтылығының сандық сипаттамасы e х және g векторларының координаттарына тәуелді болады[3].

Математикалық модельдің  адекваттылығы(тепе- теңдігі)- бұл математикалық модельдердің берілген d мәнінен аспайтын қателікпен техникалық объектінің сипаттамасын бейнелеу мүмкіндігі.

Соңғы шектік есептерді шешу арқылы e минумум шартынан х_ном векторын құрайтын техникалық объектің сыртқы параметрлерінің күтілетін номиналды мәндерінде g_ном векторын құрайтын және математикалық модельдің қателігіне сәйкес минималды e_minмәніне ие ішкі параметрлері табылсын. Онда g_ном белгіленген векторында келесі жиынды құруға болады:

Бұл берілген математикалық  модельдердің адекваттылығының облысы деп аталады. d<e_min болғанда Х=Æ екені белгілі, ал берілген d>e_min мәні үлкен болған сайын математикалық модельдің адекваттылық облысы кеңейе түседі, яғни бұл математикалық модель техникалық объектінің сыртқы параметрлерінің мүмкін өзгеруінің кең диапозонында қолданылуы мүмкін.

Математикалық модельдің  адекваттылығы ортақ түсінік ретінде берілген нақты жағдайда маңызды техникалық объектінің сипаттамаларының дұрыс сапалы және жетерліктей сандық бейнелеулерін түсінеді. Белгілі бір сипаттаманы таңдаудағы адекватты модель сол техникалық объектінің басқада сипаттамаларын таңдауда адекватты болмауы мүмкін. Сандық математикалық әдістерді қолдануға әлі дайын емес қолданбалы облыстар қатарында математикалық модель сапалық сипаттамада болады. Бұл әдеттегі жағдай, мысалы, сандық заңдылықтары қатаң математикалық қалыптауға бағынбайтын биологиялық және әлеуметтік орталар үшін. Мұндай кезде математикалық модельдің адекваттылығы ретінде қарастырылатын объектілердің немесе олардың жүйелерінің бағыттарының дұрыс сапалық сипаттауларын түсінген дұрыс.

Математикалық модельдің  үнемділігі- ЭЕМ-де математикалық модельдің орындау үшін қажет есептуіш ресурстарының (машиналық уақыт және жады) шығынымен бағаланады[2]. Бұл шығындар модельді қолдану кезіндегі арифметикалық операциялар санынан, фазалық айнымалылар кеңістігінің өлшемділігінен және басқа факторларға тәуелді.

Математикалық модельдеудің үнемділігін жоғары дәлдігін талап  ету бір біріне қайшы, сондықтан  практика жүзінде тек дұрыс ымыраға  келу арқылы қанағаттанадырылуы мүмкін.

Математикалық модельдің  үнемділік қасиетін оның қарапайымдылығымен байланыстырады. Кейбір математикалық модельдердің ықшамдалған нұсқаларының сандық талдауы қазіргі кездегі есептеуіш техниканы кірістірмей- ақ жүзеге асыруға болады. Бірақ оның нәтижелері алгоритм немесе ЭЕМ- бағдарламаларын жөндеу кезінде шектеулі құндылыққа ие болуы мүмкін(1- сурет) және математикалық модельді ықшамдау техникалық объектінің есептік сұлбасымен келісілген болса.

Математикалық модельдің  робастылығы (ағылшынның robust сөзі- мықты, тұрақты деген мағынаны білдіреді)бастапқы мәліметтер қателеріне тұрақтылығын, осы қателерді жою мүмкіндігін және есептеуіш тәжірибе нәтижелеріне қатты әсерін тигізбеуді бағдарламалау мүмкіндіктерін сипаттайды. Математикалық модельдің төмен робастылығының себебі оны сандық талдауда кезеңді шамалардың бір-біріне жақын жуық мәндерін алу немесе модулі жағынан аз шамаға бөлу, сондай- ақ математикалық модельдерде аргумент мәндері аз дәлдікпен белгілі аралықта тез өзгеретін функцияларды қолдану қажеттіліктері болып табылуы мүмкін. Кейде математикалық модель толықтылығын ұлғайтуға ұмтылу аз дәлдікпен белгілі және өте жуықталған қатынастарға енетін қосымша параметрлерді енгізу де оның робастылығының төмендеуіне әкеледі.

Математикалық модельдің  өнімділігі бастапқы мәліметтердің айтарлықтай анық болу мүмкіндігімен байланысты. Егерде олар өлшеу нәтижелері болып табылса, онда олардың өлшеу дәлдігі математикалық модель қолдану арқылы алынған параметрлерге қарағанда жоғары болуы керек. Кері жағдайда математикалық модель өнімді болмайды және нақты бір техникалық объект талдауға  қолдануда өз мәнін жоғалтады. Оны тек гипотикалық бастапқы мәліметтері бар техникалық объектінің кейбір класстарының сипаттамаларын  бағалау үшін қолдануға болады.

Математикалық модельдің  көрнектілігі қажетті, бірақ міндетті емес қасиеті болып табылады. Сонда да математикалық модель қолдану және оның модификациясы жеңілдетіледі, егер оның құрамы( мысалы теңдеудің жеке мүшелері) анық мазмұнды мәнге ие болса. Бұл әдепте есептеуіш тәжірибенің нәтижелерін шамалап болжауға мүмкіндік береді және оның дұрыстығын бақылауда жеңілдетеді.

2.2. Математикалық  модель түрлері.

Модельдің түрлері көп. Модельдеуді жалпы үлкен екі  топқа бөледі: материалдық(заттық) және идеалдық[4]. Материалдық дегеніміз- зерттелінетін объектің геометриялық, физикалық, динамикалық және функционалдық сипаттамасына негізделеді. Сондықтан материалдық таным физикалық және аналогтық болып бөлінеді.

Физикалық модельдеуге - ұқсастық теория негізіңде нақты объектінің кішірейтілген немесе үлкейтілген көшірмесін қолданып, лабораториялық жағдайда процессті қайталап, тәжірибе жасап ұғу жатады.  Мысалы,  гидротехникада - өзенді, немесе су қоймаларын модельдеу, ал аэродинамикада - ұшатын аппараттардың кішірейтілген модельдері арқылы зерттеу, архитектурада - үйдің макетін қолдану т.б.

Аналогтік модельдеуге - зерттелінетін объектілердің физикалық  табиғаты әртүрлі құбылыстарда жүретін  процесстердің арасындағы байланысты білдіретін ұқсастық теорияны қолданып, зерттеу жатады. Мұндай процестер бірдей математикалық теңдеумен, немесе логикалық сызбалармен беріледі. Қарапайым мысал ретінде механикалық тербелістерді электрлік сүлбе бойынша зерттеуге болады. Мұндағы процесстер аналогиялық құбылыстарға жатады, сондықтан екеуі бірдей теңдеумен сипатталады.

Бұл екі типтес модельдер берілген объектілердің  заттық баламасына негізделген, өзара геометриялық, физикалық және басқа сипаттамаларымен байланыста қарастырылады. Сондықтан материалдық модельдеу өзінің табиғаты жағынан эксперименттік тәсілге жатады.

Заттық модельдеуден идеалдық модельдеу принципі мүлде басқа. Заттық зерттеу обьекті мен модельдің материалдық аналогиясына негізделсе, идеалдық зерттеу танымдық процесстің негізінде құрылған ойдың, идеялық аналогияның жемісі боп табылады.

Сөйтіп, идеялдық модельдеу теориялық сипаттамадан тұрады да, интуитивтік және таңбалық болып екіге бөлінеді. Интуитивтік модельдеу дегеніміз- зерттелетін объекті мен зерттеушінің сезім мүшелеріне әсер етуіне байланысты топшыланған ақпараттардың жиынтығы. Мысалы, адамның өмірде жинаған тәжірибесі қоршаған дүниенің интуитивтік моделі болады т.б. Таңбалық модель -зерттелінетін объектіге қатысты информацияны белгілі бір тәртіпке сүйеніп, таңбаларға түрлендіріп мысалы, сүлбеге, графикке, сызбаға, формулаға, т.б. таңбаларға жинақтау. Таңбалық модель құрылымын түзейтін элементтер заңдылыққа, алгоритмге бағынып, өзіне тән ережелер жүйесінде жұмыс істейді. Математикалық модель - таңбалық-танымның негізіне жатады. Классикалық мысал ретінде механиканың заңдарын И. Ньютонның математикалық формулаларын қолданып зерттеуге болады.

Математикалық модельдің  әртүрлі  ерекшеліктері мен белгілері  оны типтеу (немесе классификациялау) негізінде жатыр. Мұндай белгілер арасынан техникалық объектінің көрнекі қасиеттерінің сипатын, олардың бөлшектеу дәрежесін, математикалық модельді алу және ұсыну тәсілдерін бөліп айтады[2].

Классификациялаудың маңызды белгілерінің бірі математиаклық модельде техникалық объектінің кейбір ерекшеліктерін бейнелеумен  байланысты. Егер математикалық модель техникалық объект құрылғысын және оның құрамындағы элементтер байланысын бейнелесе, онда оны құрылымдық математикалық модель деп атайды. Егер де математикалық модель техникалық объект болатын физикалық, механикалық, химиялық немесе ақпараттық процесстерді қамтып көрсетсе, онда оны функционалдық математикалық модельге жатқызады. Сондай-ақ, функционалдауды және сонымен қатар техникалық объект құрылғысын сипаттайтын қиыстырылған математикалық модель де болады. Мұндай математикалық модельді құрылымды-функционалды модельдер деп атайды.

Құрылымдық математикалық модельді топологиялық және геометриялық деп  екіге бөледі[2].Біріншісі техникалық объект құрамын және оның элементтерінің арасындағы байланысты бейнелейді. Топологиялық математикалық модельді элементтердің көп санынан тұратын құрылымы жағынан күрделі техникалық объектіні зерттеудің бастапқы сатысында, олардың өзара әрекеттестігін анықтау және бекіту үшін қолданған дұрыс. Мұндай математикалық модель граф, кесте, матрица, тізім және тағы басқада түрде болады және оны құруға техникалық объектінің құрылымдық сұлбасын өңдеу себеп болады.

Геометриялық математикалық модель топологиялық математикалық модельде келтірілген ақпараттқа қосымша, техникалық объект және оның элементтерінің өлшемі және формасы туралы мәліметтерден тұрады. Әдетте геометриялық математикалық модель техникалық объект денесіне және оның элементтеріне кеңістіктегі облыстар жата ма, жоқ па соны анықтайтын алгебралық қатынастар және жазықтық пен сызық теңдеулерінің жиыны енеді. Мұндай математикалық модельді кейде инторпаляциялау арқылы облысты шектейтін сызық немесе жазықтықты құруға болатын кейбір нүктелер жиынының координаттары арқылы да ұсынады. Облыс шекарасы кинематикалық әдіспен де береді: сызық- нүкте қозғалысының траекториясы ретінде, ал жазықтық- сызық қозғалысының траекториясы ретінде. Облыс өлшемі мен формасын типтік фрагменттердің ретінде ұсыну қарапайым конфигурация. Мұндай әдіс, мысалы, математикалық модельде кеңінен қолданылатын соңғы элементтер әдісі үшін тән нәрсе.

Геометриялық математикалық модель техникалық объектіні жобалауда, техникалық құжаттарды және бөлшектерді дайындаудың техникалық прогресстерді өңдеуде де қолданысын табады (мысалы, сандық бағдарламалау басқаруы бар станоктар).

Функционалдық математикалық модельдер фазалық айнымалыларды, яғни техникалық объектінің ішкі, сыртқы және шығыс параметрлерін өзара байланыстыратын қатынастардан тұрады. Күрделі техникалық объектілерді функционалдауды кейбір белгілі (немесе берілген) шығыс сигналдарына реакцияларының жиындарының көмегімен сипаттау әрқашан жүзеге аса бермейді. Функционалды математикалық модельдердің мұндай бір түрін қара жәшік типіне жатқызады және әдетте имитациялы математикалық модель деп атайды. Ол техникалық объектіде өтетін процесстердің мәнін ашып сипаттамайды, ол тек техникалық объектінің функционалдануын сыртқы көрінуін имитациялайды. Имитациялы математикалық модель техникалық кибернетикада (гректің ϰυβeρνάω сөзінен - рөлді басқарамын деген мағынаны білдіреді) күрделі техникалық объектіні басқару жүйесін қарастыратын ғылыми бағытта кең қолданылады.

Ұсыну формасы жағынан имитациялы математикалық модель алгоритмдік  математикалық модельдердің мысалы болып табылады, себебі техникалық объектілердің кіріс және шығыс  параметрлерінің арасындағы байланысты тек ЭЕМ- бағдарламалар түрінде жүзеге асыруға жарайтын алгоритм түрінде сипаттауға болады. Сондықтан алгоритмдік белгілерге функционалдық, сондай- ақ құрылымдық математикалық модельдердің кең класын жатқызады. Егер техникалық объектінің параметрлерінің арасындағы байланысты аналитикалық формада өрнектеуге болса, онда аналитикалық математикалық модель туралы сөз қозғалады. Бір техникалық объектінің математикалық моделінің иерархиясын құру кезінде әдетте математикалық модельдің ықшамдалған нұсқасы математикалық модельдің күрделі және толық нұсқалары арқылы алынған нәтижелерді тестілеу кезінде салыстыру үшін қолдануға болатын нақты шешімдерді болжауға болатын аналитикалық формада болуына ұмтылады.

Нақты техникалық объектінің математикалық  моделі ұсыну формасы жағынан аналитикалық, сондай- ақ алгоритмдік математикалық модель белгілерінен тұратыны анық. Сондай- ақ күрделі аналитикалық математикалық модель сандық зерттеу және есептеуіш тәжірибені жүргізу сатысында оны негізге алып алгоритм құрады, ол ЭЕМ- бағдарламалары түрінде іске асады, яғни математикалық модельдеу процесі кезінде аналитикалық математикалық модельді алгоритмдік математикалық модельге түрлендіреді.

Алу тәсілі бойынша математикалық  модельдерді теориялық және эмприкалық ( гректің έμπeιρία- тәжірибе) деп екіге бөледі[11]. Біріншісі техникалық объект қасиеттерін және онда орындалатын процесстерді қарастыру нәтижесінде алынады, ал екіншісі осы қасиеттер мен процесстердің сыртқы көріністерін бақылау нәтижелерін өңдеудің қорытындысы болып табылады. Эмприкалық математикалық модельді құру тәсілдерінің бірі техникалық объектінің фазалық айнымалыларын өлшеумен байланысты тәжірибелік зерттеулерді жүргізу және осы өлшеу нәтижелерін алгоритмдік формада немесе аналитикалық тәуелділіктер түрінде жалпылау болып табылады. Сондықтан ұсыну формасы жағынан энергетикалық математикалық модель алгоритмдік және де аналитикалық математикалық модель белгілерінен тұруы мүмкін. Осылайша, эмприкалық математикалық модель құру идентификация есебін шешуге алып келеді.

Теориялық математикалық модельді құру кезінде ең алдымен салмақ, электрлі заряд, энергия, қозғалыс саны және қозғалыс санының моменті сияқты субстанциялардың сақталуының белгілі негізгі заңдарын қолдануға ұмтылады. Сондай- ақ анықтау қатынастарын (күй теңдеуі деп те аталады) кірістіреді, олардың рөлінде феноменалогиялық заңдар (мысалы, жетілген газ күйінің Клейрон – Менделеев теңдеуі, электрлік кернеудің күлдіреуі және өткізгіштегі ток күшінің байланысының Ом заңы, сызықты серпімді материалдағы механикалық керену мен деформацияның байланысы туралы Гук заңы, денедегі температура градиентінің жылу ағысының тығыздығы мен байланысы туралы Фурье заңы және тағы басқалар) бола алады.