Математикалық модельдеу

Кейбір шектеулерді  орындау кезінде өзара тең стационарлы нүктеде альтернативті экстрималды мәнге (минимум және максимум) жететін функционалдар жұбынан тұратын микродеңгейдегі модельдің екі жақты вариациялық форманы құруға болады. Мұндай формадағы математикалық модель мүмкін жиындағы кейбір функцияларда есептелген осы функционалдардың мәндерінің айырмасы арқылы осы функцияны ізделінді функция ретінде таңдау кезінде туындайтын қателіктерді сандық бағалауға көмектеседі.

Макродеңгейдегі динамикалық (эволюциялық) математикалық модельдің  негізі формасы болып  қарапайым дифференциалдық теңдеулер немесе олардың бастапқы шарттарымен берілген жүйесі табылады. Мұндай математикалық модель тәуелсіз айнымалыға- уақыт, ал ізделіндіге- техникалық объектінің күйін сипаттайтын фазалық айнымалылар (мысалы,механикалық құрылғылардың үдеуі және жылдамдығы, ауысуы және осы элементке салынған күштер, моменттер; құбырдағы сұйықтық немесе газдың қысымы және шығыны; электр тізбегіндегі ток күші және кернеу және тағы басқалары) жатады. Кейбір жағдайларда макродеңгейдегі математикалық модельдердің Гамилтон- Остроградский принціпі немесе Гамильтонның экстремалды вариациалық принціпін қолданып интегралдық формада ұсынуға олады.

Егер техникалық объект эволюциясы оның күшін ағымдағы уақыт  мезетінде ғана емес, кейбір болып  өткен мезетте де t-t анықтайтын болса, онда макродеңгейдегі математикалық модель u(t) ізделінді функциясына сәйкес келесі түрдегі қарапайым дифференциалдық теңдеуді қосады[10]:

 немесе

.

Мұндай қарапайым дифференциалдық теңдеу сәйкесінше кешігетін және бейтарап(нейтральный) деп аталады және дифференциалды- функционалды теңдеулерге (ДФТ) (немесе ауытқитын аргументі бар дифференциалды теңдеу) жатқызады. Дифференциалды- функционалды теңдеулер және олардың жүйелері автоматты түрде басқару және реттеу жүйелерінің математикалық модельде кеңінен ұсынылады. Сондай-ақ, дифференциалды- функционалды теңдеулер биологиялық және экономикалық процестер модельдерінде өз қолданысын табуда.

Техникалық объектінің өзінің күйінің өзгерісіне кешігуші реакциясы t уақыттың бірақ интервалымен ғана анықталуы мүмкін. Онда дифференциалды- функционалдық теңдеулер бір емес бір неше дискретті кешігуден тұрады. Ортақ жағдайларда кешігу тұрады. Ортақ жағдайларда кешігу уақыт аралығында үздіксіз болуы мүмкін, ол мысалы, сызықты математикалық модельді келесі түрдегі интегралды- дифференциалдық теңдеуге әкелуі мүмкін:

Берілген К(t,t) фунциясын интегралды- дифференциалдық теңдеудің ядросы деп атайды, ал қарастырылатын техникалық объектіні техникалық объектінің күйінің өзгерісінің барлық бұрынғы жайттарынан оның эволюциясы тәуелді болғандықтан, ол жадыға ие деп айтады.

Макродеңгейдегі статикалық математикалық модельге уақыт кірмейді. Сондықтан ол соңғы теңдеудегі (көп  жағдайда сызықты емес) немесе сол сияқты теңдеулер жүйесінен, соның ішінде сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінен тұрады. Мұндай түрге макродеңгейдегі квазистатикалық, стационарлы және квазистационарлы математикалық модельдер ие.

Егер қарастырылатын техникалық объект үшін құламалы сандық сипаттамаларда кейбір маңызды қасиеттерді немесе сондай қасиеттердің үйлесуінде(сенімділік, ұзақтылық, салмақ, құны, техникалық объектінің шығыс параметрлерінің қандай да бір анықтаушы қасиеті) ерекшелеуге  және анықталған функция көмегімен олардың фазалық айнымалылармен байланысын орнатуға болса, онда осы функция арқылы өрнектелетін критерий бойынша техникалық объектінің оптимизациясы туралы айтуға болады. Оны мақсаттық функция деп атайды, өйткені оның мәні таңдалған критерийге сәйкес техникалық объектінің толық жетілу мақсатына жетудің шамасын сипаттайды.

Нақты жағдай да таратылатын  ресурстарының шектеулігі кезінде, әдетте теңсіздіктер жүйесімен шектелетін техникалық объектінің фазалық айнымалыларының  мүмкін өзгеру облысында жететін  мақсаттық функцияның экстремалды мәндері ғана мазмұнға ие болады. Бұл теңсіздіктер мақсаттық функция және соңғы сызықты емес теңдеу немесе теңдеулер жүйесі түріндегі техникалық объектінің статикалық математикалық моделімен бірге таңдалынған критериі бойынша техникалық объектіні оптимизациялау есебін математикалық қалыптауға келеді және ол (жалпы жағдайда) сызықты емес бағдарламалау есебі деп аталады. Кейбір жағдайларда САТЖ түріндегі техникалық объектінің  сызықтық математикалық моделі, сызықтық мақсаттық функция және теңсіздіктер сызықтық бағдарламалау есебіне жатады. Мұндай есептерге әдетте техника-  экономикалық мазмұндағы есептерді шешу жатады. Макродеңгейдегі динамикалық математикалық модельді сипаттайтын техникалық объектіні оптимизациялау есебін оптималды басқару есептерінің класына жатқызады.

Метадеңгейдегі математикалық  модельдер үшін макродеңгейдегі  математикалық модельдердегі теңдеулері түріндегілер сәйкес келеді, бірақ  бұл теңдеулер күрделі техникалық объектінің іріленген элементтерінің күйін сипаттайтын фазалық элементтерден тұрады. Егер техникалық объектінің бір күйден екінші күйге үздіксіз өту заңы анықталған болса, онда метадеңгейдегі математикалық модельді талдау үшін көбінесе беріліс(өткізу) функцияларының аппараты қолданылады, ал уақыттың дискретті мезетіндегі техникалық объектінің күйін қарастыру кезінде қарапайым дифференциалдық теңдеулер және олардың жүйелері осы уақыт мезетіндегі фазалық айнымалылар мәніне сәйкес айырмашылық (разностный)    теңдеуіне көшеді. Техникалық объектінің күйінің дискретті жиыны кезінде соңғы автоматтар және математикалық логика аппараттарын қолданады.

Кейде күрделі ақпараттық жүйелер үшін фазалық айнымалыларды  дискретті түрде ұсынуға көшуге болады. Онда метадеңгейдегі математикалық  модель сигналдардың түрлену процесін сипаттайтын логикалық қатынастар жүйесі (ЛҚЖ) болады. Логикалық қатынастар жүйесін мұндай техникалық объектіге қолдану электр тізбегіндегі кернеу және ток сияқты ақпараттық жүйені қарапайым дифференциалдық теңдеу немесе олардың жүйесінің көмегімен құрылған үздіксіз уақыт функциясы арқылы сипаттауға қарағанда үнемді болып келеді. Метадеңгейге, сондай- ақ өндірістік учаскені, сызықты, цехтарды, өндірісті және олардың бірлестіктерін, күрделі есептеуіш және ақпараттық жүйелердің функционалдануын сипаттайтын жалпы күтім математикалық моделіне иммитациялық математикалық модель жатады.

Биологиялық популяция  эволюциясына қолданылатын метадеңгейдегі математикалық модель элементтері  осы популяцияның сәйкес салыстырмалы сандылығын сипаттайтын және рекурентті қатынасты ( мұндағы l- көбею коэффициенті) қанағаттандыратын тізбектен {х_n} тұрады. Бұл қатынасты дифференциалды- функционалдық теңдеуге қатысты таратылмалы теңдеу деп қарастыруға болады:

,

мұндағы u(t)- ағымдағы t уақыт мезетіндегі популяция саны, t- көбеюдің биологиялық цикл периоды, a³0 және b>0- қоныс аудару кезіндегі популяцияның сәйкесінше өлу және көбею жылдамдығын сипаттайтын параметрлер. Расында да дифференциалды- функционалды теңдеудегі уақыт бойынша туындыны соңғы- айрымдық қатынастармен жуықтап алмастыру арқылы:

және 

l=1+at және x_n=u_nbt/l деп белгілеп, соңында жоғарыда жазылған таратылмалы теңдеуді аламыз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3- тарау. Механикалық  жүйелердің математикалық модельдерін  құру.

Математикалық модельдеуді  қолданудың алғашқы жетістіктері ғылымның механика саласына жатады. Классикалық механикада теория жағынан қызық, өмірде ең көп қолдану тапқан ғажайып есептер- тербеліс процесімен байланысты. Тербеліс процесі дегеніміз(қозғалыс немесе күйдің өзгерісі)- уақыт аралығында бір қалыпты немесе басқаша түрде қайталанып отыруы. Тербелмелі процесті физикалық табиғатына байланысты, яғни тербелісті қоздыру механизмне байланысты бірнеше түрге бөледі: механикалық (маятниктің, ішектің, машинаның бөлшектерінің, көпірдің, дыбыс тарағандағы ауа қысымының, теңіз толқындары т.с.с.); электромагниттік (тізбектегі айнымалы электрлік тоқтың тербелісі, электромагниттік өрістегі кернеулік, индукция, т.с.с.); электромеханикалық (телоефонның мембранасы, дауыс зорайтқыштың диффузоры т.с.с.) осыдан басқа да тербелістерді атауға болады.

Тербеліс жасайтын поцесті- тербелмелі жүйе дейміз. Тербелмелі процесс  ерікті және еріксіз болып бөлінеді[10]. Тербелмелі жүйені сипаттайтын барлық физикалық шамалардың мәндерінің тербеліс кезіндегі өзгерісі, бірдей уақыт аралығында қайталанып отырса периодты тербеліске жатады. Осы шартты қанағаттандыратын, толық бір тербеліске кеткен ең аз уақыт аралығын Т- тербеліс периоды дейміз. Периодты тербелістің жиілігі- бірлік уақытындағы толық тербелістің санымен анықталады. Тербелмелі процесске механикалық энергияның сақталу заңын қолданып құрған математикалық моделімізге талдау жасап модельдің адекваттылығын анықтаймыз. Осыған байланысты серпімді пружинаның қозғалысы және сызықсыз тербелісті сипаттайтын арнайы есептерге де тоқтаймыз.

Математикалық модельді қолдану кезінде келесі екі тапсырманың бірі шешіледі- техникалық объектінің қажетті параметрлерін анықтау және осы есептердің жиынын және құрылымын анықтау.

Модельдер шындықты, қатынасуды, оқуды және дайындықты түсіну құралы, тәжірибелерді жүргізу құралы, және жорамалдау құралы ретінде қолданылуы мүмкін.

Инженерді информатика  және есептеуіш техника облысында  дайындаудың бастапқы деңгейі әртүрлі  техникалық есептерді шешу үшін ЭЕМ-ді қолдану шеберлігі мен іскерлігі, белгілі бір білімдер жиынымен анықталады.

Бұл категорияның мамандықтары қолданбалы программалық қамсыздандыруды қолданумен қатар, программалаушы қолданушы болу керек. себебі олардың кәсіптік қызметтері көптеген жылу есептерін шешумен байланысты.

 

3.1. Маятниктің  тербеліс теңдеуін қорыту.

Тербелмелі қозғалыс- табиғатта кең таралған қозғалыстардың бірі[16]. Сағаттардағы және әртүрлі техникалық құрылғыларда орналасқан әртүрлі маятниктер, мембраналардың қозғалысы, молекулалардағы атомдардың қозғалысы, кристаллдардағы иондар мен атомдардың және тағы басқа тірі және өлі табиғаттағы процестер бір біріне ұқса: объект бір нүкте бойынан бірнеше рет өтеді, бір күйді периодты қайталап отырады. Оның қозғалысын қысқа уақыт мерзімінде қарастырып, біз оның қозғалысын болашақтада жорамалдап бере аламыз.

Математикалық маятник созылмайтын жіңішке, салмақсыз жіпке ілінген материалдық нүкте[19]. Ауырлық күштің әсерімен вертикаль жазықтықта тербеліс жасайды (6-сурет). Маятниктің ұзындығы L, массасы m, ал вертиткаль жағдайы түзу сызық ОА мен берілген. Біздің мақсатымыз тербелмелі жүйенің күйін сипаттайтын функцияны табу. Күй функциясын анықтайдың бірнеше жолын көрсетейік. Мысалы, вертикаль өстен ең үлкен ауытқудың шамасы МВ кесіндіні немесе тербелістің биіктігін беретін ВМ₀ (егерде М₀ нүкте маятниктің жерден алғашқы биіктігі болса) немесе ОА және ОМ екі кесінді арасындағы бұрышы бола алады.

 

6-сурет. Математикалық маятник

Бұл үш вариантта бір- біріне эквивалентті, ал шамаларын  былай анықтауға болады.

МВ=Lsin x,  BM₀=L(1-cosx).

 Механикада күй  функциясы ретінде тербелістің  бұрышы х алынады. Сөйтіп, бұрыштың уақытқа байланысты өзгерісін сипаттайтын формуланы анықтауымыз қажет.

Маятниктің ауырлық  күшіндегі еркін тербелісін Ньютонның  екінші заңын қолданып зерттейік[19]. Маятниктің қозғалысын тудыратын Ғ күш, кез- келген уақыт моментіндегі орнына ОМ перпендикляр бағытта әсер етеді (6-сурет). Салмақ күшін Р ескеріп былай жазуға болады

F=-Psinx=-mg sinx.

Таңбасы теріс болады, себебі маятниктің қозғалысы вертикаль  жағдайдан ауытқу шамасына қарама- қарсы бағытта жүреді. Сөйтіп, Ньютонның екінші заңын мынадай түрде жазамыз

       

немесе

                       (15)

Осыдан маятниктің тербеліс заңы массасына байланысты емес екендігін  байқауға болады. Мұндағы v- маятниктің жылдамдығы.

Алдынған теңдеуді түрлендіру үшін, сызықтық жылдамдықпен күй функциясы арасындағы байланысты анықтайық. Ол үшін бұрыштық жылдамдықты, яғни күй функциясының туындысын табу қажет. Бір t- уақыт мезетінде маятник ОА осіне x(t)- бұрыш жасап, М(t)- нүктесінде тұрсын делік. Ал t+t уақыт мезетінде х(t+t)- бұрыш жасап М(t+t)- нүктесіне жетсін (7а, сурет). Қарастырылатын екі нүктенің ара қашықтығын r(t) белгілеп, маятниктің жылдамдығын табамыз

Мұндағы r(t)- шамасы мына теңдікпен табылады (7б, сурет).

Мұндағы q(t)=x(t+t)-x(t). Нәтижесінде мынадай теңдік аламыз

Мынадай теңдіктің айқындығын ескерсек

маятниктің жылдамдығы мына формуламен табылатынын байқаймыз  . Осы шаманы (15) қойып мынадай теңдеу аламыз.

.

7-сурет. Бұрыштық жылдамдықты есептеу.

Процесстің параметрі  жиілікті (меншікті) , енгізіп маятник тербелісінің негізгі теңдеуін аламыз

                (16)

Алынған (3.2)теңдеу, х- күй  функциясы бойынша екінші ретті  сызықсыз дифференциалдық теңдеуге жатады. (16) теңдеудің аналитикалық шешімін алу қиын. Сондықтан, маятниктің аз уақыт шамасына байланысты тербелісін қарастырамыз. Бұл жағдайда синустың мәнін бұрыштың шамасымен ауыстыруға болады, sin x≈x. Онда теңдеу былай жазылады

             (17)