Математикалық модельдеу

Алынған (17) теңдеу маятниктің еркін аз тербеліс теңдеуі немесе гармониялық осциллятор теңдеуі делінеді[19]. Процесті сипаттайтын сызықты теңдеуге тербелмелі жүйеге байланысты бастапқы шарттарын анықтайық. Маятник бастапқы мезетте t=0 уақытты, вертикаль осьпен х₀- бұрыш жасап, ал бұрыштық жылдамдығы х₁ тең болсын.

         (18)

Зерттелетін еркін тербелістің  математикалық моделі (3), (4) Коши есебімен беріліп тұр. Есептің параметрлеріне жататын шамалар: тербеліс жиілігі w₀, х₀- бастапқы бұрыш және х₁- бастапқы жылдамдық.

Қойылған Коши есебін(3), (4) шығарып енді математикалық талдау жасайық.

Маятниктің  тербеліс теңдеуін шешу

Зерттеудің екінші сатысында, жасырын формада берілген ақпараттарды алу үшін, алынған модельге математикалық  талдау жасайық. Сызықты дифференциалдық  теңдеуді шешудің классикалық теориясы бойынша- сипаттауыш теңдеуін жазайық[16]

Параметр l бойынша алынған алгебралық (квадрат) теңдеудің түбірі , , мұндағы і- бірлік жорамал сан. Теңдеу(17) жалпы шешімі мынадай формула түрінде жазылады

  (19)

с₁, с₂- кез келген тұрақты шамалар.

Тұрақты шамалардың нақты  мәндер табу үшін, бастапқы шартын (18) ескеріп, жалпы шешімінен мынадай теңдікті аламыз

Осыдан (17), (18) есептің дербес шешімі

бастапқы шарттарын  қанағаттандырады.

 

8-сурет. Есептің (17),(18) шешімі- периодты функциямен беріледі.

Математикалық талдауды жеңілдету үшін, есептің шешімін  басқаша жазайық

     (20)

Мұндағы а,j- амплитудасы және бастапқы фазасы болады. Сонымен (20) шешімі а және j- барлық мәндері үшін дұрыс жауабын береді және (17) шешіміне сәйкес болады. Алынған (19), (20) формулалар бір- біріне эквивалентті, ал а және j нақты мәндері (18) шарты бойынша табылады[16].  Мынадай теңдік алып

тербелістің бастапқы фазасын және амплитудасын табамыз

Коши есебінің (17), (18) шешімі тербеліс периоды тең периодтық функция болады.

Сөйтіп маятник өзінің тепе-теңдік орнының айналасында  тербелісте болады. Маятниктің тепе- теңдік жағдайынан ең үлкен ауытқуын амплитуда дейміз. Тербелмелі процестің жиілігі, фазасы, амплитудасы және периоды негізгі сипаттамаларын анықтайды.

Маятник тербелісінің энергиясы

Механикалық қозғалысты сипаттағанда, дененің қозғалысындағы энергиясын білу, зерттеуді толықтырады. Энергиянын өзгеру заңдылығын бағалау үшін маятниктің тербеліс теңдеуін (17) мынадай түрде жазайық

Осы теңдеуімізді х туындысына көбейтіп мынадай түрге келтірейік

Алдында жазылған шартты , ескеріп теңдеуімізді түрлендірейік

Енді маятниктің m массасына  көбейтсек теңдік мынадай болады

    (21)

Бұл (21) теңдіктің сол жағындағы бірінші мүшесі кинетикалық энергияны К береді. Маятниктің потенциалдық энергиясы U=mgh, биіктік h кесіндіні алса Lcosx тең болады.Осыдан потенциалдық энергия U=Lmg(1-cosx). Ауытқудың шамасы х- аз болса, онда . Мынадай белгілеулер енгізіп

Тербелмелі жүйедегі энергияның сақталу заңын жазамыз

К+U=const       (22)

Соңғы теңдіктің оң жағы, маятниктің бастапқы уақыт мезетіндегі  ауытқу бұрышымен анықталатын потенциалдық немесе кинетикалық энергияның берілу шамасына байланысты. Сондықтан (22)теңдік маятник қозғалысын энергия тұрғыдан зерттейді. Бастапқы мезет уақытында маятниктің вертикаль жағдайдан ауытқу бұрышының шамасы беріліп, жылдамдығы нольге тең болсын. Онда маятник қозғалысыпотенциалдық энергияныің ықпалымен болады, ал кинетикалық энергияның әсері нөлге теңеседі де, кинетикалық энергиясы максимум шамасына ие болады. Енді қозғалыс кері бағытта болғанда, потенциалдық энергиясына ауысып, уақыт бір мәнге тең болғанда, потенциалдық энергия өзінің үлкен шамасына тең болады. Тербеліс өшпейтін процеске жатқандықтан, қозғалыс энергиясы бір түрден екінші түрге ауысып отырады да, бір периодтағы тербеліс үшін толық энергиямыз тұрақты болады.

 

Үйкеліс күшіне байланысты маятниктің тербелісі

Маятниктің гармониялық  тербелісі (20) формуламен анықталады. Ал, өмірде периодты өшпейтін тербеліс сирек кездеседі, себебі, тербелмелі жүйеде аз - не көп болсын үйкеліс күші әсер етеді. Сондықтан математикалық модель толығырақ болу үшін, үйкеліс күшін Ғ_үйк ескеру қажет. Егерде материалдық дененің қозғалысына тек қана үйкеліс күш әсер етсе, онда Ньютонның екінші заңын қолданып зерттеуге болады[19]

.

Үйкеліс күші дененің  қозғалысына қарсы бағытта әсер етеді және тәжрибе көрсеткеңдей, бірінші жуық мәні жыддамдыққа тура пропорционал өзгереді. Еңдеше үйкеліс коэффициентін k, ескеріп карапайым байланыс формуласын тәжрибенің негізіңде мынадай түрде жазады .    Тербелмелі жүйеде үйкеліс күші бар болғанда модель, екінші ретті жай дифференциалдық теңдеу түрінде беріледі

 (23)

Процестің параметрі - табиғатын түсіңдірейік. Күй функциясының х - өлшем бірлігі радиан, бұрыштық жылдамдық - радиан бөлінген секунд, ал бұрыштық үдеу - радиан бөлінген секундтың квадратымен өлшенеді. Ендеше (23) теңдік орындалу үшін параметр t- өлшем бірлігі секунд болғандықтан релаксация уақыты дейді. Релаксациялық параметр үйкеліс күшінің қозғалысты тежеу уақытымен байланысты шама[13].

Теңдеу (23)- бұрыштық жылдамдық арқылы жазылып, бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге келтірейік

Бастапқы жылдамдық v(0)=v₀ белгілі болса (9- сурет), онда шешімі

        (24)

Осыдан дененің жылдамдығы үйкеліс күшінің әсерінен азаяды және релаксация уақыты аз болса үйкеліс коэффициенті көбейеді.

9-сурет. Үйкеліс күш әсер еткендегі қозғалыс теңдеуінің шешімі.

 

Кеңістіктегі дененің  орнын өзгеру заңдылығын табу үшін, мына теңдеудің  шешімін табайық

  (25)

Мұндағы х₀ дененің бастапқы алып тұрған орны. Функция уақытқа байланысты өседі (9-сурет).

Уақыт шексіз өскендегі  есептің шешіміне байланысты кейбір қасиеттерін қарастырайық. Ара қатынас (24), (25) үшін шектік жағдайын қарастырайық

Уақыт өскен сайын, дененің  жылдамдығы азайып нөлге ұмтылады, дененің қозғалысындағы орны өзінің шектік мәніне жетеді(9-сурет). Сонымен, дененің қозғалысы үйкеліс күшінің әсері мен өзінің бастапқы х₀ нүктесінен, tv₀-қашықтықа тоқтайды екен.

Егерде  , немесе үйкеліс күші нөлге ұмтылса, онда (24)- формуладан дененің жылдамдығы тең, осыдан бір қалыпты қозғалысты аламыз. Яғни тербелмелі жүйеге сырттай күш әсер етпесе, тербеліс жылдамдығы өзгермейді.

Тербелмелі жүйеде ауырлық  күш және үйкеліс күші қарастырылса, теңдеу мынадай түрге келеді[16]

.

Белгілеу енгізіп х = mL/k, маятниктің қозғалыс теңдеуін ауырлық және үйкеліс күшін ескеріп жазайық

         (26)

Егерде w₀=0 онда (23) теңдеуді аламыз, ал t®¥ теңдеуіміз гармониялық осцилятордың тербеліс процесін береді. Бұл жағдайда маятниктің массасы тербелмелі процестің параметрі болады.

Теңдеу (26)-нің дербес шешімін алайық. Ол үшін қарастырылған гармониялық осцилятордың теңдеуінің (17) периодтық функция ретінде берілген шешімін (19) немесе (20) және (23) теңдеудің экспонциалдық кемімелі шешімімен қосындысы ретінде іздейік

    (27)

Мұндағы параметрлер b және w мәндері (26) теңдігі орындалатындай алынады. Қарастырылатын функцияның туындыларын табайық:

Енді (26)-ге қоямыз

Берілген қатынас орындалу үшін тригонометриялық функциялардың  алдындағы коэффициенттері нөльге теңестіру қажет. Екінші қосынды нөльге тең, себебі . Бірінші қосындыны нөльге теңестірейік

Осыдан жиіліктің мәнін  табамыз

Теңдеудің (26), ал бастапқы шарттары х(0)=0, болғанда (27) шешімі болатын формула бойынша маятниктің тербелісі өшеді (10-сурет). Бұл жағдайда өшетін тербелістің жиілігі w, меншікті тербелістің жиілігінен  w₀ аз және релаксация уақыты өскен сайын осыған ұмтылады.

 

 

 

10-сурет. Маятниктің өшетін тербелісі.

 

Маятниктің  еріксіз тербелісі.

Маятниктің еріксіз  тербелісіне сырттай әсер ететін күш F _B(t)=F₀sinwt [20]периодтық функцияға жатсын. Амплитудасы F₀, ал еріксіз тербелістің     жиілігі w есептің параметірлеріне жатады. Бұл жағдайда процесті сипаттайтын теңдеу

.

Мұндағы      а₀ = F₀/ m. Осы теңдеудін дербес шешімі

Сонымен, маятниктің периоды  сырттай әсер еткендегі тербелісі  еріксіз тербелістің жиілігіндей  болады. Бұл жағдайда тербелістің  амплитудасы солғұрлым көп болады, егерде еріксіз және меншікті тербелістің жиілігі бір – біріне жақын болса. Ал, жиіліктер тең w=w₀ болса, резонанс құбылысы пайда болады. Бұған сәйкес Коши есебінің шешімі болмайды, алынған жауабымыздың мағынасы жоқ.

Математикалық модельді жетілдіру үшін маятниктің еріксіз тербелісін үйкеліс күшіне қосып қарастырайық, бұл жағдайда теңдеу

Теңдеудің дербес шешімін  мынадай түрде іздейік

Мұндағы

Егерде жиіліктер w=w₀ болса, тербелістің амплитудасы шектелген, мынаған тең болады. Маятниктің еріксіз және меншікті тербеліс жиілігі бір – біріне тең болғанда, мұнда да резонанс құбылысы паида болады. Бұл жағдайда тербеліс амплитудасы өзінің максимум шамасымен анықталады.

Серіпенің тербелісі

Механикалық тербелістердің тағы бір классикалық мысалы, ол серпімді серіппенің қозғалысы. Серіппенің бір шеті қозғалмайтындай бекітілген, ал екінші жағына массасы m болатын  дене байланған[19]. Серіппені қысса немесе созса, серіппенің тепе – теңдік қалпын сақтауға тырысатын күш әсер етеді (11 – сурет). Серіппедегі материалдық дененің қозғалысы, тепе – теңдік қалпынан уақытқа байланысты ауытқу қашықтығын сипаттйтын функция x = x( t ) болсын.

11-сурет. Серіппенің тербелісі.

Серіппені тепе – теңдік күйінен аз ауытқуына байланысты қозғалысына әсер ететін күшті Гук  заңымен F = - kx беруге болады[19]. Күштің әсері серіппе қозғалысын тепе – теңдік күйге бағыттайды, сондықтан таңбасы теріс, ал k – серіппенің серпімділік коэффициенті немесе есептің параметірі болады. Қозғалыс теңдеуіне күштің шамасын қойып, серіппенің тербелісін сипаттайтын теңдеу аламыз.

Мұндағы ₀ = серпімді тербелістің меншікті жиілігі. Алынған теңдеу гармониялық осциллятордың теңдеуімен бірдей.

Үйкеліс күші әсер еткендегі маятниктің үлкен  тербелістері

Үйкеліс күшін ескергенде маятниктің үлкен тербелмелі теңдеуі ( 16 ), (24 ) теңдеулерге ұқсас болады[16]

Үйкеліс күші (k = 0) әсер етпесе және бастапқы шарттарының аз мәндерінде алынған теңдеу гармониялық осциллятордың теңдеуімен бірдей болады. Маятниктің тербелісі тепе – теңдік күйдің (х=0) маңайында болады. Күйдің бастапқы шарттары барынша үлкен болса, маятник дөңгелек айнала қозғалады, бұл кезде бұрышы өседі және айналу жылдамдығының өзгерісі периодты болады. Ал үйкеліс күшін ескерсе маятниктің қозғалысы біртіндеп өшеді.

Фруда маятнигі

Фруданың маятнигі сызықсыз тербеліске жатады. Фруданың үйкеліс күші бұрыштық жылдамдықпен мынадай байланыста болады[20]

.

Мұндағы а және b – тұрақты оң константтар. Үлкен тербелістер үшін, егер де сыртқы күштің шамасын ескерсек, теңдеу былай жазылады

Жай маятниктің қозғалысына қарағанда Фруда маятнигінің тербелісі күрделі болады.

Қозғалыс бағытында  әсер ететін күшті ескергендегі  маятник тербелісі.

Маятниктің аз тербелісінде әсер ететін үйкеліс және сыртқы күштер қозғалыс бағытымен бағыттас болса, онда тербелмелі теңдеу мынадай түрде жазылады[19]

Жүйе күйенің кез- келген бастапқы жағдайында маятниктің тербелісі  бірдей амплитуда да өтеді.

Мұндағы -тербелістің жарты периоды. Бұл құбылыс шектік цикл және автотербелістік ұғымдармен тікелей байланысты.

Дуффингтің  серіппесі.

Серіппенің серпімділік  күші тепе- теңдік күйінен ауытқу шамасына сызықты емес байланыста болса, тербелмелі жүйенің теңдеуі күрделі болады. Серпімділік күштің шамасы F=-(ax+bx³), a және b- оң тұрақтылар. Мұндай процесс Дуффингтің теңдеуімен беріледі[16]

.

Коэффициенттерге байланысты Дуффинг теңдеуінің шешімі күрделі  әрі ерекше болады.

 

3.2 «Механикалық  тербелістер» программасының алғашқы  жобасы

Қазіргі кезде техника  саласында қолданылатын программалық жабдық жетіп артылады. Олардың саны күн санап өсіп келеді. Бұл өмірімізге компьютердің толығымен еніп келе жатқаның байқатады. Бұндай программалрдың басты мақсаты техник мамандардың жұмысын жеңілдету, оларға тура, дәл шешімді ұсыну болып табылады. Және ол кез келген қолданушыға түсінікті түрде жасалуы керек.