Лекции по "Моделированию в агроинженерии"

2 ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1. Понятие объекта и его модели. Классификация моделей.

Всякая оптимизация  изучаемых предметов, вещей, явлений, обстоятельств связана с необходимостью проведения анализа всего, что связано  с ними и что каким-либо образом может повлиять на них. Такой анализ позволяет в той или иной мере составить наше представление о сущности изученного, представить концептуальную  модель формирования отношений элементов (внутренних и внешних), оказавшихся в поле нашего зрения, а значит, математически описать эти отношения.

Сочетание предметного моделирования и математического описаниия его (математическое моделирование) является главной методологической основой всякого научного исследования.

Обязательные атрибуты в таком общественно полезном познавательном процессе - конкретный человек или группа лиц, которые выступают как субъекты исследования, и все то, что является предметом исследования (машина, растение, явления природы и общества), в общем случае называемым объектом.

В нашем представлении объект - это все, что мы различаем как нечто целое, реально существующее, или возникающее в нашем сознании и обладающее свойствами, значения которых позволяют нам однозначно распознавать это нечто. Объект, на котором сосредоточивается внимание субъекта с целью исследования, и называется объектом исследования.

Объекты воспринимаются и различаются субъектами лишь постольку, поскольку они обладают характерными свойствами или способностями. "Свойство" и "способность" также являются весьма важными понятиями в рассуждениях человека.

Свойством называется характерная особенность объекта, которая может быть замечена и оценена субъектом, например, вес, цвет, длина, плотность и тому подобное. Для оценки исследуемого свойства объекта субъект устанавливает определенную меру, называемую показателем свойства. Для каждого показателя определяется множество значений (уровней, или градаций меры свойства), которые присваиваются ему в результате оценивания свойства. Следовательно, свойство объекта является реальностью, а показатель - субъективной мерой этой реальности, если, конечно, речь идет о реальных объектах.

В теории математического  моделирования понятие "объект" играет роль фундаментального исходного  понятия. Оно не может быть выведено из каких-либо других общих понятий путем наследования их свойств. С этой точки зрения объектом называется все то, что можно мысленно выделить из окружающей его среды, путем указания свойств и признаков, существенных для данного понятия. Всеобщими свойствами объектов являются: наличие уникального имени, определенность предназначения, наличие внутренней структуры, наличие особенных свойств или признаков, позволяющих идентифицировать (узнавать) данный объект, нахождение в определенном пространстве.

Таким образом, объект - это все что подвергается изучению, законченность и сущность его определяется свойствами, которые создают возможность распознавать его как нечто целое, реально существующее или возникающее в нашем сознании.

Среди объектов имеются очень сложные системы, которые изучать непосредственно трудно и даже невозможно. Для создания условий взаимодействия субъекта и объекта и используются специальные модели.

Самыми простыми из них  являются модели, связанные с внешней  похожестью: игрушки, макеты зданий и  сооружений, географические карты, глобус, портреты людей, картины и т.п. Требование о необходимости отображения функционального назначения объекта в модели усложняет ее.

 Любая предметная модель обладает конкретными свойствами физического объекта, поэтому такие модели и называются физическими.

Таким образом, физическая модель - это макет изучаемого предмета, системы, изготовленный с сохранением физической природы некоторого набора характеристик действительных объектов.

В общем случае простым  масштабным пересчетом адекватная модель какого-либо реального объекта не может быть получена.

Для построения таких сложных физических моделей используется теория подобия. Она на основе дифференциальных уравнений, описывающих систему, позволяет определить безразмерные комплексы физических величин и установить между ними экспериментальные зависимости, так называемые критериальные уравнения. Физические модели, построенные на основе теории подобия, используются для обоснования параметров уникальных, единственных в своем роде изделий, создание макетных образцов которых, например плотин, гидроэлектростанций, ракетных установок, для экспериментальных исследований в реальных масштабах невозможно.

Другой тип моделей - математические. Это математические зависимости между величинами  определяющих характеристик изучаемого объекта. Характеристики, о которых здесь идет речь, являются свойствами объекта, а их величины количественными оценками этих свойств.

В этом смысле математические описания (выражения, формулы) законов природы, например, законы механики, электростатики и электродинамики, термодинамических процессов, которые нам во многих случаях позволят судить о поведении той или иной системы (механической, электрической, термодинамической), не прибегая к экспериментам, являются математическими моделями. Они позволяют судить об изменении системы путем вычислительного анализа модели в отсутствии самого объекта.

Из сказанного следует сравнительное превосходство математического моделирования по сравнению с физическим: его использование снижает затраты на решение практических задач, дает возможность создавать уникальные сооружения, действующие с необходимой надежностью и предсказуемыми результатами.

Однако достижение указанных  результатов возможно только при  надлежащей адекватности (соответствии) модели объекту, работающему в реальных условиях, т.е. в случае, если физическая или математическая модель учитывает весь круг значащих для существования объекта факторов.

2.2  Понятие математической модели (ММ). Аксиоматическое и конструктивное определения ММ. Формы представления ММ.

Теория познания –  это цепочка из трех звеньев: созерцания, абстрактного мышления и использования результатов его на практике. Этой цепочке соответствуют три раздела научной деятельности, индукция, дедукция и проверка (верификация).

Индуктивный анализ (расчленением объекта) позволяет выяснить сущность  явлений, происходящих в изучаемых объектах, и сформулировать зависимости, закономерности и даже законы природы.

Дедукция, рассматривающая  сложные объекты, на базе существующих законов природы с использованием формальной логики и математики позволяет  получить новые знания–следствия, которые не являются очевидными. На ее основе создаются научные теории (объясняющие и предсказывающие).

Подтверждение их экспериментальными данными (верификация теоретических положений) создает уверенность в правильности математического моделирования, а значит, облегчает создание новых рукотворных объектов.

Все исследования строятся на выделении определяющих факторов, каким – либо образом влияющих на характеристики объекта. Они делятся на значащие и незначащие, которые не учитываются в процессе моделирования (пример о трубке Торичелли).

Не всегда при теоретическом исследовании все явления, определяющие поведение объекта, полностью изучены. Это также должно учитываться при математическом моделировании.

Таким образом, понятие математической модели в аксиоматическом смысле вполне может быть определено как способ исследования сложных систем путем применения к их анализу законов природы, закономерностей различных процессов, характерных для них.

Сложность какого-либо исследования, состоящая в необходимости учета большого количества факторов, определяющих влияние на объект исследования, невозможность достижения решения в виде конечных аналитических зависимостей породили, во-первых, теорию подобия, обеспечивающую согласование результатов экспериментов на физической модели с реальными показателями объекта исследования, и, во-вторых, теорию приближенных вычислений, рутинность и трудоемкость которых побудила исследователей к изысканию средств, автоматизирующих и ускоряющих их проведение. Такими средствами стали ЭВМ.

С учетом всего сказанного можно сформулировать определение  математической модели. Математическая модель - это математическое описание совокупности знаний, представлений и гипотез об изучаемом объекте, способное представлять сам объект по некоторому набору его характеристик.

Такое определение вполне приемлемо для всех объектов окружающего  мира: физических. растительного мира, общественных, интеллектуальных понятий  и явлений. Так как между свойствами всех объектов существуют какие–то связи, которые нужно только описать количественными отношениями (это сложно сделать, но можно), а потом провести анализ полученного результата математическими существующими  или вновь созданными методами.

Среди алгоритмических  моделей особое место принадлежит  так называемым имитационным моделям, предназначенным для имитации физических или информационных процессов, зависящих от времени. В таких моделях рассматриваются, как правило, сложные системы, включающие нечеткие понятия (размытые величины). Точность таких моделей очень условна. В алгоритме имитационных моделей часто содержится человеческое звено. Создание имитационных моделей возможно только при сочетании формального и неформального мышлений.

В определении математической модели следует обратить внимание на следующее обстоятельство: модель всегда должна представлять сам объект по некоторому набору  характеристик. Следовательно, можно утверждать, что каждой модели свойственна способность к интерпретации результатов анализа по ней по отношению к самому объекту, т.е. способность установления соответствия между некоторой формальной математической моделью и содержательной системой (объектом). В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. установлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения формальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некоторый элемент содержательной системы. Если указанное условие нарушается, имеет место частичная интерпретация.

2.3 Классификация математических моделей, области их применения.

Классификация математических моделей производится по разным признакам, поэтому она не единственна. При этом некоторые математические модели попадают в различных классификациях в различные группы, а количество классов достигает 32. По нашему мнению, наиболее емкая классификация ММ приведена в книге В.В. Налимова.       

 Она составлена на основании подходов к созданию моделей плохо организованных (диффузных) систем, под которыми понимаются сложные системы, поведение которых определяется множеством меняющихся факторов и в которых нельзя четко выделить отдельные явления. К таким системам относятся все технологические процессы. Еще в большей мере к ним относятся системы, в которых неизвестны закономерности протекающих в них элементарных процессов (например, интеллект человека).

В этой классификации ММ представлены четырьмя группами:

1. Эскизные модели, задаваемые дифференциальными уравнениями. В них производится описание отдельных, наиболее существенных явлений, протекающих в сложном объекте. Без внимания оставляются другие процессы и взаимодействия с ними основных явлений. Изящество представления таких моделей в значительной мере перекликается с их относительной простотой, но модель должна быть не только изящна, но и содержательна. Содержательность ММ состоит в объяснении множества уже известных фактов, в выявлении новых, незамеченных явлений, в предсказании дальнейшего развития объекта и в выдвижении новых проблем перед исследователями.

Использование дифференциальных уравнений при составлении эскизных ММ связано с возможностью лучшего предметного толкования изучаемых явлений. Например, экономисты оценивают сложность управления предприятий отрасли квадратичной зависимостью y=kx², что может вызвать недоумение, почему квадратичной, а не кубичной. Для этого вполне достаточно записать ее в дифференциальном виде dy=xdx, так как с точки зрения здравого смысла вполне понятно, что приращение сложности будет пропорционально числу уже действующих предприятий. Точно также можно оценить скорость роста числа научных публикаций во времени dy=kydt. Если в атомной физике такая зависимость при изучении излучения отражает четкую закономерность, то в нашем примере она – эскизное описание сложной системы, в некоторой степени оцениваемое названной статистической зависимостью. Экспериментальная проверка таких статистических оценок оказывается несостоятельной, так как всякий результат может быть объяснен особенностями условий, в которых опыты проводились. Однако, более сложные объекты, включающие названные проблемы при оценке их функционирования, дают приемлемые результаты оптимальных условий их существования.

Значение эскизных моделей особенно велико для углубления понимания поведения изучаемого объекта, сложной системы объектов специалистами, привыкшими «высматривать» структуру возникновения внутрисистемной связи за счет высокой степени общности языка математики, в том числе и такого ее раздела, как дифференциальные уравнения. С другой стороны, представителями гуманитарных наук такие внедрения математического осмысливания воспринимаются, как попытка заставить их мыслить не на родном языке.