Замечательные кривые в математике

Оглавление.

Введение. 3

Раздел I. 4

§1.Немного  истории. —

§2. Простейшие  кривые. 7

§3. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК О ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ……………………………………………..18

§4. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ИХ СВОЙСТВА……………………………………………………….....27

4.1.ЦИКЛОИДА………………………………………………………………………………………………….…-

4.2. ЭПИЦИКЛОИДА……………………………………………………………………………………..……….28

4.3. ГИПОЦИКЛОИДА……………………………………………………………………………………..……..29

4.4. ДЕЛЬТОИДА…………………………………………………………………………………………………..30

4.5. АСТРОИДА………………………………………………………………………………………….………...31

4.6. ОВАЛ КАССИНИ………………………………………………………………………………………….….32

4.7. ЛЕМНИСКАТА…………………………………………………………………………………………..…...34

4.7.1. ЛЕМНИСКАТА БУТА……………………………………………………………………………..………..35

4.7.2. ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛИ……………………………………………………………………..……..…...36

4.8.  ЛОКОН АНЬЕЗИ…………………………………………………………………………………………. .…38

4.9. УЛИТКА ПАСКАЛЯ…………………………………………………………………………………….…....39

4.10. ДЕКАРТОВ ЛИСТ………………………………………………………………………………..………….40

4.11. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ………………………………………………………………………….….…..42

4.12. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ………………………………………………………………………..42

4.13. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ………………………………………………………………………....44

4.14. КОНХОИДА НИКОМЕДА………………………………………………………………………...……….44

4.15.  КАРДИОИДА…………………………………………………………………………………..……………45

Словарь………………………………………………………………………………………………..47

Список литературы. .49

 

 

 

Введение

Сами  по  себе  кривые  очень  разнообразны  и  имеют  богатую  историю. Ещё  с  древних  времён  они  представляют  огромный  интерес  для  учёных. В  своё  время  кривые  изучал  Декарт, Архимед, Аристотель.  Самые  простые  из  них – прямая  и  окружность  встречаются  в  природе. Если  уже  созданы  сферы, то  отбрасываемые  ими  тени  имеют  очертания  конических  сечений, поэтому  и  учение  о  конических  сечениях  можно  считать  вполне  естественным.

Интерес  к  коническим  сечениям  возрастал  по  мере  того, как  увеличивалось  количество  решаемых  с  их  помощью  задач. Свойства  конических  сечений  стали  предметом  специального  теоретического  исследования.  Коническим  сечениям  был  посвящен  ряд  сочинений,  но  все  эти  сочинения  были  забыты,  когда  появился  труд  Аполлония  о  конических  сечениях. Он  не  имеет  себе  равных  по полноте, общности  и  систематичности  изложения  теории  конических  сечений.

Данную  работу  я  также  посвятила  кривым, так  как  считаю  эту  тему  очень  занимательной  и  интересной. Столкнувшись  с  данной  темой,  я  была  поражена  многообразием  кривых. В школе  изучаются лишь плоские кривые второго  порядка, такие как окружность, гипербола, парабола и одна из кривых третьего порядка – кубическая парабола, даже эллипсу не уделено должного внимания, хотя у него имеются очень  интересные свойства, и окружность мы получаем как раз как предельный случай эллипса,  если сближать его  фокусы.  Изучая данную тему я впервые  столкнулась с изображением таких  замечательных кривых как  астроида (что в переводе с греческого означает «звездообразная»), дельтоида (свое название она получила из-за сходства с прописной греческой буквой ) или еще её называют кривой Штейнера, кардиоида (сердцевидная кривая),  улитка Паскаля, нефроида (что означает – напоминающая очертаниями почку), лемниската Бернулли, овалы Кассини, локон Аньези, конхоида Никомеда, Декартов лист, трех– и четырехлепестковая розы, спирали: Архимеда и Галилея, гиперболическая и логарифмическая. Каждая из этих кривых имеет присущий только ей вид и свойства. Даже со многими из этих названий до написания данной курсовой работы я раньше не встречалась, не говоря уже о том, как и при помощи чего они могут быть построены (например, все гипо–   иэпициклоиды могут быть построены при помощи специального приспособления называемого спирографом)  Все вышеперечисленные кривые каким-либо образом затрагиваются в представленной курсовой работе.

Раздел I.

§1.Немного  истории.

Кривые  имеют  богатую  историю. Самые  простые  из  них  – прямая  и  окружность  встречаются  в  природе. Если  уже  созданы  сферы, то  отбрасываемые  ими  тени  имеют  очертания  конических  сечений, поэтому  и  учение  о  конических  сечениях  можно  считать  вполне  естественным.

Интерес  к  коническим  сечениям  возрастал  по  мере  того, как  увеличивалось  количество  решаемых  с  их  помощью  задач. Свойства  конических  сечений  стали  предметом  специального  теоретического  исследования.  Коническим  сечениям  был  посвящен  ряд  сочинений,  но  все  эти  сочинения  были  забыты,  когда  появился  труд  Аполлония  о  конических  сечениях. Он  не  имеет  себе  равных  по полноте, общности  и  систематичности  изложения  теории  конических  сечений.

Аполлоний Пергский (около  266–177 гг. до н.э.) - младший  современник  и  научный  соперник  Архимеда. Продолжительное  время  он  жил  и работал  в  Александрии,  затем  возвратился  на  родину  в  г. Пергам (в  Малой  Азии),  где  был  главой  математической  школы.  Из  многочисленных  математических  сочинений  Аполлония  до  нас  дошли  в  основном  только  7  из  8  книг  «Конических  сечений». Теория  конических  сечений  развивается  Аполлонием  на  основе  достаточно  общих  исходных  посылок. Он  сразу  вводит  обе  полости  произвольного конуса  с  круговым  основанием  и  рассматривает  плоские  его  сечения. Каждую  из  получающихся  при  этом  кривых  он  рассматривает  по  отношению  к  некоторому  диаметру  и  семейству  сопряженных  с  ними  хорд. Из  образующегося  класса  кривых  выделяет  канонические  формы, в  которых  диаметры  перпендикулярны  к  сопряженным  с  ними  хордам. < 10 >

Сохранилось  еще  одно  из  многих  произведений  Аполлония  «О делении  в  данном  отношении».

Исторически  сложилось, что  на  протяжении  тысячелетий  окружность  считалась  совершеннейшей  из  всех  кривых. Поэтому  ни  у  кого  не  вызвало  сомнений, что  планеты  движутся  в  небесах  по  круговым  орбитам. Когда  же  астрономические  наблюдения  выявили  несоответствие  этих  представлений  небесным  явлениям, были  изобретены  эпициклы- окружности, движущиеся  по  окружности.  И  хотя  со  временем  от  идеи  объяснения  движения  планет  с  помощью  эпициклов  пришлось  отказаться, для  геометрии  они  представляют  огромный  интерес.

В  эпоху  возрождения  не  было  узких  ученых-специалистов. Талантливый  человек  занимался  и  философией, и  физикой, и  математикой  и  всюду  получал  интересные  результаты  и  делал  крупные  открытия.

Великий  античный  философ- «отец  логики»- Аристотель (384-322 гг. .до н.э.),занимаясь  логическим  понятием  движения, рассматривал, между  прочим, следующий  парадокс.

 Пусть  кружок (рис.1) катится  по  прямой  . Когда кружок  этот  сделает полный  оборот, точка   вернется  на  прямую    и займет  положение . При этом, как мы  знаем, отрезок будет равен длине большой окружности. Рассмотрим  начерченный малый круг  с центром . Когда точка   придет  в положение , этот  маленький круг  тоже  сделает полный  оборот  и его точка   придет  в положение . При этом  в каждый  момент  времени какая-то  одна  единственная  точка маленькой окружности  совмещается с единственной  же  точкой  отрезка . Каждой  точке окружности  соответствует единственная  точка отрезка и каждой  точке отрезка- единственная  точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой окружности  равна длине отрезка , т.е. равна длине большой окружности. Итак, круги различных радиусов  имеют окружности  одинаковой  длины! В  этом  и  состоит  парадокс  Аристотеля.

Ошибка  здесь  в  следующем. Из  того, что  каждой  точке  окружности  радиуса  соответствует единственная  точка отрезка , вовсе не  следует, что длина этой  окружности  равна . Так, например, на  рис 2 точки отрезка   приведены при помощи  лучей, проходящих  через точку , во  «взаимно  однозначное»  соответствие  с точками вдвое большего  отрезка , но  никому  в голову  не  придет  утверждать, что отрезки   и   имеют одинаковую  длину. Это же  относится не  только  к отрезкам  прямых, но  и кривых  линий. Парадоксу Аристотеля  можно придать следующую, более глубокую, а потому  и более ясную форму: рассмотрим  две концентрические окружности (рис.3). На  них «поровну» точек: соответствующие точки соединены прямыми линиями (радиусами). И все же  никто не  станет  утверждать, что длины этих  окружностей одинаковы.

 Сравнение  рисунков 1 и 4 приводит  нас  к  очень  важному  выводу. Возможно  два  типа  качения  окружности  по  прямой. Один  тип  имеет  то  свойство, что  в  любой  момент  времени  (при  любом  положении  производящего  круга)  длина  дуги    на  рис 4 равна длине отрезка . Для другого типа  качения, изображенного на  рисунке 1, где малый круг  радиуса   катится по  прямой    это свойство  не  выполняется. В первом  случае  говорят, что окружность  катится по  прямой  без скольжения. Во  втором  говорят, что окружность  не  только  катится, но и скользит  по  прямой  . Если  мы  будем рассматривать качение без скольжения, то  получим циклоиду (рис.4).

Аристотель  рассматривал  именно  то  движение, которое  через  1900 лет  привело  Галилея  к  открытию  циклоиды, а  после  и  многих  кривых, которые были открыты  другими учеными. < 1 >

Общими  свойствами   алгебраических   кривых  успешно   занимался  Ф. Николь (1731г.). Специальные  мемуары  на  эту  тему  издали  Маклорен  (1720г.), Мопертюи  (1731г.), Брекенридж  (1733г.) и  др. Впоследствии  кривым  были  посвящены  работы  Штейнера, Сальмона, Сильвестра, Шаля, Клебша.

 

§2. Простейшие  кривые

Прямая и окружность

Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные  по своим свойствам кривые. Любой  человек знаком с прямой и окружностью  больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему  хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат  на трех прямых, пересекающихся в одной  точке 5 (рис. 1), то тогда три точки  М, К., L пересечения соответственных  сторон треугольников АВ с А'В', ВС с В'С' и АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?

            

 Рис. 1.                              Рис. 2.

Известно, что точка М, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F₁ и F₂ той же плоскости, т. е. так, что MF₁= MF₂; описывает прямую (рис. 2). Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если ее расстояние до точки F₁ будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F₂ (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точка М движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F₁ и F₂ плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки: MF₁ = k MF₂, то М будет описывать либо прямую (k=1), либо окружность ().

 

                               Рис. 3.

   Парабола

Парабола – одно из конических сечений. Эту кривую можно определить как фигуру состоящую из всех точек  М плоскости, расстояние которых  до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до заданной прямой L , называемой директрисой параболы (рис). 

Ближайшая к директрисе точка  параболы называется вершиной параболы; прямая, проходящая через фокус перпендикулярно  директрисе, - это ось симметрии  параболы. Её называют просто осью параболы.

Гипербола

По аналогии с эллипсом можно  строить кривые, описываемые точкой М так, что остается неизменной не сумма, а разность расстояний до двух определенных точек F₁ и F₂ или произведение, или, наконец, частное таких расстояний (в последнем случае получается окружность).

Равносторонняя  гипербола

График обратной пропорциональности

Читатели знакомы с определением гиперболы как графика обратной пропорциональной зависимости. Как  будет видно, это - определение частного вида гиперболы - равносторонней гиперболы (происхождение такого названия выяснится  позже). Именно этой кривой мы посвящаем  первую часть статьи. Для краткости  мы будем пока называть равностороннюю гиперболу просто гиперболой.

Две переменных и называются обратно пропорциональными, если их произведение постоянно:

                                                                            (1)

Будем сначала считать их положительными (от этого ограничения мы скоро  избавимся); тогда и  . Одно из них, например , может принять любое положительное значение, тогда другое  должно принять только одно значение . Таким образом, равенство (1) представляет собою при каждом определенную функцию с областью определения и областью значений . График этой функции, изображенный на рисунке 1, называется одной ветвью равносторонней гипербол, мы для краткости будем первое время называть его просто гиперболой, не только пропуская слово «равносторонняя», но и не повторяя слов «одна ветвь».

Наше определение опирается  на понятие графика функции. Можно, однако, принять другую, «чисто геометрическую»  формулировку: гиперболой называется множество четвертых вершин прямоугольников заданной площади , у которых одна вершина совпадает с вершиной данного прямого угла, а две - и – лежат на его сторонах (см. рис.1).