Лекции по "Алгебре"

    Раздел 1. Булева алгебра

    Тема 1.1. Понятие системы исчисления по любому основанию, двоичная система.

    Под системой счисления будем понимать правила записи натуральных чисел. Для записи чисел мы пользуемся десятичной позиционной системой. В каждой системе счисления некоторые символы служат для обозначения некоторых чисел, эти знаки называются узловыми. В нашей системе счисления узловыми являются цифры от 0 до 9. В древнеримской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000: I, V, Х, L, C, D, M.

    Если  значение числового знака зависит  от его расположения в записи числа, то система называется позиционной. Из истории математики известны системы счисления основанием, которых были числа, отличные от десяти. Например, у древних вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60. У мойри (коренные жители Новой Зеландии) была принята 11-ричная система счисления. С применением некоторых этих систем счисления мы встречаемся и по сей день. Например, календарь – 12-ричная система счисления. Сутки делятся на 24 часа.

    Введем  понятие n-ричной системы счисления. Это система счисления, в которой  любое число представимо в  виде:

    

    и для всех чисел от 0 до n-1 ставится в соответствие n различных знаков – цифр.

    В ЭВМ применяется двоичная система счисления  ее цифры {0,1}. Это связано с особенностями хранения данных в ЭВМ. Для кодирования часто применяется 16-ричная система счисления, ее цифры 0-9, A,B,C,D,E,F.

    Способ  перекодирования рассмотрим на примере  двоичной системы.

    

    27₁₀ = 11011₂ 

    Обратный  переход:

          1*16+1*8+0*4+1*2+1=16+8+2+1=27₁₀

    В дальнейшем, рассматривая двоичную систему  счисления, мы будем пользоваться несколькими  обозначениями, в зависимости от удобства в контексте. Возможные значения {0; 1}, {И, Л}, {TRUE, FALSE}, {Да, Нет}, {«Включено», «Выключено»} говоря об истинном или ложном значении выражения.

    Тема 1.2. Понятие высказывания, простые и составные высказывания

    Каждая  математическая дисциплина имеет свою собственную область объектов, которую  она изучает. Например, геометрия изучает геометрические фигуры, математический анализ изучает функции, арифметика – числа. Основным объектом изучения алгебры высказываний, алгебры логики или Булевой алгебры являются высказывания.

    Мы  будем понимать под высказыванием такое утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Когда суждение, являющееся содержанием какого-либо высказывания, истинно, то и высказывание истинно, и наоборот, если суждение ложно, то и высказывание ложно. В традиционном исчислении высказываний исследуются высказывания, которые или истинно или ложно, и ни одно высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.

    Например:  20 > 5

                      Москва – столица  России

                      Берлин – один из крупнейших городов Франции

                      Сколько Вам лет? – это не высказывание.

    Любое высказывание будем рассматривать  с точки зрения их истинности или  ложности (их логического значения, пренебрегая их житейским смыслом, всеми нюансами мысли, характерными для обычной устно или письменной речи).

    В логике высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логики данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями. Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, и определим формальные правила обращения с высказываниями. Считая, что если А = 0 , то высказывание ложно и наоборот. Однозначность построения формул и определения порядка действий будем достигать использованием скобок () – это технические знаки.

    Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквой латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным высказыванием. Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. никакое другое высказывание не входит в него в качестве его части.

    Единственное  свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, является его истинностное значение. Никакого другого, конкретного содержания элементарное высказывание не имеет.

    Заметим, что выражения типа «В том году был хороший урожай хлебов» и  «Целое число n является простым» не могут считаться высказываниями, поскольку о них нельзя сказать истинны они или ложны. Дело в том, что такие выражения включают в свой состав переменную («том» и «n») и лишь в зависимости от значения этой переменной они превратятся в истинное или ложное утверждение, и только после этого станут высказываниями. Такие выражения называются пропозициональными переменными.

    Основоположником  формальной логики считается древнегреческий  философ Аристотель, впервые разработавший теорию дедукции. Ему принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой и структурой, независимо от конкретного содержания. Вторым витком развития логики стали работы ирландского математика Джорджа Буля (1815 – 1864), работавшего в университете города Корк, отца писательницы Этель Лилиан Войнич. С именем Буля связана революция в логике, она приобрела письменность, появился новый тип алгебры. Другие имена, связанные с этой теорией: Раймундо Луллий (испанский философ, монах–отшельник 12–13 вв), Б. Спиноза, Н. Винер.

    Тема 1.3. Операции на множестве высказываний.

    Из  элементарных высказываний можно составлять сложные высказывания с помощью  логических операций. Чтобы уметь однозначно выявить истинное значение сложных высказываний, строго определим логические операции. Единственное свойство сложного высказывания, которое нас интересует, это его истинностное значение. Никакого другого, конкретного содержания сложное высказывание не имеет. Элементарные высказывания, входящие в состав сложного высказывания, связываются логическими операторами не по смысловому описанию, а только по их истинностным значениям. Следовательно, сложные высказывания являются функциями от входящих в них элементарных высказываний. Все операции в логике высказываний описываются только таблицей истинности. Все языковые конструкции, которые мы будем использовать для описания той или иной операции, не более чем средство запоминания. Дадим более строгое определение

    Функция называется n–местной булевой функцией, если  каждая переменная принимает только два значения 0 или 1 и функция принимает значения в этом же множестве {0;1}.

    1. Отрицание.

      Определим унарную логическую операцию – отрицание. Для этой операции таблица истинности выглядит следующим образом:

0	1
1	0

Иллюстрацией  отрицания в естественном языке  служит частица "не", или слова "неверно, что".

Например: если мы хотим отрицать, что

            Точка М принадлежит  прямой а   (1)

Мы  скажем

            Точка М не принадлежит  прямой а   (2)

Если (1) – это высказывание , то (2) -

Обратите  внимание, что истинностные значения высказываний (1) и (2) находятся в определенной зависимости: если (1) – истинно, то (2) – ложно.

Если (1) – ложно, то (2) – истинно.

Например, покажем, что  

0	1	0
1	0	1

Это одно из свойств Булевой алгебры. Следует отметить, что отрицание составных формул не такая уж тривиальная операция. Чуть позднее мы проиллюстрируем это утверждение.

    2. Конъюнкция

    Введем  еще одну логическую операцию, определив  её словесно следующим образом. Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Эту логическую операцию называется еще логическим умножением, или логическим минимумом. Выпишем таблицу истинности для конъюнкции 

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

Свойства  конъюнкции:

     

     

В естественном языке эта операция чаще всего  интерпретируется союзом "и"

Пример: Выведем формулу счастливой любви по Шекспиру. Для этого проанализируем следующие строки:

            Увы, я никогда не слышал

            И не читал – в  истории ли, в сказке

            Чтоб  гладким был пут  истинной любви.

 Но  или разница в  происхождении

                  О горе, высшему – плениться низшей.

            Или различье в летах

                  О, насмешка!

                  Быть  слишком старым для  невесты юной

            Иль выбор близких  и друзей

                  О, мука! Но как любить по выбору чужому?

            А если выбор всем хорош  – война,

            Болезнь иль смерть всегда грозят любви.

Выделим в этом примере следующие элементарные высказывания:

             – разница в происхождении

   – разница в летах

   – выбор близких и друзей

   – Война

   – болезнь

   – смерть

 Тогда формула будет выглядеть следующим  образом

 

     Пример: Всякая система уравнений

    Представляет  собой конъюнкцию решений:

    3. Дизъюнкция

    Еще одной из логических операций является операция дизъюнкции. Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Обозначается эта операция знаком и иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так: 

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

Укажем  свойства этой операции

      

     

В качестве примера рассмотрим логический анализ решения неравенства

Обычно  рассуждают так:

Дробь больше 0 тогда и только тогда, когда  и числитель, и знаменатель >0, или  числитель и знаменатель <0. В результате этих рассуждений получаем 2 системы неравенств:

получаем  логическую формулировку

Вспомнив  пример из Шекспира, напишем логическую формулу несчастной любви

    При желании можно показать, что