Системы уравнений в школе

ОГЛАВЛЕНИЕ:

 

Введение.

 

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.

Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.

1) Основные определения.

2) Алгебраические системы.

2.1  Системы уравнений первой степени

2.2  Нелинейные системы уравнений

3)  Неалгебраические системы.

3.1 Системы, содержащие показательные уравнения

3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

 

Список литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Тема  «Системы уравнений» в школьной программе  достаточна важна как для самой  математики, так и для других наук.

По сравнению  с уравнениями  с одной переменной  системы часто оказываются более  удобным аппаратом как в самой  математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение  которых с помощью уравнений  с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью  системы уравнений с несколькими  переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без  особого умственного напряжения может быть сведено к решению  одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.

Системы уравнений решаются на протяжении всего  курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций  и их свойств, тождеств и тождественных  преобразований. Графическое решение  систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Данная  тема является также материалом для  организации повторения и систематизации знаний.

А в последние  годы, когда экзамены принимаются  в форме ГИА и  ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Анализ  сдачи экзаменов в такой форме  за прошлые годы показывает, что  с решением систем уравнений справляются  не более 25 % выпускников; особые затруднения  вызывают у них те системы, которые  можно решить только графическим  способом. Кроме того, с каждым годом  усложняются системы уравнений, которые даются в части «С»  и требуют полного развернутого ответа.

Результаты  ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.

На основании  этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации  повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.

Для достижения цели поставлены задачи:

изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;

Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;

Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения  систем уравнений школьного курса  математики.

Работа  состоит из трёх глав. В первой главе  затронуты вопросы повторения и  систематизации систем уравнений, а  также приведён обзор рассматриваемой  темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор  задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ.

 

Тема: «Системы уравнений» занимает одно из ведущих  мест в учебниках алгебры 7-11 классов  у различных авторов.

Все  школы  нашего района большинство  работают по учебнику алгебры авторов Ш.А. Алимова и др., поэтому в своей  работе я в большей степени  ссылаюсь на данный учебник.

Изучение  систем уравнений в основной школе  в учебнике авторов Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. распределяется между курсами 7,8,9 классов.

В курсе 7 класса на изучение главы: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными»  отводится 15 часов.

Основная цель: научить учащихся решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными различными способами и использовать полученные навыки при решении задач.

 

На тему «Системы уравнений» отводится 2 часа.

Цель  первого урока: ввести понятие линейного  уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с  двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы  уравнений с двумя неизвестными.

Изложение новой темы начинается с рассмотрения задачи в учебнике:

Ученик  задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа  задумал ученик?

Вводится  понятие линейного уравнения  с двумя неизвестными, системы  двух уравнений с двумя неизвестными, приводятся примеры. Далее формулируется  определение решения системы  двух уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений. При закреплении материала отрабатываются навыки выражения одной неизвестной  через другую, решаются примеры на проверку, является ли данная пара решением системы. На втором уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения более сложных упражнений, а также проверяется усвоение учащимися данной темы.

На изучение темы: «Способ подстановки» отводится 3 часа. Цель первого урока: научить  решению системы линейных уравнений  способом подстановки.

Вначале  в устной работе рассматриваются  упражнения, которые помогут учащимся при изучении нового материала:

P Выразите переменную у через :

;   ;   .

P Является ли линейной функция, заданная формулой:

;  ;  ;  ;  ?

P Назовите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения . Сколько таких решений имеет данное уравнение?

Далее рассматривается  решение задачи из учебника:

решить  систему уравнений 

Вводится  алгоритм решения системы уравнений  методом подстановки, рассматривается  решение задачи по учебнику:

решить  систему уравнений:

При закреплении  материала отрабатывается метод  на примере систем, у которых в  одном из уравнений коэффициент  при одном из неизвестных равен  единице.

На втором уроке продолжается отработка способа  подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, при этом рассматриваются системы  уравнений, содержащие дроби, скобки; проводится первичная проверка знаний по теме в виде самостоятельной работы обучающего характера.

На третьем  уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений, проводится проверка усвоения учащимися  материала.

На тему «Способ сложения» отводится  также 3 часа. Цель первого урока: научить  решению системы двух линейных уравнений  способом сложения, в необходимых  случаях приводя предварительно уравнения системы к виду:

 где  – целые числа.

Изучение  нового материала начинается с рассмотрения решения задач из учебника:

P решить системы уравнений: ,

Затем вводится алгоритм способа алгебраического  сложения, далее рассматриваются  решения задач в учебнике:

P решить системы уравнений: ,

Второй  и третий уроки проводятся аналогично урокам из предыдущей темы; на них проводится выработка навыка применения способа  алгебраического сложения к решению  систем двух линейных уравнений с  двумя неизвестными и проверка знаний по данному вопросу.

На тему «Графический способ решения систем уравнений» отводится 3 часа. Учащиеся из предыдущей главы «Линейная функция  и её график»  знают определение  линейной функции, умеют строить  её график, проводить сдвиги графика  вдоль оси ординат, читать график. Но в устной работе в начале первого  урока по теме, а также на предыдущих уроках полезно включать упражнения типа:

P Принадлежит ли графику линейной функции точка А(0;0); В(0;4); С( ; 0)?

P Проходит ли через точку А(2;6) прямая: ;  ;   ?

P Известно, что точки А(0;…); В(…;0); С(…;4) принадлежат графику уравнения . Назовите пропущенные координаты.

P Приведите пример линейной функции, график которой параллелен графику функции, заданной уравнением .

P Какие из указанных уравнений с двумя переменными являются линейными:

P В какой точке прямая пересекает ось ОХ? Ось ОУ?

 

После устной работы рассмотреть текст учебника на страницах 158-159, после чего учащиеся должны усвоить, что графиком любого уравнения  является прямая, если хотя бы одно из чисел или не равно 0. Далее ввести правило решения системы графическим способом; обратить внимание учащихся на то, что при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное значение; рассмотреть три возможных случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы. В качестве примеров рассмотреть в учебнике решения задач:

P Найти координаты точки пересечения прямых:

 и 

P Решить систему уравнений:

P Показать, что прямые и совпадают.

 

При закреплении  материала решаются задачи на нахождение координат точек пересечения  прямых с осями координат, на построение графика уравнения, на графическое  решение системы уравнений, в  одном из уравнений которой выражена неизвестное  .

На втором уроке продолжается изучение графического способа решения систем линейных уравнений, отрабатывается навык построения графиков линейных функций.

На третьем  уроке закрепляются знания учащихся в ходе выполнения упражнений, требующих  творческого отношения к работе; проводится проверка знаний по теме.

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа. На данный момент учащиеся умели решать задачи на составления уравнения с одним  неизвестным, поэтому материал данного  параграфа для них является новым. Изучение нового материала можно  начать с решения следующей задачи:

P длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22 см. Найти длину и ширину прямоугольника.

 

Сначала решаем задачу с помощью одной  переменной, при этом можно опираться  на знания учащихся по данной теме. После  этого, учитель объясняет учащимся, что при решении задач можно  вводить две переменные и составлять систему уравнений, и показывает решение данной задачи вторым способом. В заключении дается схема решения  задачи с помощью системы уравнений.

На втором и третьем уроках учащиеся закрепляют навыки решения задач методом  составления системы уравнений. На этих уроках в устную работу полезно  включать задачи такого типа:

P  На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

P  Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.

P  Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?

P  Чашка и блюдце вместе стоят 250 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найдите цену одной чашки и одного блюдца.

P  Во сколько раз алюминиевый шар тяжелее деревянного шара того же объема, если масса 1 кубического сантиметра – 2,7 грамм, а масса 1 кубического сантиметра дерева – 0,9 грамма?

P Бригада выполнила заказ за 6 дней. Сколько дней потребуется бригаде для выполнения того же заказа, если она будет работать с производительностью труда в 1,5 раза большей; в 2 раза меньшей?

Итоговая  проверка знаний по всей главе проводится в виде часовой контрольной работы.

В 8 классе в главе «Квадратные уравнения» продолжается изучение систем уравнений.

В главе  на тему  «Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени» отводится 3 часа.

Цель  этих уроков: повторить способы решения  систем уравнений; рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

В начале изучения нового материала необходимо повторить тот материал, который  учащиеся знали из 7 класса. Необходимо вспомнить различные способы  решения систем уравнений с двумя  переменными, особое внимание уделив способу  подстановки.

Затем изучить  материал на странице 137, разобрав решение  задачи из учебника:

P гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см². Найти катеты.

Далее учитель  объясняет решение способом подстановки  системы уравнений задачи из учебника :

P решить систему уравнений:

На закрепление  материала рассматриваются системы  уравнений, одно из которых линейное и имеющее коэффициент при  каком-то неизвестном, равный единице.  На этом же уроке рассматриваются  простейшие задачи, типа: даны сумма  и произведение чисел. Найти эти  числа.

Цель  второго урока: закрепить у учащихся знание решения систем уравнений  второй степени способом подстановки  и способом сложения.

На третьем  уроке учащиеся упражняются в  решении более сложных систем уравнений, а также использовании  систем при решении задач. На этом же уроке проводится проверка знаний по данной теме.

В 9 классе  в главе «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» продолжается изучение систем уравнений.

На тему «Системы нелинейных уравнений с  двумя неизвестными» отводится 3 часа. Данная тема не является для учащихся новой. Из 7 класса они умеют решать системы линейных уравнений, знают  различные способы решения систем. Из 8 класса учащиеся знакомы с системой уравнений, в которых одно уравнение линейное, а другое второй степени или оба уравнения второй степени. Поэтому начать первый урок по теме целесообразно с повторения данного материала, рассматривая это на конкретных примерах. Затем решить методом подстановки систему уравнений: .