Лекции по "Физике"

где j_m – плотность потока массы – величина, определяемая массой вещества диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x, D – коэффициент диффузии, dr / dx – градиент плотности, определяемый скоростью изменения плотности на единицу длины x в направлении нормали, построенной в данной площадке. Знак «–» показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности. Коэффициент диффузии численно равен плотности потока массы при градиенте плотности равном единице. Согласно кинетической теории газа,

3) Внутреннее трение (вязкость).

Механизм возникновения внутреннего  трения между параллельными слоями газа или жидкости, движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего, импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее, увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и к ускорению слоя, движущегося медленнее. Сила внутреннего трения между двумя слоями газа или жидкости подчиняется закону Ньютона

где h – динамическая вязкость, dv / dx – градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении оси x перпендикулярно направлению движения слоев, S – площадь, на которую действует сила F.

Взаимодействие двух слоев, согласно второму закону Ньютона, можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (5) можно представить в виде

где j_p – плотность потока импульса – это величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси x через единичную площадку, перпендикулярную этой оси, dv / dx – градиент скорости. Знак «–» указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости.

Динамическая вязкость численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости равном единице. Ее можно вычислить по формуле

Из сопоставления формул (1), (6), (3), описывающих явление переноса, следует, что закономерности всех явлений сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из МКТ, позволившей установить, что внешние сходства их математических выражений обусловлены общностью, лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии внутреннего трения молекулярного механизма – перемешивание молекул в процессе их хаотического движения и столкновения друг с другом.

Рассмотренные законы Фурье, Фика и  Ньютона не вскрывают молекулярно  кинетического смысла коэффициентов l, D и h. Выражения для коэффициентов переноса записаны без вывода, т.к. строгое рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное не имеет смысла.

Формулы (2), (4) и (7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового  движения молекул. Используя эти формулы, можно по найденным из опыта данным зная одни величины определить другие.

ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ  МОЛЕКУЛ. ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ.

Важной характеристикой термодинамической  системы является ее внутренняя энергия u. Энергия хаотического теплового движения микрочастиц системы, молекул, атомов, электронов, ядер и т.д., а также энергии взаимодействия этих частиц.

К внутренней энергии не относятся  кинетическая энергия движения системы  как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия – это однозначная функция термодинамического состояния системы, т.е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией, и она не зависит от того, как система пришла в данное состояние. Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренних энергий этих состояний и не зависит от пути перехода.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число независимых переменных или координат, полностью определяющих положение системы в пространстве, называется числом степеней свободы.

В ряде задач молекулу одноатомного газа рассматривают как  материальную точку, которой приписывают  три степени свободы поступательного  движения. В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформированной связью. Эта система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы. Трехатомные и многоатомные нелинейные молекулы имеют число степеней свободы равное 6. Т.к. жесткой связи между атомами не существует, то для реальных молекул необходимо учитывать степени свободы колебательных движений. Независимо от общего числа степеней свободы молекул, три всегда являются поступательными; ни одна из поступательных не имеет преимущество перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная ¹/₃ кинетической энергии молекулы

Таким образом,

В классической статистической физике выводится закон Больцмана о  равномерном распределении по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная одной второй k×T, а на каждую колебательную – в среднем энергия, равная k×T.

Колебательная степень обладает вдвое  большей энергией, потому что на нее приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, причем, среднее значение кинетической и  потенциальной энергии равны. Таким  образом,

i – число степеней свободы. Т.к. потенциальная энергия равна нулю для идеального газа (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия, отнесенная к 1 молю газа, будет определяться по формуле:

Лекция 7

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

Рассмотрим термодинамическую  систему, для которой механическая энергия не изменяется, а изменяется лишь ее внутренняя энергия. Допустим, что некоторая система, например газ, заключенный в цилиндр под  поршнем, обладает внутренней энергией, и получила некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризующееся внутренней энергией U₂, совершила работу A над внешней средой, т.е. против внешних сил. Количество теплоты считается положительным, если оно подводится к системе, а работа считается положительной, если система совершает ее против внешних сил. В соответствии с законом сохранения энергии, при любом способе перехода системы из первого состояния во второе

DU = U₂ – U

будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты, полученном системой, и работой, совершаемой системой против внешних сил.

DU = Q – A, или

Q = DU + A               (1).

Уравнение (1) выражает Первое начало термодинамики: теплота, сообщенная системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и совершение ею работы против внешних сил.

В более точном виде

dQ = dU + dA, где

dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии, dA – элементарная работа, dQ – бесконечно малое количество теплоты.

Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то изменение внутренней энергии равно нулю, тогда согласно I началу термодинамики Q = A, т.е. вечный двигатель первого рода – периодически действующий двигатель, который совершал бы работу большую, чем сообщенная ему извне энергия, что невозможно! Это является еще одной формулировкой I начала термодинамики.

 

ТЕПЛОЕМКОСТЬ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Удельная теплоемкость вещества – величина равная количеству теплоты, необходимому для нагревания одного килограмма вещества на 1 Кельвин.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Молярная теплоемкость – это величина равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 Кельвин.

Согласно I началу термодинамики     dQ = dU + dA.

Для одного моля вещества можем записать

C_m×dT = dU_m + P×dV_m.

Если газ нагревается при постоянном объеме, т.е.   P×dV_m = 0, тогда получим

т.е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме равна  изменению внутренней энергии 1 моля газа при повышении температуры  на 1 Кельвин.

Если газ нагревается  при постоянном давлении, то

Т.к. первое слагаемое  не зависит от вида процесса, потому что внутренняя энергия идеального газа не зависит от P и V, а определяется лишь температурой, и при этом всегда равна C_V,

то, используя уравнение  Менделеева-Клапейрона, записанное в  виде   P×dV_m = R×dT,   получим

Формулы (3) и (4) выражают уравнение Майера для газов. Форма  записи (3) показывает, что C_P всегда больше C_V на величину молярной газовой постоянной. Следовательно, при нагревании газа при постоянном давлении требуется дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа. При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение C_P к C_V

Для одноатомных газов  молярная теплоемкость определяется лишь числом степеней свободы и не зависит  от температуры, но уже в двухатомных  газах число степеней свободы, проявляющиеся  в теплоемкости, зависит от температуры.

Из качественной экспериментальной  зависимости молярной теплоемкости C_V водорода следует, что C_V зависит от температуры – при низкой, порядка 50 К, C_V = ³/₂R, при комнатной – C_V = ⁵/₂R, и при очень высокой C_V = ⁷/₂R.

Это можно объяснить, предположив, что при низких температурах наблюдается только поступательное движение, при комнатной добавляется их вращение, а при высоких – колебание молекул. При вычислении теплоемкости необходимо учитывать квантование энергии, вращение и колебание молекул, т.к. возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а определенный дискретный ряд значений энергии.

Если энергии теплового  движения недостаточно, например для  возбуждения колебаний, то эти колебания  не вносят своего вклада в теплоемкость, потому что соответствующая степень свободы «замораживается» и к ней не применим закон равнораспределений энергии по степеням свободы. Поэтому теплоемкость двухатомного газа при комнатной температуре равна ⁵/₂R, а не ⁷/₂R.

ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА ИЗОПРОЦЕССОВ.

1) Изохорный процесс (V = const).

При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами

dA = P×dV,

поэтому   dQ = dU,   а для произвольной массы газа

2) Изобарный процесс (P = const).

При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V₁ до V₂

Использовав уравнение  Менделеева-Клапейрона для двух состояний

При этом газ совершает  работу

Из (1) вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если разница температур равна 1 К, то для одного моля газа R равна работе изобарного расширения одного моля газа при нагревании его на 1 К. При сообщении газу массой m количества теплоты

его внутренняя энергия  возрастает на величину

3) Изотермический процесс (T = const).

Используем уравнение  Менделеева-Клапейрона для работы газа:

При   T = const     dU = 0, следовательно

Следовательно, для того, чтобы при расширении газа температура не повышалась к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты эквивалентно внешней работе расширения.

 

4) Адиабатический процесс.

Это процесс, при котором  отсутствует теплообмен с окружающей средой, следовательно, dQ = 0. К адиабатическим процессам можно отнести все быстро протекающие процессы. Например, процесс распространения звука в среде. Скорость распространения звука настолько велика, что процесс обмена энергией между звуковой волной и средой произойти не успевает и т.д. и т.п.

Из I начала термодинамики получают, что dA = –dU, т.к. dQ = 0, т.е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы. Для произвольной массы газа имеем:

Если продифференцировать уравнение Менделеева-Клапейрона, то получим