Лекции по "Физике"

Исключив T, получим

Интегрирую обе части  от P₁ до P₂ и от V₁ до V₂, получим

Т.к. состояния 1 и 2 выбраны  произвольно, то можно записать, что

P×V ^g = const.

Полученный результат  есть уравнение адиабатического  процесса, или уравнение Пуассона. Перейдя к переменным T и V или к переменным P и T, используя уравнение Менделеева-Клапейрона, получим

T×V  ^g–1 = const;     T ^g×P ^1–g = const.

Эти формулы тоже выражают уравнение Пуассона, только в других параметрах.

Для одноатомных газов i = 3, g = 1,67; для двухатомных газов i = 5, g = 1,4.

Значение g, вычисленное по формуле, хорошо подтверждается экспериментом.

Диаграмма адиабатического  процесса изображается гиперболой.

Вычислим работу, совершаемую  газом в адиабатическом процессе. Если газ адиабатически расширяется  от V₁ до V₂, то его температура уменьшается от T₁ до T₂.

Произведя некоторые преобразования, можно перейти к виду

Работа, совершаемая газом  при адиабатическом расширении, меньше, чем при изотермическом. Это можно  объяснить тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом – температура поддерживается постоянно за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.

Рассмотренные процессы имеют общую особенность –  они проходят при постоянной теплоемкости; в первых двух процессах они соответственно равны C_V и C_P. При изотермическом процессе dt = 0, теплоемкость равна ±¥. В адиабатическом процессе dQ = 0, следовательно, теплоемкость тоже равна нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Процесс, при котором теплоемкость остается постоянной, называется политропным.

Исходя из I начала термодинамики, при условии, что теплоемкость постоянна, выводится уравнение политропы:

Очевидно, что при  C = 0   n = g,  получаем уравнение адиабаты. При C = ¥   n = 1,  получаем уравнение изотермы. При C = C_P   n = 0,  получаем уравнение изобары. При  C = C_V   n = ±¥,  получаем уравнение изохоры. Таким образом, все процессы являются частным образом от изотропного процесса.

КРУГОВОЙ ПРОЦЕСС. ОБРАТИМЫЕ И  НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Круговым процессом, или циклом, называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное.

На диаграмме процессов  цикл изображается замкнутой прямой. Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения 1-2 и сжатия 2-1 газа.

Работа, совершаемая за циклом, определяется площадью охватываемой замкнутой кривой.

Если за цикл совершается  положительная работа

т.е. цикл протекает по часовой стрелке, то он называется прямым. Если за цикл совершается отрицательная  работа

т.е. цикл протекает против часовой стрелки, то он называется обратным.

Прямой цикл используется в тепловых двигателях – это периодически действующие двигатели, совершающие  работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах – это периодически действующие установки, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.

В результате кругового  процесса система возвращается в  исходное состояние, поэтому

В результате процесса система  может теплоту, как получать, так  и отдавать, поэтому

Q = Q₁ + Q₂,

где Q₁ – количество теплоты, полученное системой, Q₂ – количество теплоты, отданное системой. Поэтому коэффициент полезного действия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Термодинамический процесс называется обратным, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем, если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении, и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, называется необратимым.

Любой равновесный процесс  является обратимым. Обратимость равновесного процесса, проходящего в системе, следует из того, что любое промежуточное состояние есть состояние термодинамического равновесия – для него безразлично идет процесс в прямом или обратном направлении. Реальные процессы сопровождаются диссипацией энергии, изотрением, теплопроводностью и т.д., которые нами не обсуждаются.

Обратимые процессы –  это идеализация реальных процессов. Их рассмотрение важно по двум причинам:

1) многие процессы в природе и технике практически обратимы;

2) обратимые процессы являются наиболее экономичными, имеют максимальный коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения КПД реальных тепловых двигателей.

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ  ЭНЕРГИЯ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

Модель идеального газа, используемая в МКТ газов, позволяет описывать поведение разряженных газов при достаточно высоких температурах и низких давлениях.

При высоких давлениях  и низких температурах модель идеального газа не пригодна. При рассмотрении реальных газов, свойства которых зависят  от взаимодействия молекул, необходимо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия. Они проявляются на расстояниях меньших или равных 10^–9 метра и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы называются короткодействующими.

В 20 веке, по мере развития представлений о строении атома и квантовой механики, было выяснено, что между молекулами вещества одновременно действуют силы притяжения и силы отталкивания.

Приведем качественную зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояний между  молекулами.

Считается, что  сила отталкивания есть положительная  сила, т.е. больше нуля, а сила притяжения – отрицательная сила, т.е. меньше нуля.

На расстоянии  r = r₀  модули сил притяжения и сил отталкивания равны, т.е. уравновешены. r₀ – это расстояние между молекулами, на котором они находились бы в отсутствии теплового движения, или, по-другому, равновесное расстояние.

На расстоянии 10^–9 м силы межмолекулярного взаимодействия отсутствуют или стремятся к нулю. Элементарная работа dA силы F при увеличении расстояния между молекулами на величину dr совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул, т.е.

dA = F×dr = –dП.

Из анализа качественной зависимости при   r ® ¥   потенциальная энергия равна нулю.

При постепенном сближении  молекул между ними появляются силы притяжения, которые меньше нуля и которые совершают работу больше нуля. Тогда потенциальная энергия взаимодействия уменьшается, достигая минимума при  r = r₀. При дальнейшем уменьшении r силы отталкивания, которые больше нуля, резко возрастают и совершаемая против них работа отрицательна, т.е. меньше нуля. Потенциальная энергия начинает резко возрастать и становится положительной.

 

 

 

Из данной потенциальной  кривой следует, что система из двух взаимодействующих молекул в  состоянии устойчивого равновесия обладает минимальной энергией.

Критерием различных  агрегатных состояний вещества является соотношение между величинами П_min и k×T. П_min определяет работу, которую необходимо совершить против сил притяжения для того, чтобы разъединить молекулы, находящиеся в состоянии равновесия при r = r₀. k×T определяет удвоенную среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы хаотического теплового движения молекул. Если  П_min >> k×T,  то вещество находится в твердом состоянии, т.к. молекулы, притягиваясь друг к другу, не могут удалиться на значительные расстояния и колеблются около положения равновесия, определяемого расстоянием r₀.

Если  П_min » k×T, то вещество находится в жидком состоянии, т.к. в результате теплового движения молекулы перемещаются в пространстве обмениваясь местами, но не расходясь на расстоянии превышающее r₀.

Если  П_min << k×T, то вещество находится в газообразном состоянии, т.к. интенсивное движение молекул, т.е. тепловое, препятствует соединению молекул, сблизившихся до расстояния r₀, т.е. вероятность образования агрегатов из молекул достаточно мала.

Таким образом, любое  вещество в зависимости от температуры  может находиться в газообразном, жидком или твердом агрегатном состоянии, причем температура перехода зависит  от П_min для данного вещества.

 

 

 

Лекция 8

УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА.

Учитывая собственный  объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия, галандский физик Ван-дер-Ваальс вывел уравнение состояния реального  газа. Ван-дер-Ваальсом в уравнение  Клапейрона-Менделеева введены две поправки.

1) Учет собственного  объема молекул, наличие сил  отталкивания, которые противодействуют  проникновению в занятый молекулой  объем других молекул, сводится  к тому, что фактически свободный  объем, в котором может двигаться  молекула реального газа, будет не V_m, а V_m – b,  где b – объем, занимаемый собственными молекулами. Объем b равен учетверенному собственному объему молекул. Если, например, в сосуде находится две молекулы, то центр любой из них не может приблизиться к центру другой молекулы на расстояние меньше диаметра молекул. Это означает, что для центров обеих молекул оказывается недоступным сферический объем радиуса d, т.е. объем равный восьми объемам молекул, или учетверенному объему молекулы в расчете на одну молекулу.

2) Действие сил притяжения газа приводит к появлению давления на газ, называемого внутренним давлением.

По вычислениям Ван-дер-Ваальса  внутреннее давление обратно пропорционально  квадрату молярного объема:

где a – постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного притяжения.

Вводя эти поправки, получим  уравнение Ван-дер-Ваальса для  моля газа, или уравнение состояния  реальных газов:

Для произвольного количества вещества газа получим:

где a и b – постоянные для данного газа величины, определяемые опытным путем. Для этого записывается уравнение Ван-дер-Ваальса для двух известных состояний газа и система решается относительно a и b.

При выводе уравнения  Ван-дер-Ваальса сделан целый ряд упрощений, поэтому оно тоже является весьма приближенным, хотя и лучше, особенно для сильно сжатых газов, согласуется с опытами, чем уравнение состояния идеального газа.

 

ИЗОТЕРМЫ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА.

Для исследования поведения  реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ваальса – это кривые зависимости P от Vm при заданных температурах. Эти кривые рассматриваются для четырех различных температур.

При высоких температурах, больших, чем T_K, изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы. При некоторой температуре T_K имеется лишь одна точка перегиба K. Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура T_K – критической температурой, точка перегиба K – критической точкой, в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке параметры V_K и T_K тоже называются критическими. Состояние с критическими параметрами P_K, V_K и T_K называется критическим состоянием.

Для исследования характера  изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса к виду:

Это уравнение при  заданных P и T является уравнением третьей степени относительно V_m, следовательно оно может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых, причем физический смысл имеют лишь вещественные положительные корни, поэтому первому случаю соответствует изотерма при низких температурах, второму случаю – изотерма при высоких температурах.

 

 

 

Рассматривая различные  участки изотерм при T < T_K, видим, что на участках 1-3 и 5-7 при уменьшении объема давление возрастает, что является естественным. На участке 3-5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления. Практика показывает, что такие состояния в природе не существуют. Наличие участка 3-5 означает, что при постоянном изменении объема вещество не может оставаться все время в виде одной среды. В некоторый момент должно наступить скачкообразное изменение состояния и распад вещества на две фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7-6-2-1. Часть 6-7 отвечает газообразному состоянию, часть 2-1 – жидкому. В состоянии 6-2 наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз вещества.

Вещество в газообразном состоянии при температурах меньших T_K называется паром, а пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным. Для нахождения критических параметров подставим их в уравнение (1)