Шпаргалка по "физике"

.

Для кристалла в направлении максимума полная амплитуда равна: , а интенсивность:

.

Комптоном было предложено следующее  толкование этих формул для интенсивности. Суть его в следующем. В классическом толковании предполагалось, что все рассеянное излучение имеет ту же длину волны, что и первичное. В действительности значительная доля излучения имеет увеличенную длину волны. Это некогерентное рассеяние. Оно не играет роли в формировании дифракционных максимумов. Некогерентное излучение создает только фон. Излучение, рассеянное газом, содержит большую долю некогерентного излучения, так как когерентное излучение не усиливается совпадением фаз волн, рассеянных разными атомами.

При рассеянии кристаллом когерентное излучение усиливается  интерференцией  волн, рассеянных разными  атомами, находящимися в узлах кристаллической  решетки. Некогерентное излучение  составляет лишь незначительную часть  от интенсивности дифракционных  максимумов.

Формулу, полученную для интенсивности  рассеяния одним атомом газа, можно  интерпретировать, по предложению Комптона, так: первое слагаемое  определяет некогерентную часть излучения, второе слагаемое определяет когерентное рассеяние, отнесенное к одному атому.

Таким образом, полное рассеяние  атомом, независимо от расположения его  в газе или кристалле, определяется выражением:

.

В случае совокупности из N атомов, расположенных в кристаллической решетке, в определенных направлениях значительно усиливается когерентная часть излучения за счет правильных фазовых соотношений между атомами и по сравнению с ней некогерентная чать является очень малой.

 

Квантово-механическое представление функции атомного рассеяния

Недостатком классической теории рассеяния является необходимость  использования таких понятий, как  точное положение и скорость электрона  в данный момент. С точки зрения квантовой теории принципиально  невозможно определить одновременно скорость и положение частицы, так как  точное определение положения подразумевает  взаимодействие частицы с излучением, а это взаимодействие будет изменять импульс частицы.

Квантово-механические методы расчета дают нам возможность  определения вероятности нахождения электрона в данной области пространства, если задано действующее на них поле сил. Для решения этой задачи составляется волновое уравнение, соответствующее  воздействию возмущающего поля, т.е. рентгеновского излучения. Решение  такого уравнения дает возмущенную  волновую функцию, которая может  быть представлена как некоторая  комбинация волновых функций, удовлетворяющих  невозмущенному уравнению. Коэффициенты в этой комбинации есть вероятностные  функции, определяющие вероятность  того, что в результате возмущения атом окажется в определенном состоянии. Задача сводится к определению этих коэффициентов.

Рассмотрим без проведения расчетов результаты, касающиеся рассеяния  рентгеновских лучей атомами  какого-то элемента.

1. Когерентное рассеяние одноэлектронным атомом.

Когерентное рассеяние связывается  с процессами, при которых электрон остается в одном и том же энергетическом состоянии. Предположим, что частота падающего излучения ω велика по сравнению с собственными частотами излучения атома.

При этом предположении интенсивность  рассеянного когерентного излучения  на расстоянии, равном единице, выражается формулой (без вывода):

.

Формула приведена для  неполяризованного излучения, в  связи с чем присутствует множитель . Сравнивая с рассеяние на свободном электроне, можем записать выражение для функции атомного рассеяния:

 

Таким образом, есть функция атомного рассеяния когерентного излучения, когда атом находится в состоянии n. Если сравним это выражение с формулой для классической теории

r,

то можно  заметить, что оба выражения идентичны, если r положим равным , т.е. воспользоваться для вероятности нахождения электрона в данной части атома функцией , вычисленной методами квантовой механики. Величину можно трактовать как классическую плотность рассеивающих зарядов. При этом нормировано таким образом, что

.

Радиальная  плотность заряда равна p.

2. Некогерентное рассеяние одноэлектронным атомом.

Некогерентное рассеяние  связано с процессами, при которых  атом переходит из состояния m в состояние n. Интенсивность излучения, связанного излучения связанного с этим переходом, определяется выражением:

,

Где ω’=ω-ω_nm есть частота рассеянного излучения. Некогерентная часть рассеянного излучения получается суммированием по всем значениям m, за исключением n:

.

3. Полная интенсивность рассеянного излучения, включая когерентную часть, получается путем суммирования по всем значениям m:

 

4. Рассеяние многоэлектронным атомом.

Волновые функции, соответствующие  стационарным состояниям многоэлектронного  невозмущенного атома, имеют вид:

,

где - функция координат всех электронов, положения которых заданы векторами ; - энергия состояния n. Эти волновые функции являются решением волнового уравнения, когда возмущающее поле равно нулю.

Определим как вероятность того, что одновременно электрон 1 находится на расстоянии r₁ внутри объема dV₁, электрон 2 – на расстоянии r₂ внутри объема dV₂ и т.д. При этом .

Предположим, что  проинтегрирована по координатам всех электронов, за исключением координат электрона К. Результат интегрирования даст вероятность того, что электрон K находится внутри элемента объема на расстоянии _К, при этом все остальные электроны расположены произвольно. Получим величину, которую можно принять в качестве меры средней плотности заряда на расстоянии _К, обусловленную электроном K. Ее можно записать так:

r,

 означает, что интеграл берется  по координатам всех электронов, за исключением K-го.

Функция r, проинтегрированная по координатам электрона K, равна 1:

r

Функция r определяет вклад K-го электрона в функцию атомного рассеяния. Поэтому функция атомного рассеяния когерентного излучения многоэлектронного атома имеет вид:

 

 

Интеграл берется по всем 3z координатам электронов.

Полная интенсивность  рассеянного излучения (когерентного и некогерентного) получится суммированием  по всем возможным состояниям электронов:

 

Предполагается, что первоначально  атом находился в состоянии n, а сумма берется по всем возможным волновым функциям атома .

Слагаемое с n=m дает интенсивность когерентного рассеяния. Точное решение волнового уравнения для атома с несколькими электронами затруднено, поэтому обычно пользуются определенными приближенными решениями.

Одним из таких приближений  является представление полной волновой функции  в виде произведения z волновых функций отдельных электронов. Это допустимо, если можно пренебречь энергией взаимодействия электронов или учесть это взаимодействие приближенными методами:

 

В этом приближении функция  атомного рассеяния примет вид:

.

Таким образом, в этом случае функция атомного рассеяния  для всего атомя является суммой f –функций рассеяния отдельных электронов. Это очень удобно для расчетов. Формула для полной интенсивности рассеянного излучения (когерентного и некогерентного) приведется к виду:

,

где и - функции рассеяния электронных волновых функций и .

Обратим внимание на то, что  полное рассеяние от атома, рассчитанное по классической теории, формально  совпадает с выражением, рассчитанным по квантовой теории, если полную волновую функцию атома представить в  виде произведения волновых функций  отдельных электронов.

Однако в таком приближении  допускается некоторая вольность, которая заключается в том, что  каждому электрону сопоставляется определенная волновая функция. По квантовой  теории идентификация отдельно взятого  электрона невозможна, т.к. любая  перестановка электронов между любыми z волновыми функциями отвечает одной и той же энергии. Белее правильной волновой функцией является линейная функция z произведений волновых функций отдельных электронов, соответствующих всем возможным перестановкам z электронов среди волновых функций.

Полная волновая функция  также должна удовлетворять принципу Паули, согласно которому два электрона  не могут занимать одинаковые состояния, т.е. иметь одинаковые волновые функции. Это можно учесть, елси представить  Ψ в виде определителя, имеющего z строк и столбцов:

,

где индексы указывают номера различных волновых функций, а число в скобках – номера электронов.

Совпадение двух электронных  волновых функций (в определители совпадут две строки) даст нулевое значение полной волновой функции атома. Таким  образом, полная волновая функция, взятая в форме определителя, отражает, во-первых, тот факт, что мы не можем  различать отдельные электроны, и, во-вторых, что никакие два электрона  не могут находиться в одинаковых состояниях.

Такое представление волновой функции дает выражение для полной интенсивности рассеянного излучения (когерентного и некогерентного):

,

 

Где , здесь интеграл берется по координатам какого-то одного электрона. Обычно величина мала.

Запишем иначе выражение  для полной интенсивности:

 

Оно отличается от классического выражения только последним членом, обусловленным  запрещенными переходами.

 

Расчет f – кривых по распределению заряда

Допустим, что задача вычисления функции распределения плотности заряда U(r) тем или иным способом решена. Рассмотрим, каким образом характер изменения плотности заряда определяет зависимость функции атомного рассеяния от угла рассеяния и длины волны излучения.

Вычисление f означает нахождение интеграла

mm, где mp.

Возьмем конкретный пример: расчет для иона калия (К⁺), для которого функция U(r) определена Харти по методу самосогласованного поля.

На рисунке показана зависимость  функции mm от r при различных , а также зависимость функции радиального распределения заряда для 3p электронов. Цифры около кривых mm показывают значения величины .

Нужно при определенных значениях r перемножить ординаты кривых U(r) и mm. На рисунке показан результат перемножения ординат для функции 3p электронов, для разных .

Обратим внимание на то, что  при больших значениях  имеют место отрицательные участки кривых. При вычислении интеграла или определения площадей под кривыми это даст малые значения f – кривых для 3p группы электронов, а также других групп электронов иона калия.

 

Основные выводы из рассмотрения этих кривых можно сформулировать так:

1. При больших углах θ вклад в функцию рассеяния электронов внешних слоев невелик. Наиболее существенный вклад вносят внутренние слои. Поэтому при больших углах рассеяния, которые используются в эксперименте, оказывается невозможным определить, является ли узел кристалла атомом или ионом.
2. При малых углах θ вклад внешних электронов значителен. Однако при рассеянии под малыми углами проявляется много побочных эффектов, связанных со структурой реального кристалла, которые тоже не позволяют из экспериментальных данных оценить вклад внешних электронов в рассеяние лучей.

 

Аномальное рассеяние  и дисперсия рентгеновских лучей.

Классическая теория дисперсии  – зависимости показателя преломления  от длины волны – предполагает, что атомы рассеивают лучи как  совокупность диполей с определенными  частотами. Частоты диполей равны  частотам поглощения атомов. Диполь рассматривается  как осциллятор, состоящий из электрона  массой m, колеблющегося вокруг массивного положительного заряда. Уравнение, связывающее показатель преломления с частотами, имеет вид:

p.

Здесь n- показатель преломления, - частота исходного излучения, ω_s- собственная частота поглощения атома, k – коэффициент затухания, N – число атомов в единице объема данного вещества.

Известно, что для видимого света частота излучения много меньше собственных частот атома: , когда рабочий интервал длин волн далек от края полосы поглощения. В таком случае можно положить k=0, для показателя преломления получим выражение:

p.

Если частота рентгеновского излучения приближается к частоте  поглощения, то показатель преломления n нужно представить в виде комплексной величины

ab.

Можно показать, что это  означает наличие поглощения. Действительно, фазовый множитель в уравнении  волны должен быть записан в виде:

ab.

Первый сомножитель определяет отставание по фазе амплитуды волны, а второй – ее изменение по величине, т.е. поглощение.

Рассмотрим теперь влияние  этого поглощения на функцию атомного рассеяния.

В теории Дарвина динамического  рассеяния лучей получено выражение, связывающее показатель преломления  с функцией атомного рассеяния:

p

Представим f также в комплексном виде: f=f₀+Δf’+iΔf”, где f₀ – функция атомного рассеяния для частот . Поправки Δf’ и iΔf” к функции атомного рассеяния, когда частота излучения приближается к собственной частоте поглощения атома ω_s, были рассчитаны Принсом. Рассмотрим кратко результаты этих расчетов:

                

Здесь суммирование производится по всем состояниям электронов в атоме.

 

p.

В этих выражениях: - частота падающего излучения, - плотность осцилляторов при частоте ω, т.е. определяет число осцилляторов, которые лежат в пределах от ω до ω+dω. Величина g(s) определяет число осцилляторов – электронов в атоме с частотой ; - край полосы поглощения. Сумма берется по всем электронным группам K, L, M. Интеграл в виде есть “полная сила” осциллятора для K-электронов. Значение этого интеграла меньше 2. Это связано с наличием запрещенных переходов с K-уровня на занятые состояния в L и M слоях.

По расчетам Принса .

Рассмотрим графическую  зависимость поправок к функциям атомного рассеяния от частоты рентгеновского излучения за счет дисперсии для K-электронов.