Шпаргалка по "физике"

Кривая А может быть описана уравнением:

.

Кривая B:

p

 

Проведем некоторый анализ этого графика.

1. При частотах исходного рентгеновского излучения , много больших частоты края поглощения для K-электронов, т.е. при , обе поправки и стремятся к нулю. Следовательно f_k стремится к f₀.
2. При , т.е. поправка , а стремится к значению . Функция атомного рассеяния будет равна .
3. При приближении к поправка и .
4. Когда x немного больше 1, т.е. когда немного больше : будет большой отрицательной величиной, затем с возрастанием x быстро увеличивается до положительного значения, а затем медленно убывает.
5. Поправка не равна 0 только при , т.е. . Для x=1 эта поправка равна постоянному числу: p.

Следует отметить, что все  исследователи находят понижение при приближении к λ_k.

Практически и берутся из таблиц и функция атомного рассеяния рассчитывается по формуле:

.

 

Дифракция рентгеновских  лучей на простой решетке

Уравнение Лауэ

Рассмотрим дифракцию  на решетке с примитивной элементарной ячейкой. Возьмем кристалл в виде малого параллелепипеда. Элементарная ячейка этого кристалла определяется векторами трансляции . Ряды, параллельные этим векторам, содержат соответственно N₁, N₂, N₃ узлов, в которых могут размещаться атомы. Полное число узлов в кристалле будет равно:

N=N₁N₂N₃.

Направим на этот кристалл рентгеновский луч таким образом, чтобы кристалл полностью купался  в луче. Будем считать, что рентгеновская  волна плоская. Каждый узел кристалла  становится центром рассеяния сферических волн. Перед нами стоит задача – найти результирующую этих вторичных волн в некоторой точке, расположенной от кристалла на очень большом расстоянии.

Дальнейшие рассуждения  ведутся в рамках кинематической теории, основные положения которой  мы ранее уже рассматривали:

1. Первичный пучок распространяется в кристалле со скоростью света в вакууме, т.е. пренебрегаем взаимодействием между падающим лучом и рассеянными вторичными волнами. Другими словами – показатель преломления лучей считаем равным 1.
2. Будем считать, что каждая вторичная волна рассеянная волна проходит через кристалл без повторного рассеяния на других узлах решетки.
3. Кристалл не поглощает ни падающее, ни рассеянное излучение.

Выделим один узел решетки, который  мы примем за начало координат –  узел A₁. Вычислим разность фаз между вторичными волнами, рассеянными от узла A₁ и от любого другого узла A₂, находящегося на расстоянии радиус-вектора от начала координат A₁ (рисунок).

На этом рисунке  есть единичный вектор, определяющий направление падающей волны, -  единичный вектор рассеянной волны, Q – точка наблюдения результирующей волны, находится от кристалла на очень большом расстоянии R, так, что .

В силу большой величины расстояния R, лучи A₁Q и A₂Q можно считать параллельными.

Отметим на чертеже пунктиром  фронты волны и подсчитаем разность хода лучей, рассеянных A₁ и A₂.

,

где есть разность единичных векторов и (рисунок). Эта разность имеет простой смысл. Рассмотрим отдельно векторы и . Эту линию можно рассматривать как след пересечения отражающей плоскости с плоскостью чертежа. Так как векторы и равны по модулю, то вектор оказывается перпендикулярным отражающей плоскости. Модуль вектора равен:

.

Здесь угол θ – угол скольжения луча к отражающей плоскости.

Вычислим разность фаз  для двух лучей

pp

Предположим далее, что в  точке Q на расстоянии R от кристалла волна, рассеянная точкой A₁, находящаяся в начале координат, имеет смещение (напряженность электрического поля), зависящую от времени:

 

Здесь - амплитуда волны на единичном расстоянии от рассеивающего узла в направлении вектора . В общем случае это есть какая-то функция, зависящая от природы рассеивающего тела, его кристаллической решетки, состояния поляризации волн, длины волны.

Смещение в той же точке Q за счет волны, рассеянной вторым узлом A₂, не лежащем в начале координат, равно:

.

При этом, как уже упоминалось, предполагается, что все точки  кристалла удалены от точки наблюдения Q на очень большое расстояние по сравнению с межатомными расстояниями. Поэтому можно считать все точки кристалла одинаково удаленными от точки наблюдения.

Для того, чтобы найти смещение в результирующей волне, которая достигает точки Q, необходимо просуммировать по всем волнам, рассеянным отдельными атомами кристалла, т.е. провести суммирование по всем узлам кристаллической решетки.

Выразим вектор , связывающий начало координат решетки с каким-либо узлом ее, через основные вектора решетки:

.

При этом U, V, W есть целые числа, принимающие значения соответственно от 0 до N₁-1, N₂-1, N₃-1.

 

 

Чтобы найти интенсивность  излучения в точке C, нужно получить квадрат величины смещения, т.е. EE* (умножить на комплексносопряженную величину).

В выражении для E все три суммы одинаковы по своему виду. Поэтому можно подробно рассмотреть только квадрат одной суммы, две другие записать по аналогии.

 

Сумма представляет собой  сумму геометрической прогрессии. Воспользуемся известной формулой для геометрических прогрессий:

,    

В нашем случае

    

 

 

Используя формулы Эйлера, получим выражение

.

Аналогичные выражения будут  иметь квадраты двух других сумм. Обозначим в этих формулах:

;

 

 

.

Значение интенсивности  в данной точке Q зависит от значений . Именно эти функции определяют максимум или минимум следует ожидать в данной точке.

Рассмотрим подробнее  величины .

a.

Здесь a - угол между векторами и , т.е. между вектором и нормалью к отражающей плоскости, т.к. вектор перпендикулярен отражающей плоскости. Обозначим

a=()   a

b=()   b

g=()   g

Проанализируем функцию .

1. Рассмотрим только . Пусть p, где h – целое число 0, 1, 2, 3 … Функция pp стремится к , когда p ().

При всех значениях аргумента, кратных p, первый сомножитель функции I дает максимум интенсивности, равный .

Аналогично, второй и третий сомножители с  и , кратными p, дадут максимумы, равные соответственно и .

В случае, если все три функции кратны p, то функция I дает максимум, равный

 

2. Пусть теперь p, где p – целое число, но не равное 0 или : . В этом случае имеем:

ppp

Таким образом, это условие  соответствует минимуму функции I. Причем заметим, что функция I обращается в 0, если указанное условие выполняется хотя бы для одного сомножителя.

Так как интенсивность  отраженного луча прямо пропорциональна  функции I, все сказанное относится к величине интенсивности.

3. Все промежуточные случая, когда p и p соответствуют слабым, так называемым, побочным максимумам интенсивности.

Обратим внимание, что каждый сомножитель функции I обращается в 0 N_i-1 раз. Между этими минимумами будут находиться N_i-2 побочных максимумов. Величина этих побочных максимумов быстро убывает, уже два ближайших к главному побочных максимума достигают по величине только 5% от главного.

Рассмотрим подробнее  условия главных максимумов, когда  интенсивность достигает максимального  значения, равного . Для этого должны выполняться условия

ppp

Или

a

b

g

Эти уравнения  называются уравнениями Лауэ.

Здесь углы a, b и g есть углы между основными векторами , и и нормали к отражающей плоскости. Вспомним, что вектор по направлению совпадает с нормалью к отражающей плоскости. Пусть в выбранной системе координат отражающая плоскость, назовем ее (h₁k₁l₁), отсекает на осях отрезки A, B, C. Тогда косинусы углов соответственно равны:

a;        b;         g

Или

a;        b;        g

Подставим эти косинусы в  уравнение Лауэ. Рассмотрим на примере первого уравнения

 

 

Если число h будет равно или кратно индексу Миллера отражающей плоскости, то это уравнение превращается в известное уравнение Вульфа-Брегга, которое определяет максимум дифракции рентгеновских лучей. Аналогично два других уравнения Лауэ дадут уравнение Вульфа-Брегга, если k будет равно или кратно k₁, l равно или кратно l₁.

 

если h=nh₁, k=nk₁, l=nl₁.

Величина n (целое число) является в этом случае порядком отражения от данной плоскости или семейства плоскостей с межплоскостным расстоянием d.

Оказывается значительно  удобнее считать в дальнейшем, что данный максимум дифракции соответствует  отражению первого порядка от семейства плоскостей, параллельных истинным плоскостям решетки, но имеющим  межплоскостное расстояние в n раз меньше истинного:

 

что соответствует  соотношениям H=nh, K=nk, L=nl.

 

Условия интерференции, выраженные через обратную решетку

Уравнения интерференции  можно придать удобную форму, если воспользоваться представлениями  обратной решетки.

Как уже ранее указывалось вектор перпендикулярен отражающей плоскости, т.е. совпадает по направлению с радиус-вектором обратной решетки. Известно, что модуль радиус-вектора обратной решетки, перпендикулярного плоскости (HKL), равен величине, обратной межплоскостному расстоянию данного семейства плоскостей. Воспользовавшись уравнением Вульфа-Брегга, найдем 1/d_HKL

.

Таким образом, чтобы выполнялось  условие максимума при дифракции, вектор должен быть радиус-вектором обратной решетки, перпендикулярным отражающей плоскости (HKL).

На основе рассмотренных  соотношений Эвальдом было сделано  оригинальное построение в обратном пространстве, позволяющее легко  находить направления дифракционных  максимумов.

 

 

Изобразим на чертеже плоское сечение обратной решетки. Выделим один узел в качестве начального – узел 0. Проведем из начала обратной решетки в направлении падающей волны отрезок ОР, равный 1/λ. Из точки Р как из центра проведем окружность радиусом 1/λ. Очевидно, что она пройдет через точку О. В трехмерном пространстве мы получим сферу, которая носит название сферы Эвальда или сфера распространения. Найдем узел обратной решетки, отличный от 0, который лежит на сфере Эвальда. Допустим, что это будет узел Q[[HKL]]. Вектор обратной решетки, проведенный из начала 0 к этому узлу, будет иметь величину , если в направлении PQ наблюдается максимум дифракции с углом Вульфа-Брегга 2θ.

Таким образом, положение  максимумов дифракции можно определить так: дифракционный максимум возникает  в направлении от центра сферы  Эвальда к такому узлу обратной решетки, который лежит на поверхности  сферы.

 

Интерференционная функция. Ширина дифракционного максимума и  ее зависимость от размера кристалла.

Мы видели, что для кристаллов конечных размеров заметное рассеяние наблюдается в определенной области углов вблизи точного направления, соответствующего дифракционному максимуму. Этому точному направлению в обратном пространстве соответствует узел обратной решетки, лежащий на поверхности сферы Эвальда. Рассмотрим теперь, какова протяженность дифракционного максимума в зависимости от координат обратной решетки.

Дифракционный максимум определяется значением рассмотренной выше функции:

.

Перейдем к координатам  обратного пространства. Для этого  введем текущие координаты в обратном пространстве:

;

Выразим через эти координаты вектор . Отметим, что при попадании в узел обратной решетки координаты ζ, η, ξ будут целыми числами.

pp,

p=p,

т.к. ; .

Таким образом, получаем

p;      p;     p

Выразим функцию I через координаты:

pppppp

Выраженная через координаты в обратном пространстве функция , определяющая положения максимумов и минимумов дифракции, носит название интерференционной функции.

Выражение для интенсивности  получается в виде

 

Главный максимум возникает, когда будет выполняться условие

ζ=H;    η=K;    ξ=L

Это соответствует  попаданию конца вектора  в узел обратной решетки. Минимум дифракции наблюдается, когда одно из чисел ζ, η или ξ принимает значение

;    ;    .

Видно, что  ширина главных максимумов, ограниченных минимумами, будет зависеть от размера  облучаемого кристалла, т.е. от чисел N₁, N₂, N₃.

 

Дифракция на сложной решетке

До сих пор мы рассматривали  дифракцию рентгеновских лучей  на простых решетках с примитивной  ячейкой. Теперь распространим наши представления на такие решетки, в ячейку которых входит несколько  атомов, составляющих базис кристалла, и неизменным образом повторяющихся  от ячейки к ячейке. Такой тип  структуры получается, если положить элементарные трансляции решетки к  группе точек, не обязательно одинаковых. Каждая точка такой группы дает начало пространственной решетке. Вся структура  будет состоять из K одинаковых параллельных и взаимно проникающих решеток, где K – число атомов группы или «базиса» этой структуры.

 

Структурная амплитуда

Формулы интенсивности отражения  были выведены в предположении, что  с каждым узлом решетки связана  одна рассеивающая частица. Рассмотрим теперь, какие изменения нужно  внести в формулы, если каждый узел примитивной решетки заменить группой  из K точек-центров рассеяния. Пусть положение точек группы по отношению к узлу примитивной решетки определяется векторами: , ,…. С любым узлом решетки, находящимся на расстоянии от начала координат, связана такая группа точек-центров рассеяния. Положение этих центров относительно начала координат определяется векторами: ; ; …, . Обозначим через , , …, - факторы рассеяния атомов, входящих в группу, соответствующие углу рассеяния 2θ и длине волны λ.