Шпаргалка по "физике"

Выражение для результирующей волны, рассеянной всем объектом, может  быть записано так:

 

Или

 

В этом выражении буквой A обозначена амплитуда результирующей волны.

Сравнивая выражения 5.1.2 и 4.1.4 (Смещение за счет волны, рассеянной вторым узлом ) можно заметить, что в последнем величина заменяется более сложной величиной:

 

Будем называть величину структурной амплитудой. Это название введено Эвальдом. В нем подчеркивается, что значение зависит от расположения атомов группы, связанной с каждым узлом решетки. Таким образом, величина A есть амплитуда волны на расстоянии, равной единице, рассеянной одной группой, состоящей из K центров рассеяния.

Найдем значение структурной  амплитуды для углов рассеяния, отвечающих главным дифракционным  максимумам. Для этого нужно положить вектор обратной решетки  равным . Вектор выразим через основные трансляции решетки:

 

Величина в показателе степени формулы структурной  амплитуды равна:

pp

так как      

Таким образом 

p

 

Структурный множитель

Введем относительную  величину, показывающую, во сколько  раз амплитуда волны, рассеянной группой из K атомов, больше амплитуды волны, рассеянной свободным электроном. Обозначим эту величину F.

 

Из выражения для структурной амплитуды следует, что

 

Она носит название структурный  множитель.

Структурный множитель F(HKL) для направления спектра (HKL) определяется выражением:

p

Здесь - дробные координаты в элементарной ячейке центра атома с функцией атомного рассеяния f_j. Суммирование проводится по всем атомам элементарной ячейки или атомам группы.

В выражении для интенсивности  дифракционного максимума величина структурного множителя входит в  виде . Найдем выражение для удобное для вычислений.

pppppppp.

 

pp.

 

Примеры расчета структурного множителя

Рассмотрим результаты расчета  структурного множителя для некоторых  важных в практическом отношении  структур.

1. Простая решетка с примитивной ячейкой, содержащей один атом. Базис такой решетки [[000]]. Атомный фактор равен f.

pp

 

Обратим внимание, что этот результат получается при любых (HKL), что означает возможность наблюдения любых отражений без каких-либо ограничений.

2. Объемно-центрированная решетка с атомами одного сорта. Базис решетки [[000]], [[]].

ppp.

Результат будет зависеть от вида плоскостей (HKL), дающих отражение. Пусть . Тогда

 

Пусть +1. В этом случае .

Таким образом, в случае ОЦК  решеток на рентгенограмме будут  присутствовать только отражения от плоскостей, для которых выполняется  условие: сумма дифракционных индексов плоскости равна четному числу. В противном случае отражения гасятся, так как равенство нулю структурного фактора означает равенство нулю и интенсивности отражения.

3. ГЦК решетка с атомами одного сорта. Базис решетки [[000]], [[]], [[]], [[]].

ppp.

Слагаемые с синусами равны  нулю.

Пусть H, K и L числа все четные или все нечетные. Тогда (H+K); (H+L); (K+L) будут все четными.

 

Пусть H, K и L числа разной четности. Тогда два косинуса будут равны (-1), а один косинус равен 1.

 

 

Мозаичный кристалл

Наиболее простой и  часто используемой схемой реального  кристалла является мозаичный кристалл. Макроскопический кристалл рассматривается  как совокупность малых участков и блоков, которые слегка деформированы  по отношению друг к другу. Размеры  таких областей порядка микрона  или меньше.

Такая модель хорошо объясняет  следующий факт. При повороте кристалла  под рентгеновским пучком интенсивность  дифрагированного излучения не сразу  спадает до нуля, а имеется некоторая  угловая область отражения. Дело в том, что при повороте кристалла  выявляется не интервал, в пределах которого происходит отражение от одного блока, а угловой промежуток между  наиболее разориентированными плоскостями  одинаковых индексов в разных блоках.

Если блоки очень малы, меньше 10^-7 м, и отклонение их от средней ориентировки хаотично, то такой кристалл будем называть идеально мозаичным.

Отражения от отдельных блоков мозаики оптически независимы в  том смысле, что между ними нет  определенного закономерного соотношения  фаз. Полная интенсивность отражения  от всего кристалла равна сумме  интенсивностей отражения от отдельных  блоков.

В реальных кристаллах нет, по-видимому, таких резко выделенных малых  блоков. В кристаллах возможны различные  нарушения структуры, например дислокации. Но оптическое поведение таких кристаллов в отношении дифракции рентгеновских  лучей такое же, как у мозаичного кристалла.

В значительном большинстве  случаев идеально мозаичный кристалл является лучшим приближением к реальному  кристаллу, чем идеально совершенный  кристалл.

 

Отражательная способность  кристалла

Рассмотрим экспериментальный  метод определения такой величины, которая характеризует только исследуемый  кристалл и не зависит от параметров падающего пучка. Метод был предложен  У.Л. Бреггом. Расположим кристалл так, что он купается в пучке рентгеновского излучения с интенсивностью I₀. Кристалл поворачивается с угловой скоростью ω вокруг своей оси, перпендикулярной пучку. Угол между лучом и отражающей плоскостью кристалла изменяется от до , где - Брегговский угол. Величина ε может быть порядка градуса. Она больше угла разориентировки блоков и больше расходимости первичного луча. В результате любой блок кристалла проходит через отражающее положение для любого луча в первичном пучке.

Обозначим интенсивность рассеянного излучения для данного угла θ. Построим зависимость от угла θ. Получим кривую с максимумом, имеющую определенную протяженность по углу θ. Форма кривой, конечно, зависит от расходимости падающего пучка. Но если взять отношение площади под этой кривой к интенсивности падающего пучка, то это отношение не зависит от параметров падающего пучка и будет величиной, определенной для этого кристалла. Это отношение называется интегральной отражательной способностью кристалла. Обозначим ее через P.

.

Выразим dθ через угловую скорость и время:

.

Интеграл  есть общая энергия E, рассеянная кристаллом за время прохождения им отражающего положения.

Таким образом, отражающая способность P равна

.

Как видно, эта величина не должна изменяться при изменении  скорости вращения кристалла, так как  при увеличении ω кристалл будет быстрее проходить отражающее положение и энергия, фиксируемая счетчиком, будет меньше.

 

Вычисление интегральной отражательной способности по кинематической теории

1. Амплитуда волны, отраженной плоской атомной сеткой.

Найдем амплитуду волны, отраженной плоской атомной сеткой бесконечной протяженности. Для  расчета воспользуемся методом  зон Френеля. В обычном построении Френеля мы имеем дело с фронтом  волны, содержащей бесконечное количество источников вторичных волн. В нашем  случае мы имеем действительные источники  и построение Френеля можно применить, если число этих источников на плоскости будет очень велико.

Пусть в точке А находится источник излучения, а в точке В – приемник (рисунок). На плоскости Р найдем геометрическое место точек типа М, для которых расстояние АМВ будет больше кратчайшего расстояния АОВ на величину λ/2. Построим зоны Френеля. Для поляризованного излучения зоны должны иметь эллиптическую форму.

Воспользуемся известным  значением площади первой зоны:

p.

Предположим, что  велико, т.е. падающая волна почти плоская, равно 1 см. Тогда площадь первой зоны будет равна p. Если посчитать эту площадь для sinθ=1, то она окажется порядка 3∙10^-8 см². Если учесть, что на 1 см² находится около 10¹⁵ атомов, то получим, что в пределах первой зоны будет около 30 миллионов атомов. Поэтому можно считать построение Френеля применимым в данном расчете.

Учтем далее следующие  факты:

1. Действие всего фронта равно половине действия первой зоны Френеля;
2. Амплитуда волны, отраженной от всей первой зоны, в 2/p раз больше суммы амплитуд волн, рассеянных отдельными атомами;
3. Результирующая волна отстает на 2/p по фазе от волны, отраженной в точке О.

Обозначим n число атомов на единицу площади. Пусть также q есть отношение волны, отраженной всей атомной плоскости, к амплитуде падающей волны.

Если принять амплитуду  падающей волны за 1, то величина q будет равна

pp.

Перейдем к числу N в единице объема: , где d – межплоскостное расстояние. Тогда

.

Подставим сюда значение амплитуды волны, рассеянной одним атомом, выраженное в электронных  единицах:

   и

Для двух состояний  поляризации. Получим

 и .

Надо учесть еще изменение  при рассеянии на плоскости:

p

;

Для кристалла с базисом f переходит в F.

2. Амплитуда волны, отраженной от совокупности параллельных плоских сеток.

Предположим теперь, что малый  кристалл, который облучается рентгеновскими лучами, содержит P параллельных плоских сеток. Каждая из этих плоскостей рассеивает с амплитудой , подсчитанной в предыдущем разделе. Разность фаз между волнами, рассеяннымиот разных плоскостей, равна pp.

Пусть теперь угол θ не равен точно брегговскому углу , а отличается от него на малую величину ε: . Тогда эффективная разность фаз δ между волнами, отраженными от двух плоскостей будет

pε

Амплитуда q для волны, отраженной от p параллельных плоскостей будет

 и

Обозначим I(ε) интенсивность лучей, отраженных всем кристаллом под углом . Относительную величину обозначим P(ε).

 

где p. Если проинтегрируем по ε, то получим отражающую способность кристалла P:

 

Если учтем, что рентгеновский пучок имеет  сечение S, то получим

 

Подставим выражения  для P, q, B и получим в результате

 

 – облучаемый  объем кристалла, Q может быть названа удельной отражательной способностью кристалла.

Аналогичное выражение получим и для параллельной составляющей.

 

Для неполяризованного  излучения:

 

Для ячейки с базисом  нужно заменить на .

 

Вывод интегрального  отражения с использованием обратного  пространства

Другой подход к подсчету интегральной отражательной способности  кристалла состоит в интегрировании (по объему узла обратной решетки) функции, которая определяет интенсивность  отражения в данной точке обратного  пространства.

Как уже ранее показали, объем узла обратной решетки зависит  непосредственно от объема облучаемого  кристалла. Отражающему положению  кристалла соответствует положение  узла обратной решетки на поверхности  сферы Эвальда.

Интенсивность дифрагированных  лучей, отвечающих данной точке обратного  пространства, пропорциональна интерференционной  функции ℐ(ζηξ), интенсивности волны, рассеянной свободным электроном I_e и квадрату структурного фактора .

 

На рисунке буквой M обозначен центр узла [[HKL]] обратной решетки, соответствующей условию . Внутри области узла [[HKL]] интерференционная функция имеет отличное от 0 значение. При направлении падающего луча LO сфера проходит через точку M. Направлению LM соответствует максимальная интенсивность отраженного луча.

Если за направление дифрагированного луча взять направление LN, то интенсивность его будет уже меньше максимальной.

Пусть dΩ будет малый телесный угол, содержащий такое направление. Энергия дифрагированная внутри dΩ, равна I(ζηξ)∙R²dΩ, т.к. RdΩ есть площадь, вырезаемая на поверхности некоторой сферы радиуса R углом dΩ.

Полная энергия дифрагированного излучения для данного угла падения  равна .

Допустим теперь, что угол падения изменится на величину dε. Это эквивалентно смещению кристалла на dε около отражающего положения на рентгеновском гониометре. Это равнозначно смещению сферы Эвальда в новое положение, проходящее через точки M’ и M’’.

Энергия дифрагированного излучения  для всех возможных направлений  падения выразится интегралом

 

Интегральная отражающая способность равна

 

Угол вырезает на сфере Эвальда площадку

При повороте на dS эта площадка даст объем . В пределах узла обратной решетки положения двух сфер Эвальда могут считаться параллельными, поэтому . Элемент объема .

Так как , то . Получаем

.

Выразим иначе элемент  объема обратного пространства

 

Где ζ, η и ξ относительные координаты.

Т.к. получим .

Интегральная отражательная  способность тогда:

 

Рассмотрим отдельно интеграл, подставив в него значение интерференционной  функции.

pppppppppppp.

Вычислим один из интегралов.

pppppppppppp

 

Для интегральной отражательной способности малого кристалла получаем выражение:

 

Таким образом, мы пришли к  тому же выражению, которое получили путем расчета в рамках кинематической теории.

 

Учет поглощения лучей  в формулах интегральной интенсивности

1. Отражение от грани мозаичного кристалла.

Пусть рентгеновский луч  сечения S₀ падает под углом θ₀ на грань большого мозаичного кристалла. Предположим, что грань кристалла параллельна серии плоскостей в некотором блоке мозаики, находящихся в отражающем положении.

Обозначим через dE ту часть полной энергии E, которую при вращении кристалла с угловой скоростью ω отражает блок объема dV, лежащий на пути луча на глубине z от поверхности.

 

 

 

 

Интенсивность падающего  пучка равна , тогда будет полная энергия, падающая на кристалл.

Следовательно, последняя  формула определяет интегральные отражения  от грани кристалла. Эта величина безразмерная.