Шпаргалка по "физике"

 

Первичная экстинкция

Основное отличие заключается  в объектах исследования. В кинематической теории рассматривается мозаичный  кристалл, а в динамической –  идеальный кристалл. Между этими крайними значениями лежит интегральная интенсивность реального кристалла.

Рассмотрим еще раз  идеальный монокристалл. Когда угол падения рентгеновского луча находится  в области полного отражения, то даже без учета обычного поглощения, энергия первичного пучка в кристалле  должна быстро уменьшаться с глубиной. Причина этого лежит во зваимодействии первичного луча с дважды отраженным пучком. При каждом отражении от атомной плоскости волна отстает по фазе на p. Волны, которые отразились дважды и снова идут в направлении первичного луча, отстают от него по фазе на p. Поэтому они теперь не увеличивают, а уменьшают амплитуду проходящей волны, так как с ней в противофазе. За счет такого уменьшения амплитуды проходящая волна быстро затухает еще в верхних слоях монокристалла. Получается, что верхние слои кристалла как бы экранируются верхними слоями за счет интерференции лучей, многократно отраженных от плоскостей кристалла, с первым пучком. Дарвин назвал это явление первичной экстинкцией.

Таким образом, наличие экстинкции приводит к тому, что в отражении  от идеального кристалла участвуют  по сути дела только верхние плоскости  кристалла. До нижних плоскостей первичный  пучок не доходит. Глубина проникновения  рентгеновских лучей в кристалл с учетом явления первичной экстинкции носит название экстинкционной длины.

В этом явлении кроется  причина того, что интегральная интенсивность  отражения от идеального кристалла  много меньше, чем та же величина, рассчитанная по кинематической теории для мозаичного кристалла. В то же время рассеивающая способность идеального кристалла выше и даже существует область полного отражения. Эффект первичной экстинкции будет проявляться и в случае мозаичного кристалла, если его блоки крупные.

Влияние температуры  на интенсивность брэгговских отражений

Параметром, определяющим интенсивность наблюдаемых  отражений от кристалла, является разность фаз рассеянных атомами волн, складывающихся при интерференции. До этого мы предполагали, что упругое рассеяние происходит в кристалле с неподвижными атомами, что не соответствует действительности, поскольку при температуре выше температуры абсолютного нуля всегда имеют место тепловые колебания. Чем выше температура, тем больше амплитуда этих колебаний, и, следовательно атом занимает уже больший объем пространства.

 

Размытие дифракционного максимума за счет малости областей когерентного рассеяния и ыикронапряжений

Реальный кристалл. Области когерентного рассеяния

Наиболее близка к реальной ситуации мозаичная модель кристалла. По этой модели монокристалл рассматривается как совокупность малых областей - блоков, слегка дезориентированных или смещенных относительно друг друга. Границы между блоками являются дефектными, но сами блоки имеют совершенную структуру. Размеры блоков порядка 10³÷10⁴ межатомных расстояний.

Поликристалл  также рассматривается как совокупность хаотически ориентированных зерен (кристаллитов, порошинок). Эти зерна  достаточно велики и имеют большую разориентировку. Но каждое зерно является мозаичным кристалликом и может быть представлено совокупностью блоков.

Если блоки мозаики рассеивают рентгеновские лучи независимо друг от друга, то распределение интенсивности в дифракционной линии мозаичного поликристалла будет таким же, как для одеяльного поликристалла. Если будет интерференция между волнами, рассеянными разными блоками в одном зерне, то распределение интенсивности изменится.

В обоих случаях, если по рентгенограмме определен средний  размер блоков, он будет соответствовать  не истинному размеру блоков мозаики, а определять средний размер некоторой области, оптически независимой от других. Эту область называют областью когерентного рассеяния (ОКР).

Таким образом, блоки  мозаики являются модельным понятием. Область когерентного рассеяния - экспериментально измеряемая величина. Соответствует ли она размерам блоков мозаики (модели), зависит от того, насколько модель близка к реальной структуре.

 

Дифракция на кристаллах с малыми размерами областей когерентного рассеяния

Интенсивность волны, рассеянной идеальным монокристаллом, определяется в обратном пространстве интегралом по области узла обратной решетки, расположенного на сфере Эвальда. Размеры и форма узлов обратной решетки, в свою очередь, определяются значением кристаллформфактора :

p;

p

где - функция формы, равная единице внутри кристалла и нулю - вне кристалла.

Так как , то

p

Функция определяет объем, общий для объекта и его двойника, смещенного на . При x=0: ; при x = L (размер кристалла) .

Функция будет настолько сжата или растянута в обратном пространстве, насколько соответственно растянута или сжата функция V( X ) в пространстве объекта.

Если объем V области когерентного рассеяния велик, то область в обратном пространстве, где , будет мала (что соответствует сжатию "узла" обратной решетки). Напротив, для больших объемов V область "узла" обратной решетки будет расширена. Это приводит к уширению рентгеновских максимумов. Расширение максимумов экспериментально может быть использовано для определения размеров областей когерентного рассеяния.

 

Ширина области  отражения

Возьмем блок кристалла, содержащий N плоских сеток решетки с межплоскостным расстоянием . Пусть рентгеновский луч падает на кристалл под углом Вульфа-Брегга θ₀ , удовлетворяющим уравнению:

 

Обозначим - амплитуду волны, отраженной от одной сетки. Гак как волны, отраженные от всех N плоскостей под углом находится в одной фазе, суммарная амплитуда равна NA₁.

Изменим угол падения луча на величину ε (), Разность хода лучей, отраженных от двух соседних плоскостей, равна

 

т.к. в силу малости ε

 

Разность фаз  для этих лучей:p

Для расчета амплитуды  волны, отраженной от всего блока, воспользуемся построением Френеля (рисунок). Возьмем окружность радиуса r . От точки О отложим хорду-вектор амплитуды . Вектор амплитуды волны от следующей плоскости кристалла будет . Угол поворота векторов равен . Радиус окружности . Результирующий вектор . Угол pp. Модуль вектора : ; p

Построение Френеля для определения амплитуды волны, отраженной от кристаллического блока, содержащего N атомных плоскостей

 

Таким образом, амплитуда  волны, отраженной от кристалла, равна

 

где p

Интенсивность волны, отраженной от кристалла под углом ( ), равна

 

График функции, описывающей  профиль линии

Графически эта  функция представлена на риcунке. Она равна нулю при значениях аргумента p

 

 

 

Подставим значение Φ: pp. Отсюда или .

Где является размером блока в направлении нормали к отражающей плоскости.

Таким образом, угловая протяженность  максимума ε обратно пропорциональна размерам блоков.

 

Способы определения ширины рентгеновского максимума

Оценка ширины максимума по основанию линии  не всегда оказывается корректной. Дело в том, что определить место, где линия выходит на уровень фона, часто бывает затруднительно вследствие колебаний последнего. Флуктуации фона зависят от множества факторов, которые не всегда можно учесть (состав исследуемого материала, коэффициенты поглощения лучей, рассеяние лучей образцом, воздухом, держателем образца, размеры щелей, расходимость луча и т.д.). Занижение или завышение фона сильно влияет на величину ε . Поэтому для оценки ширины максимума обычно используются два других способа.

1. Ширина линии на половине высоты максимума.

На рисунке показана ширина линии 2ε_1/2, определяемая на ½ высоты максимума. Так как

 

для максимума получим , т.к.

 

 

Такое значение функция имеет при значении аргумента p

pp

Отсюда 

Учтем, что при изменении угла падения на ε угол между направлением падающего и отраженного лучей изменится на 2ε (рисунок), го есть . Когда , ε=0.

Так как ширина максимума равна , изменение угла . Ширина максимума в единицах измерения равна

 

2. Интегральная  ширина максимума.

Под интегральной шириной максимума понимается ширина линии с прямоугольным профилем, которая имела бы такие же максимальную и интегральную интенсивности (рисунок).

Пусть . Из определения следует

 

Учтем, что p. Тогда p

p

Максимальная  интенсивность . Интегральная интенсивность

p

Получим

 

 

Последняя формула  носит название «формула Шерера». С  ее помощью можно определить размер областей когерентного рассеяния по данным об интегральной ширине линии.

Определяемая  таким образом величина L соответствует некоторой усредненной величине размеров блоков по нормали к отражающей плоскости при отсутствии каких либо предположений о форме блоков. Если предположить, что , где V – объем блока, то появляется коэффициент K, зависящий от формы блока и индексов отражающей плоскости. Формула Шерера имеет вид:

 

K можно найти в справочной литературе.

 

Профиль линии

Найдем функцию, которая  определяет форму и протяженность  распределения интенсивности в  обратном пространстве.

Пусть узел [[HKL]] обратной решетки находится на сфере Эвальда. Функция , которую мы назвали кристаллформфактором, в пределах области узла обратной решетки отлична от нуля и достигает максимального значения в точке узла, т.е. . Вектор направлен из узла [[HKL]] в разные точки этой области (рисунок). Вектор перпендикулярен отражающей плоскости. Разложим вектор на две составляющие: и . Вектор параллелен и, следовательно, перпендикулярен отражающей плоскости. Вектор параллелен отражающей плоскости

 

Угол между  векторами  и равен . Модуль вектора , т.к. в силу малости можно считать его совпадающим с участком дуги. Получим

 

 

В расчетах удобно пользоваться понятием рассеивающей способности  объекта – I(s), показывающей во сколько раз интенсивность излучения, рассеянного кристаллом, больше интенсивности волны, рассеянной свободным электроном. Для кристалла, имеющего ограниченные размеры, для одного узла обратной решетки

,

где - кристаллформфактор; ; V- объем объекта, V₁- объем ячейки; N – число ячеек в объекте.

В центре каждого узла обратной решетки .

,

 

Интегральная отражательная  способность имеет вид

 

Кристаллформфактор  есть трансформанта Фурье от функции :

p

Возьмем вектор перпендикулярным отражающей плоскости. Тогда (т.к. ^). Найдем обратную трансформанту

p

 

Выразим объем : y и z Лежат в плоскости узла обратной решетки, перпендикулярной вектору .

p

pp

Обозначим

 

p.

Назовем интеграл по сечению узла обратной решетки, параллельного отражающей плоскости - функцией профиля линии. Тогда . И обратно .

Таким образом, профиль линии, обусловленный только дифракционным  расширением вследствие малости  рассеивающих областей, есть форманта Фурье от функции .

Рассеивающая способность  объекта

 

p

p

 

Профиль линии поликристаллического материала, обусловленный малостью ОКР

Предположим, что все зерна  порошка идентичны. Обратное пространство порошка строится путем полного вращения обратной решетки одиночного кристаллика вокруг всех возможных осей, проходящих через начальную точку обратного пространства.

Рассчитаем профиль линии, соответствующий некоторому узлу [[HKL]] окруженному своей областью отражения. Ширина максимума будет определяться участком сферы Эвальда, пересекаемым узлом [[HKL]] при вращении его вокруг начала обратной peшетки (рисунок). Можно сразу заметить: для узлов с большим значением , что соответствует большим углам, ширина максимумов будет больше.

Сделаем оценку угловой ширины максимума, полученной при вращении узла (рисунок). Пусть линейный размер узла обратной решетки будет a. Известно, что эта величина обратно пропорциональна размерам L областей когерентного рассеяния: .

Угловая ширина максимума . Так как угол OM’M”=, получим

 

 

Таким образом, и в случае поликристалла (порошка) размытие линии  может быть определено по формуле Шерера через размер ОКР (L).

Профиль линии  является трансформантой Фурье от функции :

p

 

 

Этому соотношению можно дать более удобную форму. Для этого разобьем кристалл на цилиндрические колонки с сечением dσ, нормальные к плоскостям (hkl) кристалла. Высота колонок M определяется размерами кристалла в этом направлении и в данной точке.

В объеме V(x) колонка имеет длину . Обозначим сечение колонки, высота которой лежит в пределах от М до М+dM. Тогда объем VV(x) равен

 

 

Здесь есть функция распределения колонок по высоте. В такой записи для зерна порошка могут быть и неидентичны. Функция - это функция распределения совокупности диаметров всех блоков независимо от того, берутся они в одном зерне (порошинке) или в разных зернах. При этом материалы, состоящие из зерен самих разных форм, но имеющие одинаковую , дают одинаковые профили линии. Это означает, что, пользуясь только дифракционной картиной, невозможно точно определить форму зерен порошка.

 

Функция имеет вид, представленный на рисунке. Эта функция является трансформантой Фурье от функции