Моделювання демографічних процесів в контексті соціальних реформ

Стійкість оцінки полягає в тому, що при збільшенні кількості спостережень вибірковий розподіл величини зводиться  до справжнього параметра в генеральній сукупності.

Нестійкість оцінок виникає, коли проводиться  дослідження нестаціонарних рядів, тобто в яких середнє значення, дисперсія та коваріація змінюються в різні проміжки часу, що в результаті завищує коефіцієнт детермінації та занижує значення статистики .

Дотримання умов незміщеності, ефективності та стійкості є важливими, оскільки дозволяють правильно інтерпретувати отримані результати моделювання.

Інтерпретація параметрів рівняння регресії здійснюється наступним чином: коефіцієнт нахилу означає, що при збільшенні на 1 одиницю, значення зміниться на одиниць. Параметр показує прогнозоване значення при рівному нулю [56, 10].

Окрім цього для визначення істотності зв’язку певного фактору  з залежною змінною використовується -критерій Стьюдента, який визначає статистичну значимість параметрів. Для цього припускається нульова гіпотеза про те, що регресор не впливає на залежну змінну (коефіцієнт нахилу при незалежній змінній дорівнює нулю), та альтернативна гіпотеза – залежність між факторною та результативною ознакою присутня (коефіцієнт відмінний від нуля):

: = 0;

: 0.

Значення  -критерію Стьюдента розраховується за формулою:

.

Розраховане значення -критерію Стьюдента порівнюють з критичним значенням, яке визначається з певним рівнем значимості та ступенями вільності. Якщо розраховане значення перевищує критичне, то нульова гіпотеза про відсутність зв’язку відхиляється, приймається альтернативна гіпотеза щодо впливу фактора на результуючу ознаку [111, 10].

Для перевірки відповідності  моделі регресії досліджуваному явищу  використовують коефіцієнт детермінації (пояснення) , який показує варіацію регресанта в залежності від регресора, та визначається:

.

Коефіцієнт детермінації знаходиться в межах від нуля до одиниці. Якщо лінія регресії точно відповідає всім значенням спостережень залежної змінної, то =1, якщо зв'язок між факторною та результативною ознакою відсутній, =0 [61, 10].

Для перевірки моделі регресії на адекватність застосовується F-критерій Фішера:

.

Нульова гіпотеза полягає в тому, що зв'язок між факторною та результативною ознакою відсутній: : = 0. Тоді альтернативна гіпотеза матиме вигляд: : 0. Розраховане значення порівнюється з критичним значенням критерію, яке визначається з певним рівнем значимості, ступенем свободи , де – кількість параметрів та ступенем свободи , де – це кількість спостережень. Якщо розраховане значення перевищує критичне з певним рівнем значимості, то ми відхиляємо нульову гіпотезу на користь альтернативної та можемо стверджувати, що залежна змінна пояснюється факторними ознаками, а оцінена модель пояснює зміну регресора [116, 10].

Метод регресійного аналізу  застосовується до даних трьох видів: просторові дані, часові ряди та панельні дані. Ми використовуватимемо панельні дані, які поєднують просторові дані певного явища та часовий ряд цього явища, та складаються з повторних спостережень того ж об’єкта протягом певного періоду часу [68, 10].

Головними підходами  до моделювання панельних даних  є використання моделей з фіксованим та випадковим ефектом. Виділяють три  види моделей з фіксованим ефектом. Стандартне рівняння регресії виглядає наступним чином:

,

де  - це залежна змінна, - спостережувані незалежні змінні, - не спостережувані незалежні змінні, - випадкова величина. Тренд використовується для позначення зміни в часі величин. Величина позначається як та характеризує не спостережуваний ефект. Якщо спостережувані змінні включають всі характеристики спостережуваної одиниці, то не включається в модель [418, 10].

Перший вид моделі з фіксованим ефектом базується  на розрахунку середнього значення змінних  для кожної одиниці спостереження, які потім віднімаються від відповідних  значень змінних:

В такому випадку зникає не спостережуваний ефект, а модель називається внутрішньо групова регресія, тому що відображає варіацію залежної змінної відносно середнього значення для всіх спостережень, які стосуються одиниці спостереження:

Другий вид моделі з  фіксованим ефектом називається регресія з першими різницями, оскільки передбачає вирахування не спостережуваного ефекту шляхом виключення спостережень попереднього періоду зі спостережень базового періоду:

[420, 10].

Ще один вид моделі з фіксованим ефектом безпосередньо відображає не спостережуваний ефект.

Отже, для дослідження  впливу факторів на результуючу ознаку використовують парну (якщо фактор один) та множинну регресію (якщо два і  більше факторів). Постановка задачі, збір, підготовка даних є важливим етапом процесу побудови моделі. Визначення функціональної форми та основних факторів також позначаються на якості, адекватності моделі досліджуваному явищу. Для того, щоб модель регресії відображала досліджуваний об’єкт необхідно дотримуватись незміщеності, ефективності та точності оцінок. Порушення цих умов призводитиме до наявності автокореляції, гетероскедастичності, ендогенності, нестаціонарності ряду, а тому інтерпретовані результати будуть неправдивими.

 

РОЗДІЛ 3

ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ ДЕМОГРАФІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

 

3.1. Регресійний  аналіз народжуваності в Україні  та соціальної допомоги сім’ям з дітьми

 

Підвищення соціальної допомоги при народженні дитини повинно  позитивно впливати на чисельність  народжених. Ми припускаємо, що соціальні виплати стимулюють народжуваність, зокрема при підвищенні розміру соціальної допомоги народжуваність зростатиме.

Нехай:

Birth – чисельність народжених є залежною змінною (осіб),

Pay – одноразові виплати при народженні дитини – незалежна змінна (тис. грн.).

Побудуємо модель регресії виду:

Для дослідження впливу соціальної допомоги сім’ям з дітьми візьмемо панельні дані чисельності  народжених осіб протягом 2008-2011 років  по областях в Україні та одноразові виплати при народженні дитини (див. дод. Л).

Таблиця 3.1.

Описова статистика залежної та незалежної змінних

	Народжені	Виплати
Середнє значення	18,711	103778,774
Стандартна помилка	0,947	6249,958207
Медіана	16,5	87252,85023
Мода	10,5	-
Стандартне відхилення	8,203	54126,226
Дисперсія	67,283	2929648319
Ексцес	1,2801	3,177
Асиметрія	1,351	1,629
Інтервал	33,3	271894,752
Мінімум	10,1	44582,922
Максимум	43,4	316477,674
Сума	1403,3	7783408,08
Кількість спостережень	75	75
Коефіцієнт варіації, %	359,599	2822974,482

В табл. 3.1. наведена описова  статистика даних. Оскільки коефіцієнти  варіації змінних перевищують нормативне значення у розмірі 33%, то сукупність даних є неоднорідною, а тому необхідно  провести трансформацію даних.

Проведемо трансформацію  даних. Для того, щоб зменшити варіацію змінних, здійснимо нормування, зокрема скоригуємо змінну V на індекс інфляції та прологарифмуємо обидві змінні (див. дод. М, рис. 3.1).

Рис. 3.1. Динаміка чисельності  народжених в Україні та обсягу одноразових  виплат при народженні дитини у 2008-2011 роках.

Таблиця 3.2.

Описова статистика залежної та незалежної змінних після логарифмування

	LN (Birth)	LN (Pay)
Середнє значення	9,760	10,848
Стандартна помилка	0,039	0,041
Медіана	9,725	10,800
Мода	9,424	-
Стандартне відхилення	0,390	0,412
Дисперсія	0,152	0,170
Ексцес	-0,390	-0,292
Асиметрія	0,642	0,530
Інтервал	1,487	1,823
Мінімум	9,214	10,108
Максимум	10,701	11,931
Сума	975,976	1084,805
Кількість спостережень	100	100
Коефіцієнт варіації, %	1,557	1,567
Коваріація змінних	0,151
Кореляція змінних	0,952

У табл. 3.2. наведено описову  статистику оброблених даних. Коефіцієнт варіації регресанту становить 1,557%, а  регресора – 1,567%, що вказує на однорідність сукупності. Коваріація змінних у  розмірі 0,151 свідчить про прямий вплив виплат на народжуваність. Кореляція змінних становить 0,952, тобто зв'язок між змінними є істотним.

Після трансформації  даних ми оцінили рівняння регресії:

   (1).

З рівнем значимості 0,01 (1%)  та перевищенням розрахункового значення статистики Стьюдента над критичним, ми відхиляємо нульову гіпотезу про відсутність зв’язку між факторною та результативною ознакою та стверджуємо, що одноразові соціальні виплати при народженні дитини впливають на чисельність народжених. Зокрема при зростанні виплат на 1% чисельність народжених зростає на 0,899%.

Рис. 3.2. Фактичні та модельовані  значення чисельності народжених в  Україні за 2008-2011 роки.

Окрім цього, в результаті побудови моделі отримано такі результати:

 

 

Значення скоригованого  коефіцієнту детермінації у розмірі 0,905 вказує на те, що модель пояснює 90,5% варіації народжуваності в залежності від обсягу соціальних виплат. Розрахункове значення статистики Стьюдента перевищує  критичне. З рівнем значимості 1% та перевищенням розрахункового значення критерію Фішера над критичним ми можемо зробити висновок про адекватність моделі, тобто модель пояснює варіацію народжуваності в залежності від виплат.

Розглянемо графік залишків, що зображений на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Графік залишків незалежної змінної Pay

Проведемо White тест для визначення гетероскедастичності залишків. Як було описано у пункті 2.3., нульова гіпотеза тесту полягає в наявності гомоскедастичності, альтернативна – гетероскедастичності. Здійснимо побудову рівняння регресії, де оцінені залишки регресії є залежною змінною, а факторами виступають логарифмовані значення соціальних виплат та їх квадрати. Таким чином отриманий з цієї моделі коефіцієнт детермінації помножений на кількість спостережень є меншим за критичне значення за законом розподілу Пірсона, а тому ми приймаємо нульову гіпотезу про гомоскедастичність залишків, оцінки є ефективними.

<

Розраховане значення статистики становить 1,932, тобто можна зробити висновок про відсутність автокореляції залишків.

Проведемо RESET тест для визначення правильності функціональної форми моделі. Нульова гіпотеза тесту полягатиме в тому, що залежна змінна є лінійною та на неї не впливають нелінійні зв’язки. Для розрахунку тесту нам необхідні модельовані значення регресанта нашої моделі піднесені до квадрату. Після проведення відповідних розрахунків ми включаємо модельовані значення залежної змінної в модель, яка називатиметься повною моделлю регресії. Попереднє рівняння регресії є скороченим. Для визначення правильності специфікації моделі ми використовуватимемо статистику Фішера.

Таблиця 3.3.

Розрахунок критичного та емпіричного значення статистики Фішера

Показник	Значення
J – кількість параметрів, на які відрізняються повна та скорочена форма моделі	1
N – кількість спостережень	100
K – кількість параметрів  повного рівняння регресії	3
SSE restricted – залишки скороченої форми регресії	1,42
SSE unrestrestricted – залишки повної форми регресії	1,36
Alpha	0,01
df-numerator	1
df-denominator	97
F – розрахункове значення  статистики Фішера	4,21
Right Critical Value – критичне  значення статистики Фішера	6,90
Рішення	Приймаємо H0
p-value – рівень значимості	0,04