Моделювання демографічних процесів в контексті соціальних реформ

Таблиця 3.8.

Розрахунок критичного та емпіричного значення статистики Фішера для повної моделі регресії (2) та скороченої форми регресії (3)

Показник	Значення
J – кількість параметрів, на які відрізняються повна  та скорочена форма моделі	1
N – кількість спостережень	100
K – кількість параметрів  повного рівняння регресії	3
SSE restricted – залишки скороченої форми регресії	5,436
SSE unrestrestricted – залишки повної форми регресії	5,288
Alpha	0,05
df-numerator	1
df-denominator	97
F – розрахункове значення  статистики Фішера	2,716
Right Critical Value – критичне  значення статистики Фішера	3,939
Рішення	Приймаємо H0
p-value – рівень значимості	0,103

Для підтвердження цього  ми  проведемо тест для визначення відмінності двох вище оцінених рівнянь  регресії. Скорочена модель – залежність народжуваності від наявних доходів, повна модель – залежність народжень  від житлової площі та наявних доходів. В табл. 3.8. наведені результати тесту. Розрахункове значення статистики Фішера є меншим за критичне, тому з рівнем значимості 10% ми приймаємо нульову гіпотезу про те, що моделі не відрізняються між собою, а тому такий фактор, як житлова площа не варто включати в модель.

Оцінимо четверте рівняння регресії, де народжуваність залежатиме від заробітної плати 1 штатного працівника жінки:

Birth = -1, 64 + 1, 65 Sal   (4)

t         1, 07       7, 52

Скоригований коефіцієнт детермінації цієї моделі є значно меншим за його значення в моделі регресії (3). Розрахункове значення статистики Стьюдента для кутового коефіцієнта становить 7,52, а тому з рівнем значимості 1% ми можемо зробити висновок про те, що заробітна плата впливає на народжуваність: зростання фактору на 1% спричиняє зростання народжуваності на 1,65%.

П’яте рівняння регресії описуватиме залежність народжуваності від обсягу викидів шкідливих  речовин:

Birth = 8, 02 + 0, 35 Emis   (5)

t           61, 19         13, 49

Коефіцієнт детермінації вказує на високу пояснювальну здатність  моделі, зокрема значення результативної ознаки варіює в залежності від факторної  ознаки на 64,7%. Статистика Стьюдента  біля кутового коефіцієнта обсягів викиду становить 13,49. Разом з тим, додатне значення кутового коефіцієнту вказує на можливе не включення суттєвої змінної в модель.

Побудуємо модель залежності народжуваності від кількості шлюбів:

Birth = 1, 59 + 0, 89 Married   (6)

t        6, 23             32, 07

Високе значення скоригованого  коефіцієнту детермінації свідчить про те, що 91,2% варіації народжуваності залежить від кількості шлюбів. Розрахункове значення статистики Стьюдента при  кутовому коефіцієнті кількості  шлюбів становить 32,07, а тому з рівнем значимості 1% ми стверджуємо, що шлюбність впливає на народжуваність, зокрема при 1% зростання фактору, народжуваність зросте на 0,89%.

Оцінимо множинну модель регресії, в яку включимо наявні доходи та механічний приріст, як незалежні змінні:

Birth = 4, 64 + 0, 51 Inc + 0, 05 Pop   (7)

t          11, 83       11, 61       2, 70

Скоригований коефіцієнт детермінації регресії (7) незначно зріс, тому проведемо тест на основі статистики Фішера для визначення важливості фактору механічного приросту.

Таблиця 3.9.

Розрахунок критичного та емпіричного значення статистики Фішера для повної моделі регресії (7) та скороченої форми моделі (3)

Показник	Значення
J – кількість параметрів, на які відрізняються повна та скорочена форма моделі	1
N – кількість спостережень	100
K – кількість параметрів  повного рівняння регресії	3
SSE restricted – залишки скороченої форми регресії	5,436
SSE unrestrestricted – залишки повної форми регресії	5,057
Alpha	0,05
df-numerator	1
df-denominator	97
F – розрахункове значення  статистики Фішера	7,279
Right Critical Value – критичне  значення статистики Фішера	3,939
Рішення	Приймаємо Н0
p-value – рівень значимості	0,008

Як свідчать дані табл. 3.9., розрахункове значення статистики Фішера значно перевищує критичне, а тому моделі (7) та (3) відрізняються між собою, фактор механічного приросту населення варто включити в модель. Відповідно до оціненого рівняння регресії (7), ми з рівнем значимості 1% та перевищенням розрахункового значення кутового коефіцієнту біля фактору механічного приросту (2,70) над критичним стверджуємо, що зростання на 1% приросту населення збільшує кількість народжених на 0,05%.

Ми припускаємо, що такий  фактор як наявні доходи населення  – ендогенна змінна, тобто визначається іншими змінними, зокрема заробітною платою 1 штатного працівника. Проведемо тестування на ендогенність цього фактору за допомогою тесту Hausman. Нульова гіпотеза полягає в тому, що факторна ознака та залишки не корелюють між собою, тобто ендогенність відсутня.

Оцінимо рівняння регресії, в якому наявні доходи – регресант, заробітна плата – регресор:

Inc = -13, 39 +3, 30 Sal   (8)

t        8, 83         15, 16

Оцінені залишки моделі (8) включимо як незалежну змінну в модель (7):

Birth = 5, 23 + 0, 44 Inc +0, 05 Pop – 0, 20

   (9)

= 0,672

Кутовий коефіцієнт залишків є статистично значимим, оскільки розрахункове значення статистики Стьюдента  становить 2,32 та перевищує критичне, а тому ми відхиляємо нульову гіпотезу й стверджуємо, що наявні доходи – ендогенна змінна. Відповідно необхідним є включення в модель (7) інструментальної змінної – заробітної плати. З оціненого рівняння регресії (8) можна зробити висновок про те, що інструментальна змінна корелює з ендогенною змінною, оскільки статистика Стьюдента кутового коефіцієнта заробітної плати (15,16) перевищує рекомендоване значення 3,3, а статистика Фішера регресії становить 229,70, перевищуючи нормативне значення у розмірі 10.

Разом з тим інструментальні  змінні не повинні корелювати з помилками, тому проведемо LM тест для обґрунтованості включення їх у модель. Суть тесту полягає в тому, що модельовані значення ендогенної змінної в залежності від інструментальної змінної включаються в оригінальну модель регресії як незалежна змінна. Оцінені залишки останньої моделі використовуються як залежна змінна від всіх екзогенних та інструментальних змінних, після чого значення коефіцієнту детермінації моделі множиться на кількість спостережень та порівнюється з критичним значенням закону розподілу Пірсона. Нульова гіпотеза: значення LM тесту не повинне перевищувати значення закону розподілу Пірсона, тобто інструментальні змінні не корелюють з залишками та їх застосування є виправданим.

Таким чином, оцінимо  рівняння регресії, в якому незалежними  змінними є модельовані значення наявного доходу та механічний приріст, а результуючою ознакою – кількість  народжених.

Birth = 3, 81 + 0, 60 IncMod +0, 03 Pop   (10)

= 0,716

Залишки з (10) моделі оцінимо  як залежну змінну від механічного  приросту та заробітної плати. Коефіцієнт детермінації цієї регресії помножимо  на кількість спостережень:

=100* 2,051E^-16 0 < (0,01; 1)=6,63

Таким чином, ми можемо стверджувати, що застосування заробітної плати як інструментальної змінної є виправданим.

Отже, в результаті вище проведених процедур ми отримали остаточне  рівняння регресії:

Birth = 5, 32 + 0, 42 IncMod +0, 07 Pop   (11)

t=8, 65         t=6, 19         t=3, 14

= 0,413

= 35, 76 >F (0, 01; 3; 97) = 3, 99

де IncMod – це модельовані значення наявного доходу в залежності від заробітної плати. Як ми бачимо, з рівнем значимості 1% усі кутові коефіцієнти є статистично значимі, оскільки перевищують критичне значення. Тому, зростання наявних доходів на 1% призводить до зростання народжуваності на 0,42%, тоді як зростання механічного приросту населення на 1% збільшує народжуваність на 0,07%. Зміна народжуваності пояснюється зміною факторів на 41,3 %, на що вказує коефіцієнт детермінації. Окрім цього, адекватність моделі відображає розрахункове значення статистики Фішера у розмірі 35,76, що перевищує критичне у розмірі 4,83 з рівнем значимості 1%.

Проведемо RESET тест для визначення правильності функціональної форми моделі. Включимо в модель (11) нелінійний фактор у вигляді модельованих значень народжуваності, що відображатиме повну форму моделі. Розрахуємо статистику Фішера та порівняємо її з критичним значенням:

=0,37 < = 3,94

Таким чином з рівнем значимості 5% ми приймаємо нульову  гіпотезу про правильну функціональну  форму моделі,  а тому включення  нелінійних зв’язків не є необхідним.

Окрім цього, перевіримо правильність специфікації моделі за допомогою тесту множників Лагранжа, в якому нульова гіпотеза полягає  в тому, що звичайна модель регресії є правильною, альтернативна –  необхідним є застосування моделі з  випадковим ефектом:

де  – залишки звичайної моделі. Величина порівнюється з критичним значенням закону розподілу Пірсона. Якщо значення першої перевищує критичне значення, то ми відхиляємо нульову гіпотезу про правильність специфікації звичайної моделі регресії та стверджуємо про необхідність застосування моделі з випадковим ефектом.

Таким чином для тесту  множників Лагранжа використаємо оцінені  залишки моделі (11). Як ми бачимо, розраховане  значення тесту менше критичного значення закону розподілу Пірсона, а тому ми приймаємо нульову гіпотезу про правильну функціональну форму моделі:

= 2, 02 < (0,05; 1) = 3, 84.

На рис. 3.4. та рис. 3.5. зображені  графіки залишків факторних змінних. Протестуємо ці змінні на гетероскедастичність.

Рис. 3.4. Графік залишків факторної змінної IncMod

Рис. 3.5. Графік залишків факторної змінної Pop

Для цього використаємо тести на гетероскедастичність. Значення White тесту = 2,26 < (0,05; 2) = 5, 99. Тобто ми приймаємо нульову гіпотезу про гомоскедастичність. Проведений тест Goldfeld-Quandt також вказує на відсутність гетероскедастичності, зокрема розраховане значення тесту становить 1,78 та є меншим за критичне значення закону розподілу Пірсона 1,99 з рівнем значимості 5%, а тому ми приймаємо нульову гіпотезу про гомоскедастичність.

Для перевірки на автокореляцію  залишків ми використали статистику , значення якої становить 1,97, тобто вказує на відсутність автокореляції залишків. Проведемо тестування залишків на нормальність за допомогою тесту Жака-Бера. Нульова гіпотеза полягає в тому, що залишки розподілені за нормальним законом розподілу, є незалежними, а їх асиметрія та ексцес рівні нулю:

<

Значення коефіцієнта  повинне бути меншим за значення закону розподілу Пірсона, якщо залишки  є нормально розподіленими.

= 61, 65 < (0,05; 98) = 122, 11

Так як розрахункове значення є меншим критичного значення закону розподілу Пірсона, то ми приймаємо  нульову гіпотезу про нормальний закон розподілу залишків моделі.

Побудуємо між групову  модель з фіксованим ефектом, яка  відображатиме залежність народжуваності від розміру доходів та природного приросту для порівняння результатів, отриманих у звичайній моделі регресії (11). В результаті проведених трансформацій отримали наступне рівняння регресії:

Birth = 0, 12 Inc + 0, 01 Pop   (12)

t                1, 41      0, 39

= 0, 033

= 0, 013

F = 1, 68 < F (0, 1; 3; 97) = 3, 99

Оцінки моделі з фіксованим ефектом значно відрізняються від  оцінок звичайної моделі регресії, зокрема статистика Стьюдента свідчить про те, що жоден зв'язок факторів з результуючою величиною не є істотним, тобто розмір доходів та механічний приріст не впливають на народжуваність. Якщо порівняти обидва рівняння регресії, то ми можемо бачити, що пояснювальна здатність моделі (11) є набагато кращою, на що вказує скоригований коефіцієнт детермінації та статистика Фішера, а тому обрати модель з фіксованим ефектом для дослідження взаємозв’язків впливу не є доцільним. Окрім цього, ендогенність такої незалежної змінної, як обсяг доходів може позначатись на отриманні кращих оцінок за допомогою (11) рівняння регресії. Тому ми стверджуємо, що правильною функціональною формою моделі є звичайне рівняння регресії (11).