Определение справедливой цены американского опциона

      Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком. Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм. Согласно Модели Блэка-Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что прямопропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности ожидаемой рынком. Открытие данной формулы привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту опционной торговли. Опубликование формулы Блэка-Шоулза в 1973 г. позволило отойти от субъективно-интуитивных оценок при определении цены опционов и подвести под него теоретическую базу, применимую и к другим производным инструментам. Для начала 70-х сама идея использовать математический подход для оценки производных инструментов, была революционна. Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается на возможности использовать математические методы для предсказания будущего. Конечно, не со 100%-ной вероятностью, но достаточно точно для того, чтобы принять взвешенное инвестиционное решение. Основополагающий принцип работы на финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять, тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать. Использование математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но может помочь правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить вопрос о справедливом вознаграждении. Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения:

• По базисному активу опциона call дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
• Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
• Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
• Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.
• Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
• Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами.

Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью. Цена (европейского) опциона call:

, 
 

Цена (европейского) опциона put:

.

Обозначения:

C(S,t) — текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона; 
S — текущая цена базисной акции;    
N(x) — вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения). Для определения N(x) можно использовать таблицы для стандартной нормальной кривой или Excel-функцию HOPMCTPACП(x). Она возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице; 
K — цена исполнения опциона;  
r — безрисковая процентная ставка;  
T— t - время до истечения срока опциона (период опциона);  
σ — волатильность (квадратный корень из дисперсии) базисной акции.

    Вы  же хотите исследовать американский опцион? 
 
 
 

                  2. Концептуальная постановка задачи    

      Широко  используемые модели ценообразования опционов, такие как модель Блэка-Шоулза, модель Мертона служат фундаментом опционных стратегий в течение многих лет, но они не предназначены для определения справедливой стоимости американского опциона. Используя модель Блэка-Шоулза Английские учёные Барон Адеси и Валли разработали модель по определению оптимальной цены американского опциона (Efficient Analytic Approximation of American Option Values). Использованные, в этой модели допущения согласуются с теми, которые были введены Блэком, Шоулзом и Мертоном: 

• Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
• Стоимость исполнения американского опциона равна безрисковой процентной ставке (b=r).
• Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
• Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.
• Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.

      Используя данные ограничения можно вывести следующие предположения. При отсутствии арбитражных возможностей, постоянная, стоимость исполнения опциона предполагает, что цена на фьючерс равна (Интервал?)

                                       F = Se^bT,                                                         (1)

   где F - текущая фьючерсная цена, S – цена товара и T время исполнения фьючерсного контракта а б?. Также известно, что формула основных изменений цен на товары, следует из стохастического дифференциального уравнения

        dS/S=αdt+σdz,                                                  (2)

   где α - ожидаемое мгновенное относительное изменение цены товара, σ мгновенное стандартное отклонение, и z-винеровский процесс. Если формула (1) выполняется, а также уравнение (2) описывает движение цен на сырьевые товары во времени, то цены фьючерсов описываются следующим уравнением (как получено?)

   dF/F=(a-b)dt+ σdz.                                              (3)

   То  есть, ожидаемое мгновенное относительное  изменение цены фьючерсного контракта (a-b) и стандартное отклонение относительной цены товара равна стандартному отклонению цены фьючерсного контракта. Предположим, что безрисковое хеджирование между опционом и основным товаром может быть сформировано, тогда дифференциальное уравнение товарной цены на опцион (V), в течение времени, выглядит следующим образом

   (сами  выводили? Если да, то привести вывод. Если нет, надо ссылаться на литературу)

                                    .                                    (4)                                      

   Надо  полагать, здесь появились производные?

   Это уравнение, которое впервые составил  Мертон, является главной формулой ценообразования опциона.

   Дифференциальное  уравнение Мертона (4) распространяется как на европейские опционы,  так  и на американские. Для европейского опциона call,  уравнение (4), преобразуется в следующую формулу

                                    ,                            (5)

где , а N(d) является вероятностью того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения. Цена (европейского) опциона put равна

   .                     (6)

   Данные  формулы аналогичны формулам в модели ценообразования Блэка и Шоулза. Европейская формула опциона (5) обеспечивает удобный способ продемонстрировать, что, американский опцион может быть осуществлен раньше положенного срока. Пусть b<r, тогда цены на сырьевые товары, становится чрезвычайно большими по сравнению с ценой исполнения опциона, а значения N(d1) и N(d2) имеют единственное значение. Тогда значение европейского опциона приближаются к значению  . Тем не менее, американский опцион может быть осуществлен немедленно, когда его цена выше европейской. Таким образом, американский опцион может продаваться по более высокой цене, чем европейские опцион из-за ранней привилегии осуществления. Для американского опциона, всегда есть некоторая возможность досрочного исполнения, так что формула для вычисления цены  европейского опциона (6) не применяется.    Наиболее распространенный подход определения справедливой цены американского опциона использует конечно-разностный метод. Наиболее серьезным ограничением использования конечно-разностных методов по определению цены американского опциона является то, что они требуют больших вычислительных ресурсов.  
 
 
 
 
 

   3. Математическая постановка задачи

   Ключевые  представления квадратичного метода приближения (Что-то раньше об этом не было речи?) таковы, что если уравнение в частных производных (4) распространяется на американские опционы, а также на европейские опционы, это относится и к ранней премии осуществления американского опциона. Для Американского опциона, написанного на товар, досрочное исполнение опциона (S, T) определяется как

                                       (S,T)= C(S, T) - с(S, T),                                            (7)

   где C(S,T) - цена американского опциона и с(S, T) - цена европейского опциона. Тогда дифференциальное уравнение товарной цены на американский опцион, в течение времени, выглядит следующим образом (откуда это?)

                                   .                                       (8)

   Для простоты изложения (Эта фраза явно указывает, что материал взят откуда-то!) , сделаем два упрощения. Во-первых, вместо времени t настоящего времени перейдём к моменту истечения опциона t*, то есть T = t* - t. Таким образом, =_. Затем уравнение (8), умножается на . Далее, обозначим M = и N= . Таки образом уравнение (8) примет вид

   (Так  обычно пишут, если сами выводят  формулы. В Вашем случае надо менять стиль изложения, хотя, я возможно ошибаюсь)

                                    .                                 (9)

   Тогда раннее исполнение опциона (S,K) = K(T)*f(S,K). Отсюда следует, что и =f+K*. Подставляя частные производные в (9), и полученные условия получаем