Экономико-математические модели и методы проектного менеджмента

Національна академія державного управління при Президентові України

Одеський регіональний інститут державного управління

Кафедра управління  проектами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНИЙ    ПРАКТИКУМ

з дисципліни „Економіко-математичні моделі  та  методи

проектного  менеджменту”

 

(завдання та методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт

для слухачів 1-го курсу)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Одеса – 2009

Методичний посібник розроблений кафедрою „Управління проектами” відповідно до освітньо-професійної програми та структурно-логічної схеми підготовки магістрів за спеціальністю 8.000003 „Управління проектами”.

 

 

Розробник:

Ст. викладач кафедри,

канд. пед. н.                                                                              І.А.Сенча

 

 

 

Методичний посібник затверджений на засіданні кафедри „Управління проектами”

 

 

Завідувач кафедри „Управління  проектами”

канд. е. н., доцент                                                                    Т.М.Безверхнюк

 

 

 

Схвалено науково-методичною радою інституту

 

 

 

Голова науково-методичної ради

д. е. н., професор                                                                      А.Г.Ахламов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ЛІНІЙНА   БАГАТОФАКТОРНА   РЕГРЕСІЙНА  МОДЕЛЬ

 

Мета заняття: Отримати відомості про правила і етапи побудови багатофакторної лінійної регресійної моделі; навчитися обирати факторні ознаки для багатофакторної лінійної регресійної моделі, розраховувати її параметри засобами Excel, розробляти прогнози на основі аналізу побудованої моделі.

План:

1. Вибір факторних ознак для побудови багатофакторної лінійної регресійної моделі.
2. Розрахунок параметрів багатофакторної лінійної регресійної моделі.
3. Перевірка багатофакторної лінійної регресійної моделі на адекватність.
4. Прогнозування за багатофакторною лінійною регресійною моделлю.

 

1. Теоретичні відомості

 

У процесі аналізу  діяльності економічного об’єкта часто  виявляється, що на результативну ознаку цієї діяльності (наприклад, об’єм  валової продукції, об’єм продаж та ін.) впливає декілька факторних  ознак: час, вартість сировини і матеріалів, якість обладнання, продуктивність праці та інше. Тоді як модель діяльності об’єкта використовують багатофакторну лінійну регресійну модель, на основі якої розробляються прогнози діяльності, вивчається вплив на діяльність різноманітних економічних показників і виявляються ті показники, покращення яких суттєво збільшує її кінцевий продукт.

Загальний вигляд багатофакторної лінійної регресійної моделі:

,

де Y – результативна ознака,

X₁, X₂, …, X_m – факторні ознаки,

b₀, b₁, b₂, …, b_m – параметри моделі,

m – кількість факторних ознак.

Для забезпечення статистичної значимості моделі необхідно дотримуватися  основного правила її побудови: „Факторні ознаки, що включено у модель, повинні бути тісно пов’язані із результативною ознакою і слабо пов’язані (або не мати зв’язку) між собою”. Крім того, кількість наглядів п повинна перевищувати величину 3(т+1).

Тіснота зв’язку між  результативною і факторними ознаками та зв’язку факторних ознак між собою визначається за аналізом парних і частинних коефіцієнтів кореляції. Парні коефіцієнти кореляції розраховуються за формулою:

.

Розраховані парні коефіцієнти  кореляції записують як матрицю  . Частинні коефіцієнти кореляції розраховуються за формулою:

;

де  A_ij – алгебраїчне доповнення елемента r_ij.

Статистична оцінка значимості коефіцієнтів кореляції визначається їх порівнянням із критичним значенням r_кр, що розраховується за формулою:

де  – табличне значення розподілу Ст’юдента;

 – рівень значимості.

Рівень значимості звичайно обирається рівним 0,05; 0,01 або 0,001.

В модель включаються  тільки ті фактори, що не мають статистично значимого зв’язку між собою, тобто для яких r_ij< r_кр.

Якість моделі визначається за критерієм Фішера, тобто порівнянням  статистики F моделі із критичним значенням F_кр, де F_кр – табличне значення розподілу Фішера, що знайдене за умов: . Якщо F> F_кр , то модель є достовірною на рівні значимості 0,05 (тобто 95% даних пояснюються побудованою моделлю, 5% – випадкові помилки моделі).

Відносну величину впливу факторів на результативну ознаку оцінюють за формулою:

де 

R² – загальний коефіцієнт детермінації моделі.

 

 

2. Алгоритм побудови та аналізу

багатофакторної лінійної регресійної моделі

 

Приклад: В таблиці 1.1 вказані дані по консервному заводу с. Виноградне Одеської області за 12 місяців минулого року.

Таблиця 1.1

Х1	Х2	Х3	Х4	Y
1	328	0,054	0,3	397
2	329	0,101	0,6	670
3	329	0,099	1,2	1209
4	347	0,019	0,1	138
5	352	0,065	0,3	378
6	370	0,053	0,1	79
7	378	0,178	2,3	1883
8	385	0,174	2,6	2124
9	396	0,298	5,5	5069
10	399	0,195	2,4	2618
11	390	0,102	1,6	1265
12	378	0,138	0,6	562

Умовні позначення:

Х₁ – часовий фактор, порядковий номер місяця;

Х₂ – фонди (тис. грн./робітника);

Х₃ – фондовіддача (тис. грн. об’єму товарного продукту/тис. грн. основного фонду);

Х₄ – продуктивність праці (тис. умовних банок/робітника);

Y – валова продукція (тис. умовних банок).

Розробляється проект модернізації заводу, для чого необхідно: побудувати багатофакторну лінійну регресійну модель діяльності заводу; визначити  вплив факторів на об’єм валової продукції; виявити найвпливовіші фактори для визначення напрямків майбутньої модернізації.

 

Розв’язок

 

1. Виявимо фактори, що необхідно включити в модель, для чого:

• розрахуємо парні коефіцієнти кореляції; побудуємо кореляційну матрицю і проведемо її статистичний аналіз;
• на основі результатів статистичного аналізу побудуємо кореляційні плеяди і виявимо фактори, що необхідно включити в модель;
• у разі необхідності (тобто у випадку існування неявного зв’язку між факторними ознаками) розрахуємо частинні коефіцієнти кореляції та проведемо їх статистичний аналіз.

Парні коефіцієнти кореляції  обчислимо за допомогою вбудованих сервісних функцій Excel: перенесемо таблицю 1.1 на сторінку Excel, викличемо Сервис – Аналіз данных – Корреляция – ОК. У графі Входной интервал вкажемо масив даних таблиці 1.1; у графі Группирование вкажемо По столбцам, у графі Выходной интервал вкажемо ту клітину, починаючи з якої будуть надаватися вихідні дані – парні коефіцієнти кореляції. Отримаємо таблицю 1.2, що є матрицею парних коефіцієнтів кореляції. Клітини таблиці, що розташовані вище головної діагоналі звичайно надаються незаповненими, оскільки таблиця симетрична відносно головної діагоналі.

Таблиця 1.2

	Х1	Х2	Х3	Х4	Y
Х1	1,00
Х2	0,89	1,00
Х3	0,56	0,69	1,00
Х4	0,46	0,66	0,94	1,00
Y	0,43	0,63	0,94	0,99	1,00

Розрахуємо критичне значення коефіцієнта кореляції r_кр за формулою: , ; знайдемо за допомогою вбудованої функції Excel. Викличемо Функции – Статистические – СТЬЮДРАСПОБР – Ок. В графі Вероятность вкажемо 0,05 (рівень значимості); в графі Степени свободы вкажемо значення п-2=12-2=10. Отримаємо =2,228. Тоді

Доповнимо таблицю 1.2. Виділимо в ній ті елементи, що більші за r_кр            (це позначає, що відповідні фактори тісно пов’язані між собою). Отримаємо таблицю 1.3.

Таблиця 1.3

	Х1	Х2	Х3	Х4	Y
Х1	1,00	0,89	0,56	0,46	0,43
Х2	0,89	1,00	0,69	0,66	0,63
Х3	0,56	0,69	1,00	0,94	0,94
Х4	0,46	0,66	0,94	1,00	0,99
Y	0,43	0,63	0,94	0,99	1,00

 

Отже, тісно пов’язані  між собою такі факторні ознаки:

Х₁ та Х₂   оскільки  

>0,57598;

Х₂ та Х₃   оскільки  

>0,57598;

Х₂ та Х₄   оскільки 

>0,57598;

Х₃ та Х₄   оскільки  

>0,57598.

З факторних ознак  тісно пов’язані із результативною ознакою (із У):

Х₂    оскільки  

>0,57598;

Х₃    оскільки  

>0,57598;

Х₄    оскільки  

>0,57598.

За результатами аналізу  кореляційної матриці побудуємо  кореляційні плеяди, тобто зобразимо  достовірний зв’язок між факторами  графічно (рис.1.1).

Рис.1.1. Кореляційний зв’язок між факторами

Перша кореляційна плеяда: Y,  Х₂ , Х₃ , Х₄ вказує, що в модель необхідно включити фактори Х₂ , Х₃ , Х₄, оскільки вони мають зв’язок (тобто впливають) на результативну ознаку Y. Тобто із всіх факторних ознак в модель не потрібно включати ознаку Х₁.

Друга кореляційна плеяда: Х₂, Х₁ , Х₃ , Х₄ вказує, що в модель можна включити тільки одну з ознак Х₂,  Х₁ , Х₃ , Х₄, оскільки вони пов’язані між собою. Однак наявність дуже сильного (0,94) зв’язку між Х₃ та Х₄    свідчить про те, що зв’язок може існувати між Х₂ та Х₃ , а між Х₂ та Х₄ він може бути тільки наслідком зв’язку Х₃ - Х₄. Або навпаки, зв’язок може існувати між Х₂ та Х₄ , а між Х₂ та Х₃ він може бути тільки наслідком зв’язку Х₃ - Х₄. Тому, можливо, в модель потрібно включати Х₂ та одну із ознак Х₃ та Х₄. Для того, щоб вияснити це, скористуємось частинними коефіцієнтами кореляції.