Математикалық модельдеу

КІРІСПЕ

 

Менің дипломдық жұмысымда техникадағы математикалық модельдеудің ерекшеліктері қарастырылды. Диплом жұмысым негізгі үш бөлімнен тұрады: бірінші бөлім модельдеудің техникадағы орны қарастырылды, екінші бөлімде жалпы математикалық модельдің не екендігі, оны құру принциптері, түрлері қарастырылды, үшінші бөлімде механикалық жүйелердің, соңын ішінде механикалық тербелістің математикалық модельдерін құру қарастырылды.

Математика адамзаттың мәдени тіршілігінде ерекше орын алады. Бұл ғылымның физикадан, биологиядан, тарихтан, психологиядан түпкілікті айырмашылығы бар. Өзінің пән ретінде адамзат миының ерекше өнімі болатын абстракты ұғымдарға жататын сандар және функциялар, теңдеулер және жиындар нақты дүниеде кездеспесе де, табиғаттың және қоғамның кез- келген құбылысын түсінуге жарайтын, таңқаларлықтай өте ыңғайлы. Қоршаған дүниеде болып жатқан әртүрлі оқиғаларды математиканың қолданылуының арқасында субъективті шындық пен құрғақ математикалық-абстракциялық конструкция арасындағы өзара келісілген звенолардың байланысын көруге болады. Мұнда сиқырлы көпірдің көмегімен күнделікті шынайы өмірден математиканың фантастикалық еліне көшіп, оның шексіз кеңістігінде қызықты сапар шегіп, білім қорыңды молайтып, кері қайтуға мүмкіндік береді. Бұл сиқырлы көпірді математикалық модельдеу деп, жеке ғылымдардың дүниедегі құбылыстарды зерттеудегі табиғат заңдарын математикалық тілге аударады десек, мағынасы айқындала түседі.

Қазіргі уақытта техникалық оқу орындарында математикалық  модельдің не екенін түсіндіре алмайтын студентті табу қиын. Математикалық модель техникада ғана емес, сондай- ақ адам өмірінің қызметтік саласында да қолданысын табуда. Бірақ, бұл терминнің көпшілікке мәлім ресми анықтамасы жоқ және оның шекаралары мағыналық жағынан толық сызылып бітпеген. Мұндай жағдай кез-келген жаңа ғылыми бағыттың құрылу және тез даму сатысына тән.

Математикалық модельді ортақ позицияларда ақпараттық қоғамның қалыптасу периодында шынайы өмірді тану әдісі ретінде, тез дамушы ақпараттық технологиялардың интеллектуалды ядросы ретінде қарастыруға болады.

Техникадағы математикалық  модель ретінде зерттелетін техникалық құрылғы немесе процессті сәйкес математикалық модельге ауыстыру және оны әрі қарай қазіргі кездегі  есептеуіш техниканың құрылғыларын жұмылдыру арқылы есептеуіш техниканың әдістерімен оқытуды түсіндіреді. Математикалық модельді осылай оқыту әдісін ЭЕМ-де есептеуіш- логикалық алгоритмдер көмегімен тәжірибе жүргізу ретінде қарастыруға болатындықтан, онда ғылыми-техникалық әдебиеттердегі «есептеуіш тәжірибе» термині «математикалық модельдеу» терминінің синонимі ретінде ұсынылады. Бұл терминдердің мазмұнын интуиция арқылы түсініп, әдетте оны толық ашпайды.

Инженер- математиктерді «Қолданбалы математика» мамандығы  бойынша дайындау кезінде математикалық  модельдеу негізгі пәндердің бірі болып табылады. Математикалық модельдеу инженерлік практикамен тығыз байланыста, есептеуіш және классикалық математиканың жетістіктеріне сүйенеді. Жаратылыстану және ғылыми пәндерден ақпаратты белсенді түрде қолданып, есептеуші техниканы және ЭЕМ-де бағдарламалауды сенімді түрде пайдаланады. Сондықтан кез-келген мамандықтағы инженер үшін математикалық модельдеу- бұл шығармашылық қолданысы техниканың кез келген саласындағы прогресске себепкер болатын құрал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. тарау. МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУДІҢ ТЕХНИКАДАҒЫ ОРНЫ

 

Көптеген техникалық құрылғылардың жетістіктері ең  алдымен түрлендірудің нәтижелігімен және субстанциялардың(салмақ, энергия,импульс, электрлік қуат, ақпарат) шектеулі сандарының ауысуымен анықталады. Бұл процестер механика, физика, химия және тағы басқа ғылыми пәндердің құрамына енетін табиғаттың негізгі заңдарына бағынады. Бұл заңдар техниканың даму сатысында бастапқы рөльде болған жоқ. Көптеген мысалдардан техникалық құрылғыларды ойлап табу кезінде негізгі ғылыми оқиғаларды ашуға немесе анықтауға алып келді. Мұндай жағдайлар қазіргі кезде де мүмкін.

Бірақ, принціпшіл жаңа және толық жетілген техникалық құрылғыларды құрудың магистралды сызығы- бұл негізгі зерттеулердің нәтижелерін қолдану кезінде ашылатын мүмкіндіктерді орындау. Мұнымен, көбінесе, негізгі ғылыми дайындықтағы инженерлік білімдегі қазіргі заманғы акцентте түсіндіріледі. Мұндай зерттеулердің нәтижелерін шынайылауда маңызды рөлді математикалық модельдеу алады.

 

1.1. Модельдеу және техникалық прогресс.

 

Техникада болашағы зор ғылыми жаңалықтар мен процесстерді жүзеге асыру үшін көп жағдай да функционалдық және конструкциялық материалдардың мүмкіндіктерінің шектеулігі кедергі жасайды. Сондықтан техникалық және ғылыми идеяларды жүзеге асыру процесі- бұл біз қалайтын және мүмкін идеялар арасында дұрыс ымыраны іздеу процесі.

Техникалық құрылғыларды және әртүрлі тағайындаулар жүйесін  құрған кезде көп жағдайда белгілі  мақсатқа жеткізетін жобалау шешімдерінің бір- неше мүмкін мәндерінің нұсқаларын қарастырады. Бұл нұсқаларды талғаулы(балама, альтернативті) деп атайды. Қарама- қайшы шарттарды есепке алуда және өзара байланысқан проблемалар туындайтын кешенді шешуде, ымыраны іздестіру, альтернативті таңдау кезінде мүмкіндіктерін сипаттайтын негізгі параметрлер туралы сандық ақпараттың толық және нақты екендігін жорамалдайды.[2]

Ондаған жылдар бойы құрылған техникалық құрылғыларды өңдеудің негізгі қадамдарының тізбегі машина құру және құрылғылар құрудың көптеген салаларында қажетті ақпараттың кейбір бастапқы көлемі дұрыстығының дәрежесі альтернативтерді қатаң таңдауын қамтамасыз ететін, «жобалаушы» деп аталатын есептеулер жолы арқылы қалыптасты.[2] Сандық ақпараттың соңғы шешімін қабылдау үшін маңызды, негізгі бөлім техникалық құрылғыларды тәжірибелік өңдеу сатысында қалыптасады. Олардың күрделену және қымбаттау деңгейі бойынша, және олардың тәжірибелік өтеуінің сатысын ұзарту бойынша жобалау есептерінің мәні өсе бастады. Жобалаудың бастапқы сатысында альтернативтерді дәлелді түрде таңдауды қамтамасыз ететін есептеулердің анықтылығын және құрылымдық әрі параметрлік оптимизация үшін сандық критерилерді қалыптастыруды жоғарлату қажеттігі туындады.

Дыбыстан жылдам авиацияның дамуы, ракеталы- ғарыштық техниканың, ядролық энергетиканың және басқада  қазіргі заманның машина құру және құрылғылар құрудың тез дамитын салалары құрастырылатын немесе шығарылатын техникалық құрылғылар мен жүйелердің әрі қарай күрделенуіне алып келді. Олардың тәжірибелік өңделуі материалдық ресурстар мен уақыттарының көп шығындарын талап ете бастады, ал оны толық көлемде жүргізу кезінде қабылдауға жарайтын шешімі жоқ үлкен мәселеге айналды.

Мұндай жағдайларда  осындай құрылғылар мен жүйелердің сипаттамаларын есептеу- теориялық талдауының мәні өсе бастады. Бұған арифметикалық операцияларды жоғары жылдамдықпен орындайтын және жадысының көлемі үлкен ЭЕМ-нің шығуына себепші болған есептеуіш техниканың жетілу қарқыны да себепші болды. Нәтижесінде математикалық модельдің тез дамуына және құрылуы үшін математикалық қор құрылды және есептеуіш тәжірибені тек техникалық құрылғыны өңдеу сатысында есептеуіш- теориялық жанама ретінде ғана емес, сондай- ақ оны жобалау, оның сенімділігін талдау және бас тарту мен авариялық жағдайларды болжау және техникалық құрылғыларды жаңалау мен сипаттамаларын жылдамдату мүмкіндіктерін бағалау кезінде де қолдануға болатын сілтемелер пайда болды.

Есептеуіш тәжірибе АҚШ-та жасалынған аэробусты табиғи аэродинамикалық  сынауды жүргізуде шығынды азайтуға себепші болды және бар аналогтармен салыстырғанда аэродинамикалық  кедергілерді 20%-ға азайтты. Жер биосферасының математикалық модель негізінде «ядролық қысқа» әкелетін мүмкін әскери дау-жанжалдардағы ядролық жарылыстардың салдарының болжамдары жасалды.[10]

Техникада есептеуіш  тәжірибені және математикалық модельдеудің кең қолданысына анықталған сілтемелер ұқсас модельдердің әдістерінің арқасында құрылды. Осы әдістердің көбінің негізін механикалық, жылулық және гидравликалық жүйелердегі процесстерді зерттеу үшін электрлік ұқсас модельдерді қолдану құрайды. Егер құбылыстарды теңдеулер формасы жағынан бірдей түрде сипаттаса, оларды математикалық ұқсастықта деп санайды. Электрлік тізбектегі және басқа да физикалық құбылыстардағы процесстер арасындағы математикалық ұқсастық арнайы аналогты есептеуіш машина (АЕМ)болып табылатын модельдеуші құрылғыларды құруға көмектеседі. Осылайша, электрлі жылулық аналогтар негізінде, машина тұрғызу, энергетика, металлургия, химия өндірісі және тағы басқа техника салаларындағы техникалық құрылғыларға, әр түрлі конструкция элементтеріне қолданылатын жылу алмасу мен жылу өткізгіштік процесстерін модельдеу үшін түрлі құрылғылар жасалды. Бірақ, инженерлік тәжірибені жүргізу қарапайымдылығына әрі алынатын нәтижелердің инженерлік практикада нақтылықтың жеткіліктілігіне қарамастан, уақыт өте келе АЕМ-лар әмбебап және өнімді ЭЕМ-лармен алмастырылды. Сонымен қатар қазіргі кезде математикалық модельдерді өңдеу кезінде электр жылулық аналогтармен қатар, электромеханикалық және гидровликалық аналогтарын жобаланатын және зерттелетін техникалық объектілердің эквиваленттік жобаларын құру үшін әдістемелік мақсаттар қолданылады.

Қазіргі кезде математикалық  модельдер және ЭЕМ-ді қолданудағы есептуіш тәжірибелер жаңа ақпараттық технологияларға тән тәсілдерінің құрамдас бөлігі болып келеді. Математикалық модельдер бекітілген және бекітілмеген пікірлерді біріктіруге көмектесті және ЭЕМ-нің «арифметикалық, операциялық амалдарды адамға қарағанда бірнеше есе жылдам, нақты және дұрыс істеу және тағы басқа» қабілеттерін біріктіре біледі.[11]

Математикалық модель және есептеуіш тәжірибе мүмкіндіктерін іс жүзінде шынайылау жаңа, түп нұсқалары жоқ машиналар мен құрылғылар, материалдар мен технологияларды құру кезінде инженерлік жоспарлардың тиімділігін жоғарылатады, ол техникада физиканың, химияның механиканың және тағы басқа алдыңғы қатарлы ғылымның жетістіктерін қолдануға қажетті құрылғылар мен уақыттың шығынын қысқартуға көмектеседі. Математикалық модельдердің және есептеуіш тәжірибенің жоғарыдағы аталған мүмкіндіктері толығымен ашылмаған. Сондықтан оны бөлшектеп қарау керек.

 

1.2. Математикалық модельдеудің негізгі қадамдары.

 

Техникалық құрылғылар мен процесстерді математикалық модельдеу мәселелерін өңдеудің негізгі әдістемелерін құру және талдау үшін есептемелі тәжірибенің ортақ процедураларының қадамдарын жүргізудің тізбегін анықтайтын шартты сұлбасын алдын-ала қарастыру пайдалы болып келеді.( 1- сурет).[2] Бұл сұлбаның бастапқы позициясы техникалық объект болып табылады. Техникалық объект ретінде нақты техникалық құрылғыны, оның агрегатын немесе түйінін, құрылғылар жүйесін, қандай да бір жүйедегі немесе құрылғыдағы жеке жағдай немесе құбылысты, процессті қарастырамыз.

Бірінші қадамда қарастырылып отырған (өңделіп немесе бар) техникалық объектіден оның есептеу сұлбасына көшу жүзеге асады. Сондай- ақ, есептеуіш тәжірибенің  бағыты және оның соңғы мақсатына  тәуелді есептеу сұлбасында өз бейнесін табатын техникалық объект ерекшеліктері және жұмыс шарты сияқты қасиеттеріне көңіл бөледі және керісінше, есептеу сұлбасында қарастырылатын жағдайда әсері маңызды болмайтын техникалық объектінің қасиеттерін есепке алмауға көмектесетін қысқартуларды дәлелдейді. Кейде есептеу сұлбасының орнына техникалық объектінің маңызды моделі термині қолданылады, ал кейбір жағдайларда- тұжырымдама модельі делінеді.

Инженерлік пәндерде (мысалы, материалдар кедергісі, электроника және электротехника) есептеу сұлбасын сипаттаудың ауызша ақпараттарымен қоса арнайы тәсілдері және графикалық бейнелердің көрнекілік символдары дамытылған [13]. Техниканың жаңа бағыттарының дамуымен қатар бейнелемелер қалыптасу деңгейінде.

Жаңа техникалық объектіні қалыптастыру кезінде бірінші қадамды сәтті жүргізу көп жағдайда инженердің кәсіби деңгейіне, оның шығармашылық мүмкіндігіне және интуициясына тәуелді болады. Қарастырылатын мақсат тұрғысынан алғанда есептеу сұлбасында техникалық объект қасиеттерінің толық және дұрыстығы математикалық модель нәтижесінің анықтылығының алғы шарты болып табылады. Немесе, керісінше, қарапайым есептеу сұлбасын алуға арналған   техникалық объектінің күшті дәріптелуі зерттелудің кезекті қадамдарының барлығын бағаламауы мүмкін.

Екінші қадам есептеу сұлбасының ресми түрде математикалық сипатталуынан тұрады. Бұл техникалық объектінің есептеу сұлбасын сипаттайтын параметрлер арасындағы байланысты орнататын математикалық қатынастар түріндегі сипаттамаларды математикалық модель деп атайды[2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-Сурет

 

Кейбір типтік есептеу  сұлбалары үшін математикалық модельдің  банкілері болады, олар екінші қадамды  жүргізуді жеңілдетеді. Сонымен  қатар бірдей математикалық модель есептеу сұлбасына әртүрлі пәндік облыстардан сәйкес келуі мүмкін. Бірақ, жаңа техникалық объектіні өңдеу кезінде түрлі есептеу сұлбасын және оларға жауап беретін құрылған математикалық модельмен шектелу көп жағдайда мүмкін емес. Жаңа математикалық модель құру немесе бұрын құрылған математикалық модельді модификациялау үшін терең математикалық дайындыққа және математиканы ғылымның әмбебап тілі ретінде игеруге сүйену керек.

Үшінші қадамда математикалық құрудың сапалық және бағаламалы сандық талдауын жүргізеді. Сондай- ақ қарама- қайшылықтар туындауы мүмкін, оларды жою, есептеу сұлбасын қайта қарастыруды немесе толықтыруды (1- суреттегі штрихталған сызық) талап етеді. Сандық бағалау модельді ықшамдауға негіз бола алады, ол қарастырудан есептеу сұлбасында әсері ескерілмейтін кейбір параметрлерді шығарып тастайды. Көптеген жағдайда есептеу сұлбасы бойынша қосымша мүмкіндіктерді қабылдай отырып, белгілі әрі нақты шешімді алуға немесе ескеруге мүмкіндік беретін математикалық модельдің осындай қарапайым нұсқасын құру ыңғайлы. Бұл шешімді болашақта кезекті қадамдардың нәтижелерін тестілу кезінде салыстыру үшін қолдануға болады. Кей жағдайларда бір ғана техникалық объект үшін түрлі ықшамдау деңгейлерімен ерекшеленетін бірнеше математикалық модель құруға болады. Бұл жағдайда математикалық модель иерархиясы жайлы айтылады( гректің ierarcia сөзі erός-қасиетті және αrcή- билік сөздерінен шығады және берілген жағдайда математикалық моделді күрделік және толықтылық белгілері бойынша реттеу дегенді білдіреді).

Математикалық иерархияны құру қарастырылатын техникалық объектінің қасиеттерін әртүрлі талдаумен байланысты. Әртүрлі математикалық модельдерді зерттеудің нәтижелерін салыстыру осы техникалық объект туралы білімді кеңейтіп, байытуға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, мұндай салыстырулар келесі есептеуіш тәжірибелер нәтижелерінің дұрыстығын бағалауға мүмкіндік береді: егер қарапайым математикалық модель техникалық объектінің кейбір қасиеттерін дұрыс бейнелесе, онда осы қасиеттерді зерттеу нәтижелері толық және күрделі математикалық модельдерді пайдалану кезінде алынған нәтижелерге жуық болуы керек.